Teorema espectral

Comenzamos considerando una matriz hermitiana en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$(pero la siguiente discusión será adaptable al caso más restrictivo de matrices simétricas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Consideramos una aplicación hermitiana A en un espacio de producto interno complejo de dimensión finita V dotado de un producto interno sesquilineal definido positivo .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. La condición hermitiana en${\displaystyle A}$significa que para todo x , y ∈ V , $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle .}$$

Una condición equivalente es que A ^* = A , donde A ^* es la matriz conjugada hermitiana de A . En el caso de que A se identifique con una matriz hermitiana, la matriz de A ^* es igual a su transpuesta conjugada . (Si A es una matriz real , entonces esto es equivalente a A ^T = A , es decir, A es una matriz simétrica ).

Esta condición implica que todos los autovalores de una aplicación hermitiana son reales: para comprobarlo, basta con aplicarla al caso en que x = y es un autovector. (Recordemos que un autovector de una aplicación lineal A es un vector no nulo v tal que Av = λv para algún escalar λ . El valor λ es el autovalor correspondiente . Además, los autovalores son raíces del polinomio característico ).

Proporcionamos un esbozo de una demostración para el caso en que el campo subyacente de escalares son los números complejos .

Por el teorema fundamental del álgebra , aplicado al polinomio característico de A , existe al menos un autovalor complejo λ ₁ y un autovector correspondiente v ₁ , que por definición debe ser distinto de cero. Entonces, dado que $${\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{1}\rangle =\langle A(v_{1}),v_{1}\rangle =\langle v_{1},A(v_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle v_{1},v_{1}\rangle ,}$$ encontramos que λ ₁ es real. Ahora consideremos el espacio${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}={\text{span}}(v_{1})^{\perp }}$, el complemento ortogonal de v ₁ . Por hermiticidad,${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$es un subespacio invariante de A. Para ver eso, consideremos cualquier${\displaystyle k\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$de modo que${\displaystyle \langle k,v_{1}\rangle =0}$por definición de${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$Para satisfacer la invariancia, necesitamos comprobar si${\displaystyle A(k)\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$Esto es cierto porque,${\displaystyle \langle A(k),v_{1}\rangle =\langle k,A(v_{1})\rangle =\langle k,\lambda _{1}v_{1}\rangle =0}$. Aplicando el mismo argumento a${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$muestra que A tiene al menos un valor propio real.${\displaystyle \lambda _{2}}$y el vector propio correspondiente${\displaystyle v_{2}\in {\mathcal {K}}^{n-1}\perp v_{1}}$Esto se puede utilizar para construir otro subespacio invariante.${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-2}={\text{span}}(\{v_{1},v_{2}\})^{\perp }}$La inducción finita finaliza entonces la demostración.

La representación matricial de A en una base de autovectores es diagonal, y por construcción la demostración da una base de autovectores mutuamente ortogonales; al elegirlos como vectores unitarios se obtiene una base ortonormal de autovectores. A puede escribirse como una combinación lineal de proyecciones ortogonales por pares, llamada su descomposición espectral . Sea $${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:Av=\lambda v\}}$$ sea ​​el espacio propio correspondiente a un valor propio${\displaystyle \lambda }$. Nótese que la definición no depende de ninguna elección de autovectores específicos. En general, V es la suma directa ortogonal de los espacios${\displaystyle V_{\lambda }}$donde el${\displaystyle \lambda }$abarca todo el espectro de${\displaystyle A}$.

Cuando la matriz que se descompone es hermitiana, la descomposición espectral es un caso especial de la descomposición de Schur (véase la demostración para el caso de matrices normales más adelante).

La descomposición espectral es un caso especial de la descomposición en valores singulares , que establece que cualquier matriz ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$puede expresarse como ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$, dónde${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$y${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$son matrices unitarias y${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$es una matriz diagonal con entradas no negativas. Las entradas diagonales de${\displaystyle \Sigma }$están determinados de forma única por${\displaystyle A}$y se conocen como los valores singulares de${\displaystyle A}$. Si${\displaystyle A}$es hermitiano, entonces${\displaystyle A^{*}=A}$y${\displaystyle V\Sigma U^{*}=U\Sigma V^{*}}$lo cual implica${\displaystyle U=V}$.

El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices. Sea A un operador en un espacio de producto interno de dimensión finita. Se dice que A es normal si A ^* A = AA ^* .

Se puede demostrar que A es normal si y solo si es diagonalizable unitariamente usando la descomposición de Schur . Es decir, cualquier matriz se puede escribir como A = UTU ^* , donde U es unitaria y T es triangular superior . Si A es normal, entonces se observa que TT ^* = T ^* T . Por lo tanto, T debe ser diagonal ya que una matriz triangular superior normal es diagonal (véase matriz normal ). El recíproco es obvio.

