Espectro de un álgebra C*

En matemáticas, el espectro de un álgebra C* o dual de un álgebra C* A , denotado  , es el conjunto de clases de equivalencia unitarias de representaciones * irreducibles de A. Una representación * π de A en un espacio de Hilbert H es irreducible si y solo si no existe ningún subespacio cerrado K distinto de H y {0} que sea invariante bajo todos los operadores π( x ) con x ∈ A. Asumimos implícitamente que representación irreducible significa representación irreducible no nula , excluyendo así las representaciones triviales (es decir, idénticamente 0) en espacios unidimensionales . Como se explica más adelante, el espectro  es también naturalmente un espacio topológico ; esto es similar a la noción del espectro de un anillo .

Una de las aplicaciones más importantes de este concepto es proporcionar una noción de objeto dual para cualquier grupo localmente compacto . Este objeto dual es adecuado para formular una transformada de Fourier y un teorema de Plancherel para grupos localmente compactos separables unimodulares de tipo I y un teorema de descomposición para representaciones arbitrarias de grupos localmente compactos separables de tipo I. Sin embargo, la teoría de dualidad resultante para grupos localmente compactos es mucho más débil que la teoría de dualidad de Tannaka-Krein para grupos topológicos compactos o la dualidad de Pontryagin para grupos abelianos localmente compactos , ambas invariantes completas. Que el dual no sea un invariante completo se ve fácilmente ya que el dual de cualquier álgebra matricial completa de dimensión finita M _n ( C ) consiste en un solo punto.

La topología de  se puede definir de varias maneras equivalentes. Primero la definimos en términos del espectro primitivo .

El espectro primitivo de A es el conjunto de ideales primitivos Prim( A ) de A , donde un ideal primitivo es el núcleo de una *-representación irreducible no nula. El conjunto de ideales primitivos es un espacio topológico con la topología de núcleo-envoltura (o topología de Jacobson ). Esto se define de la siguiente manera: Si X es un conjunto de ideales primitivos, su cierre de núcleo-envoltura es

${\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

Se demuestra fácilmente que el cierre del núcleo de Hull es una operación idempotente , es decir

${\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}$

y se puede demostrar que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Como consecuencia, se puede demostrar que existe una topología única τ en Prim( A ) tal que el cierre de un conjunto X con respecto a τ es idéntico al cierre núcleo-envoltura de X.

Dado que las representaciones unitariamente equivalentes tienen el mismo núcleo, la aplicación π ↦ ker(π) se factoriza mediante una aplicación sobreyectiva.

${\displaystyle \operatorname {k}$ :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}

Utilizamos el mapa k para definir la topología en  de la siguiente manera:

Definición . Los conjuntos abiertos de  son imágenes inversas k ⁻¹ ( U ) de subconjuntos abiertos U de Prim( A ). Esto es, en efecto, una topología.

La topología de núcleo-casco es un análogo, para anillos no conmutativos, de la topología de Zariski para anillos conmutativos.

La topología en  inducida a partir de la topología núcleo-envoltura tiene otras caracterizaciones en términos de estados de A.

La topología del núcleo de la envoltura es fácil de describir de forma abstracta, pero en la práctica, para las C*-álgebras asociadas a grupos topológicos localmente compactos , son deseables otras caracterizaciones de la topología en el espectro en términos de funciones definidas positivas.

De hecho, la topología en  está íntimamente conectada con el concepto de contención débil de representaciones, como se muestra a continuación:

Teorema . Sea S un subconjunto de  . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes para una representación irreducible π;

1. La clase de equivalencia de π en  está en la clausura de S
2. Cada estado asociado a π, que es uno de la forma

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }$

con ||ξ|| = 1, es el límite débil de estados asociados a representaciones en S .

La segunda condición significa precisamente que π está débilmente contenido en S.

La construcción GNS es un método para asociar estados de un álgebra C*-álgebra A a representaciones de A. Según uno de los teoremas básicos asociados a la construcción GNS, un estado f es puro si y solo si la representación asociada π _f es irreducible. Además, la aplicación κ  : PureState( A ) → Â definida por f ↦ π _f es una aplicación sobreyectiva.

A partir del teorema anterior se puede demostrar fácilmente lo siguiente:

Teorema La aplicación

${\displaystyle \kappa$ :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}

La construcción proporcionada por GNS es continua y abierta.

 es un espacio topológico y, por lo tanto, también puede considerarse un espacio de Borel . Una famosa conjetura de G. Mackey propuso que un grupo localmente compacto separable es de tipo I si y solo si el espacio de Borel es estándar, es decir, es isomorfo (en la categoría de espacios de Borel) al espacio de Borel subyacente de un espacio métrico separable completo . Mackey llamó suaves a los espacios de Borel con esta propiedad . Esta conjetura fue demostrada por James Glimm para C*-álgebras separables en el artículo de 1961 que se cita en las referencias a continuación.

Definición . Una *-representación no degenerada π de un álgebra C* separable A es una representación factorial si y solo si el centro del álgebra de von Neumann generada por π( A ) es unidimensional. Un álgebra AC* A es de tipo I si y solo si cualquier representación factorial separable de A es un múltiplo finito o numerable de una representación irreducible.

Ejemplos de grupos localmente compactos separables G tales que C*( G ) es de tipo I son los grupos de Lie nilpotentes (reales) conexos y los grupos de Lie semisimples reales conexos . Por lo tanto, todos los grupos de Heisenberg son de tipo I. Los grupos compactos y abelianos también son de tipo I.

Teorema . Si A es separable, Â es suave si y solo si A es de tipo I.

El resultado implica una generalización de gran alcance de la estructura de las representaciones de álgebras separables de tipo IC* y, correspondientemente, de grupos separables localmente compactos de tipo I.

Dado que un álgebra C* -A es un anillo , también podemos considerar el conjunto de ideales primitivos de A , donde A se considera algebraicamente. Para un anillo, un ideal es primitivo si y solo si es el anulador de un módulo simple . Resulta que para un álgebra C* -A , un ideal es algebraicamente primitivo si y solo si es primitivo en el sentido definido anteriormente.

Teorema . Sea A un álgebra C*. Cualquier representación algebraicamente irreducible de A en un espacio vectorial complejo es algebraicamente equivalente a una representación topológicamente irreducible * en un espacio de Hilbert. Las representaciones topológicamente irreducibles * en un espacio de Hilbert son algebraicamente isomorfas si y solo si son unitariamente equivalentes.

Este es el corolario del teorema 2.9.5 de la referencia de Dixmier.

Si G es un grupo localmente compacto, la topología en el espacio dual del álgebra C*-grupo C*( G ) de G se llama topología de Fell , nombrada en honor a JMG Fell .

• J. Dixmier , C*-Algebras , Holanda Septentrional, 1977 (una traducción de Les C*-algèbres et leurs représentations )
• J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, 1969.
• J. Glimm, Álgebras de tipo IC* , Anales de Matemáticas, vol. 73, 1961.
• G. Mackey , La teoría de las representaciones de grupo , The University of Chicago Press, 1955.