Medida esférica

En matemáticas —específicamente , en la teoría de la medida geométrica— la medida esférica σ ⁿ es la medida de Borel "natural" en la n -esfera S ⁿ . La medida esférica a menudo se normaliza de modo que sea una medida de probabilidad en la esfera, es decir, de modo que σ ⁿ ( S ⁿ ) = 1.  

Existen varias formas de definir la medida esférica. Una forma es utilizar la métrica usual de "redondo" o " longitud de arco " ρ _n en S ⁿ ; es decir, para puntos x e y en S n ^, ρ n ₍ x , y ) se define como el ángulo (euclidiano) que subtienden en el centro de la esfera (el origen de R ^{n +1} ). Ahora construimos la medida de Hausdorff n -dimensional H ⁿ en el espacio métrico ( S ⁿ , ρ _n ) y definimos  

${\displaystyle \sigma ^{n}={\frac {1}{H^{n}(\mathbf {S} ^{n})}}H^{n}.}$

También se podría haber dado a S ⁿ la métrica que hereda como subespacio del espacio euclidiano R ^{n +1} ; la misma medida esférica resulta de esta elección de métrica.

Otro método utiliza la medida de Lebesgue λ ^{n +1} en el espacio euclidiano ambiente R ^{n +1} : para cualquier subconjunto medible A de S ⁿ , definimos σ ⁿ ( A ) como el volumen ( n  +  1)-dimensional de la "cuña" en la bola B ^{n +1} que subtiende en el origen. Es decir,

${\displaystyle \sigma ^{n}(A):={\frac {1}{\alpha (n+1)}}\lambda ^{n+1}(\{tx\mid x\in A,t\in [0,1]\}),}$

dónde

${\displaystyle \alpha (m):=\lambda ^{m}(\mathbf {B} _{1}^{m}(0)){\text{ }}(\mathbf {B} _{1}^{m}(0){\text{ es la bola de radio 1 centrada en el origen en }}}$R ^{n +1} ).

El hecho de que todos estos métodos definan la misma medida en S ⁿ se deriva de un elegante resultado de Christensen: todas estas medidas están obviamente distribuidas uniformemente en S ⁿ , y cualesquiera dos medidas regulares de Borel distribuidas uniformemente en un espacio métrico separable deben ser múltiplos constantes (positivos) entre sí. Dado que todas nuestras σ ⁿ candidatas han sido normalizadas para ser medidas de probabilidad, todas son la misma medida.

Ya se ha analizado la relación entre la medida esférica, la medida de Hausdorff en la esfera y la medida de Lebesgue en el espacio ambiente.

La medida esférica tiene una buena relación con la medida de Haar en el grupo ortogonal . Sea O( n ) el grupo ortogonal que actúa sobre R ⁿ y sea θ ⁿ su medida de Haar normalizada (de modo que θ ⁿ (O( n ))  =  1). El grupo ortogonal también actúa sobre la esfera S ^{n − 1.} Entonces, para cualquier x ∈ S ^{n − 1} y cualquier A ⊆ S ^{n − 1} ,    

${\displaystyle \theta ^{n}(\{g\in \mathrm {O} (n)\mid g(x)\in A\})=\sigma ^{n-1}(A).}$

En el caso de que S ⁿ sea un grupo topológico (es decir, cuando n es 0, 1 o 3), la medida esférica σ ⁿ coincide con la medida de Haar (normalizada) en S ⁿ .

Existe una desigualdad isoperimétrica para la esfera con su métrica y medida esférica usuales (véase Ledoux y Talagrand, capítulo 1):

Si A ⊆ S ^{n − 1} es cualquier conjunto de Borel y B ⊆ S ^{n − 1} es una ρ _n -bola con la misma σ ⁿ -medida que A , entonces, para cualquier r > 0,     

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq \sigma ^{n}(B_{r}),}$

donde A _r denota la "inflación" de A por r , es decir

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in \mathbf {S} ^{n}\mid \rho _{n}(x,A)\leq r\}.}$

En particular, si σ n ⁽ A ) ≥  1 / 2 y n ≥ 2 , entonces   

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq 1-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\,\exp \left(-{\frac {(n-1)r^{2}}{2}}\right).}$

• Christensen, Jens Peter Reus (1970). "Sobre algunas medidas análogas a la medida de Haar". Mathematica Scandinavica . 26 : 103–106 . ISSN 0025-5521 . MR 0260979 
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. pp.  xii+480. ISBN 3-540-52013-9.MR 1102015 (Véase el capítulo 1) 
• Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos: fractales y rectificabilidad . Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp.  xii+343. ISBN 0-521-46576-1.MR 1333890 (Véase el capítulo 3)