En otras palabras, A es normal si y solo si existe una matriz unitaria U tal que $${\displaystyle A=UDU^{*},}$$ donde D es una matriz diagonal . Entonces, los elementos de la diagonal de D son los valores propios de A. Los vectores columna de U son los vectores propios de A y son ortonormales. A diferencia del caso hermitiano, los elementos de D no tienen por qué ser reales.

La siguiente generalización que consideramos es la de operadores autoadjuntos acotados en un espacio de Hilbert. Dichos operadores pueden no tener autovectores: por ejemplo, sea A el operador de multiplicación por t en${\displaystyle L^{2}([0,1])}$, es decir, ^{[ 3 ]}$${\displaystyle [Af](t)=tf(t).}$$

Este operador no tiene ningún vector propio en${\displaystyle L^{2}([0,1])}$Sin embargo, su espectro, adecuadamente definido, sigue siendo igual a${\displaystyle [0,1]}$, véase el espectro del operador acotado . También tiene autovectores en un espacio mayor. Es decir, la distribución${\displaystyle f(t)=\delta (t-t_{0})}$, dónde${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac , es un vector propio cuando se interpreta en un sentido apropiado. Sin embargo, la función delta de Dirac no es una función en el sentido clásico y no se encuentra en el espacio de Hilbert L ² [0, 1] . Por lo tanto, las funciones delta son "vectores propios generalizados" de${\displaystyle A}$pero no vectores propios en el sentido habitual.

En ausencia de autovectores (verdaderos), se puede buscar un "subespacio espectral" que consiste en un autovector casi , es decir, un subespacio cerrado.${\displaystyle V_{E}}$de${\displaystyle V}$asociado con un conjunto de Borel${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$en el espectro de${\displaystyle A}$. Este subespacio puede considerarse como el espacio cerrado generado por los autovectores generalizados para${\displaystyle A}$con valores propios en${\displaystyle E}$. ^{[ 4 ]} En el ejemplo anterior, donde${\displaystyle [Af](t)=tf(t),\;}$podríamos considerar el subespacio de funciones soportadas en un pequeño intervalo${\displaystyle [a,a+\varepsilon ]}$adentro${\displaystyle [0,1]}$Este espacio es invariante bajo${\displaystyle A}$y para cualquier${\displaystyle f}$en este subespacio,${\displaystyle Af}$está muy cerca de${\displaystyle af}$. Cada subespacio, a su vez, se codifica mediante el operador de proyección asociado, y la colección de todos los subespacios se representa entonces mediante una medida con valor de proyección .

Una formulación del teorema espectral expresa el operador A como una integral de la función de coordenadas sobre el espectro del operador.${\displaystyle \sigma (A)}$con respecto a una medida con valor de proyección. ^{[ 5 ]}$${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi (\lambda ).}$$Cuando el operador autoadjunto en cuestión es compacto , esta versión del teorema espectral se reduce a algo similar al teorema espectral de dimensión finita anterior, excepto que el operador se expresa como una combinación lineal finita o infinitamente numerable de proyecciones, es decir, la medida consiste solo en átomos.

Una formulación alternativa del teorema espectral afirma que todo operador autoadjunto acotado es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación, un tipo de operador relativamente simple.

Los operadores de multiplicación son una generalización directa de las matrices diagonales. Un espacio vectorial hermitiano de dimensión finita${\displaystyle V}$puede coordinarse como el espacio de funciones${\displaystyle f:B\to \mathbb {C} }$desde una base${\displaystyle B}$a los números complejos, de modo que el${\displaystyle B}$Las coordenadas de un vector son los valores de la función correspondiente.${\displaystyle f}$. El teorema espectral de dimensión finita para un operador autoadjunto${\displaystyle A:V\to V}$afirma que existe una base ortonormal de autovectores${\displaystyle B}$, de modo que el producto interno se convierte en el producto escalar con respecto al${\displaystyle B}$-coordenadas: por lo tanto${\displaystyle V}$es isomorfo a${\displaystyle L^{2}(B,\mu )}$para la medida de unidad discreta${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle B}$. También${\displaystyle A}$es unitariamente equivalente al operador de multiplicación${\displaystyle [Tf](v)=\lambda (v)f(v)}$, dónde${\displaystyle \lambda (v)}$es el valor propio de${\displaystyle v\in B}$: eso es,${\displaystyle A}$multiplica cada${\displaystyle B}$-coordenada por el valor propio correspondiente${\displaystyle \lambda (v)}$, la acción de una matriz diagonal. Finalmente, la norma del operador${\displaystyle |A|=|T|}$es igual a la magnitud del mayor valor propio${\displaystyle |\lambda |_{\infty }}$.

El teorema espectral es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría de operadores ; véase también medida espectral .

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora${\displaystyle \lambda }$pueden tener valores complejos.

También existe una formulación del teorema espectral en términos de integrales directas . Es similar a la formulación con operadores de multiplicación, pero más canónica.

