tensor de espín

En matemáticas , física matemática y física teórica , el tensor de espín es una magnitud que se utiliza para describir el movimiento rotacional de las partículas en el espacio-tiempo . El tensor de espín tiene aplicaciones en la relatividad general y la relatividad especial , así como en la mecánica cuántica , la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos .

El grupo euclidiano especial SE( d ) de isometrías directas se genera mediante traslaciones y rotaciones . Su álgebra de Lie se escribe${\displaystyle {\mathfrak {se}}(d)}$.

Este artículo utiliza coordenadas cartesianas y notación de índices tensoriales .

La corriente de Noether para traslaciones en el espacio es el momento, mientras que la corriente para incrementos en el tiempo es la energía. Estas dos afirmaciones se combinan en una sola en el espaciotiempo: las traslaciones en el espaciotiempo, es decir, un desplazamiento entre dos eventos, se generan por el cuadrimomento P. La conservación del cuadrimomento viene dada por la ecuación de continuidad :

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,}$$

dónde${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$es el tensor energía-impulso , y ∂ son derivadas parciales que componen el cuadrigradiente (en coordenadas no cartesianas esto debe reemplazarse por la derivada covariante ). Integrando sobre el espacio:

$${\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}\left({\vec {x}},t\right)=P^{\mu }}$$

da el vector de cuadrimomento en el instante t .

La corriente de Noether para una rotación alrededor del punto y viene dada por un tensor de tercer orden, denotado${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }}$Debido a las relaciones del álgebra de Lie

$${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}$$

donde el subíndice 0 indica el origen (a diferencia del momento, el momento angular depende del origen), la integral:

$${\displaystyle \int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)}$$

proporciona el tensor de momento angular${\displaystyle M^{\mu \nu }\,}$en el instante t .

El tensor de espín se define en un punto x como el valor de la corriente de Noether en x de una rotación alrededor de x ,

$${\displaystyle S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}$$

La ecuación de continuidad

$${\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,}$$

implica:

$${\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0}$$

y por lo tanto, el tensor de energía-impulso no es un tensor simétrico .

La magnitud S representa la densidad del momento angular de espín (en este caso, el espín no se refiere únicamente a una partícula puntual, sino también a un cuerpo extendido), y M representa la densidad del momento angular orbital. El momento angular total es siempre la suma de las contribuciones del espín y del momento angular orbital.

La relación:

$${\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}$$

proporciona la densidad de torque que muestra la tasa de conversión entre el momento angular orbital y el espín.

Ejemplos de materiales con una densidad de espín distinta de cero son los fluidos moleculares , el campo electromagnético y los fluidos turbulentos . En los fluidos moleculares, las moléculas individuales pueden estar girando. El campo electromagnético puede tener luz polarizada circularmente . En los fluidos turbulentos, podemos distinguir arbitrariamente entre fenómenos de longitud de onda larga y fenómenos de longitud de onda corta. Una vorticidad de longitud de onda larga puede convertirse, mediante la turbulencia, en vórtices cada vez más pequeños que transportan el momento angular a longitudes de onda cada vez más pequeñas, reduciendo simultáneamente la vorticidad . Esto puede aproximarse mediante la viscosidad de remolino .

• Tensor de energía-tensión de Belinfante-Rosenfeld
• Grupo Poincaré
• Grupo Lorentz
• momento angular relativista
• Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon
• pseudovector de Pauli-Lubanski

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