Dejar${\displaystyle A}$Sea un operador autoadjunto acotado y sea${\displaystyle \sigma (A)}$ser el espectro de${\displaystyle A}$. La formulación integral directa del teorema espectral asocia dos cantidades a${\displaystyle A}$. Primero, una medida${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle \sigma (A)}$y segundo, una familia de espacios de Hilbert${\displaystyle \{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).}$Luego formamos el espacio de Hilbert de integral directa. $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$$ Los elementos de este espacio son funciones (o "secciones").${\displaystyle s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),}$de tal manera que${\displaystyle s(\lambda )\in H_{\lambda }}$a pesar de${\displaystyle \lambda }$. La versión integral directa del teorema espectral puede expresarse de la siguiente manera: ^{[ 7 ]}

Los espacios${\displaystyle H_{\lambda }}$se puede pensar como algo así como "espacios propios" para${\displaystyle A}$Sin embargo, tenga en cuenta que a menos que el conjunto de un elemento${\displaystyle \lambda }$tiene una medida positiva, el espacio${\displaystyle H_{\lambda }}$En realidad no es un subespacio de la integral directa. Por lo tanto, el${\displaystyle H_{\lambda }}$debe pensarse como un "espacio propio generalizado", es decir, los elementos de${\displaystyle H_{\lambda }}$son "vectores propios" que en realidad no pertenecen al espacio de Hilbert.

Aunque tanto la formulación del operador de multiplicación como la de la integral directa del teorema espectral expresan un operador autoadjunto como unitariamente equivalente a un operador de multiplicación, el enfoque de la integral directa es más canónico. Primero, el conjunto sobre el cual se realiza la integral directa (el espectro del operador) es canónico. Segundo, la función por la que multiplicamos es canónica en el enfoque de la integral directa: simplemente la función${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda }$.

Un vector${\displaystyle \varphi }$se denomina vector cíclico para${\displaystyle A}$si los vectores${\displaystyle \varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots }$abarca un subespacio denso del espacio de Hilbert. Supongamos que${\displaystyle A}$es un operador autoadjunto acotado para el cual existe un vector cíclico. En ese caso, no hay distinción entre las formulaciones de operador de integral directa y de multiplicación del teorema espectral. De hecho, en ese caso, hay una medida${\displaystyle \mu }$en el espectro${\displaystyle \sigma (A)}$de${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A}$es unitariamente equivalente a la "multiplicación por${\displaystyle \lambda }$" operador en${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$. ^{[ 8 ]} Este resultado representa${\displaystyle A}$simultáneamente como operador de multiplicación y como integral directa, ya que${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$es simplemente una integral directa en la que cada espacio de Hilbert${\displaystyle H_{\lambda }}$es solo${\displaystyle \mathbb {C} }$.

No todo operador autoadjunto acotado admite un vector cíclico; de hecho, debido a la unicidad en la descomposición integral directa, esto solo puede ocurrir cuando todos los${\displaystyle H_{\lambda }}$Los tienen dimensión uno. Cuando esto sucede, decimos que${\displaystyle A}$tiene un "espectro simple" en el sentido de la teoría de la multiplicidad espectral . Es decir, un operador autoadjunto acotado que admite un vector cíclico debe considerarse como la generalización de dimensión infinita de una matriz autoadjunta con valores propios distintos (es decir, cada valor propio tiene multiplicidad uno).

Aunque no todos${\displaystyle A}$admite un vector cíclico, es fácil ver que podemos descomponer el espacio de Hilbert como una suma directa de subespacios invariantes en los que${\displaystyle A}$tiene un vector cíclico. Esta observación es la clave para las demostraciones de las formas de operador de multiplicación e integral directa del teorema espectral.

Una aplicación importante del teorema espectral (en cualquiera de sus formas) es la idea de definir un cálculo funcional . Es decir, dada una función${\displaystyle f}$definido en el espectro de${\displaystyle A}$, deseamos definir un operador${\displaystyle f(A)}$. Si${\displaystyle f}$es simplemente un poder positivo,${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, entonces${\displaystyle f(A)}$es solo el${\displaystyle n}$-enésima potencia de${\displaystyle A}$,${\displaystyle A^{n}}$Los casos interesantes son aquellos en los que${\displaystyle f}$es una función no polinómica como una raíz cuadrada o una exponencial. Cualquiera de las versiones del teorema espectral proporciona dicho cálculo funcional. ^{[ 9 ]} En la versión de integral directa, por ejemplo,${\displaystyle f(A)}$actúa como la "multiplicación por${\displaystyle f}$" operador en la integral directa: $${\displaystyle [f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda ).}$$ Es decir, cada espacio${\displaystyle H_{\lambda }}$en la integral directa es un espacio propio (generalizado) para${\displaystyle f(A)}$con valor propio${\displaystyle f(\lambda )}$.