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Teorema de espín-estadística

El teorema de espín-estadística demuestra que la relación observada entre el espín intrínseco de una partícula ( momento angular no debido al movimiento orbital) y la estadístic...

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El teorema de espín-estadística demuestra que la relación observada entre el espín intrínseco de una partícula ( momento angular no debido al movimiento orbital) y la estadística de partículas cuánticas de conjuntos de dichas partículas es una consecuencia de las matemáticas de la mecánica cuántica .

Según el teorema, la función de onda de muchos cuerpos para partículas elementales con espín entero ( bosones ) es simétrica bajo el intercambio de dos partículas cualesquiera, mientras que para partículas con espín semientero ( fermiones ), la función de onda es antisimétrica bajo dicho intercambio. Una consecuencia del teorema es que las partículas no interactuantes con espín entero obedecen la estadística de Bose-Einstein , mientras que aquellas con espín semientero obedecen la estadística de Fermi-Dirac . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Fondo

La estadística de partículas indistinguibles es uno de los efectos físicos más fundamentales. El principio de exclusión de Pauli —que establece que cada estado cuántico ocupado contiene como máximo un fermión— controla la formación de la materia. Los componentes básicos de la materia, como protones , neutrones y electrones , son todos fermiones. Por el contrario, los fotones y otras partículas que median las fuerzas entre las partículas de materia son bosones. Un teorema de espín-estadística intenta explicar el origen de esta dicotomía fundamental. [ 4 ] : 4  

Ingenuamente, el espín, una propiedad del momento angular intrínseca a una partícula, no estaría relacionado con las propiedades fundamentales de un conjunto de dichas partículas. Sin embargo, se trata de partículas indistinguibles: cualquier predicción física que relacione múltiples partículas indistinguibles no debe cambiar cuando estas se intercambian.

Estados cuánticos y partículas indistinguibles

En un sistema cuántico, un estado físico se describe mediante un vector de estado . Dos vectores de estado distintos son físicamente equivalentes si solo difieren en un factor de fase global, sin tener en cuenta otras interacciones. Un par de partículas indistinguibles como estas tienen un único estado. Esto significa que si se intercambian las posiciones de las partículas (es decir, si se produce una permutación), esto no da lugar a un nuevo estado físico, sino a uno que coincide con el estado físico original. De hecho, es imposible determinar qué partícula se encuentra en qué posición.

Si bien el estado físico no cambia con el intercambio de posiciones de las partículas, es posible que el vector de estado cambie de signo como resultado de dicho intercambio. Dado que este cambio de signo es solo una fase general, no afecta al estado físico.

El ingrediente esencial para demostrar la relación espín-estadística es la relatividad: que las leyes físicas no cambian bajo las transformaciones de Lorentz . Los operadores de campo se transforman bajo las transformaciones de Lorentz según el espín de la partícula que crean, por definición.

Además, la suposición (conocida como microcausalidad) de que los campos separados espacialmente conmutan o anticonmutan solo es válida para teorías relativistas con una dirección temporal. De lo contrario, la noción de ser espacialmente similar carece de sentido. Sin embargo, la demostración implica considerar una versión euclidiana del espaciotiempo, en la que la dirección temporal se trata como una espacial, como se explicará a continuación.

Las transformaciones de Lorentz incluyen rotaciones y transformaciones de Lorentz tridimensionales . Una transformación de Lorentz implica una transferencia a un sistema de referencia con una velocidad diferente y es matemáticamente similar a una rotación en el tiempo. Mediante la continuación analítica de las funciones de correlación de una teoría cuántica de campos, la coordenada temporal puede volverse imaginaria , y entonces las transformaciones de Lorentz se convierten en rotaciones. El nuevo "espacio-tiempo" solo tiene direcciones espaciales y se denomina euclidiano .

Simetría de intercambio o simetría de permutación

Los bosones son partículas cuya función de onda es simétrica ante un intercambio o permutación; por lo tanto, si intercambiamos las partículas, la función de onda no cambia. Los fermiones son partículas cuya función de onda es antisimétrica; por lo tanto, ante un intercambio, la función de onda adquiere un signo negativo, lo que significa que la amplitud para que dos fermiones idénticos ocupen el mismo estado debe ser cero. Este es el principio de exclusión de Pauli : dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado. Esta regla no se aplica a los bosones.

En la teoría cuántica de campos, un estado o una función de onda se describe mediante operadores de campo que operan sobre un estado básico llamado vacío . Para que los operadores proyecten la componente simétrica o antisimétrica de la función de onda que los crea, deben tener la ley de conmutación apropiada. El operador

∬ψ(incógnita,y)ϕ(incógnita)ϕ(y)dincógnitady{\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}

(conϕ{\displaystyle \phi }un operador yψ(incógnita,y){\displaystyle \psi (x,y)}una función numérica con valores complejos) crea un estado de dos partículas con función de ondaψ(incógnita,y){\displaystyle \psi (x,y)}y, dependiendo de las propiedades de conmutación de los campos, solo importan las partes antisimétricas o solo las partes simétricas.

Supongamos queincógnita≠y{\displaystyle x\neq y}y los dos operadores tienen lugar al mismo tiempo; de forma más general, pueden tener una separación de tipo espacial , como se explica más adelante.

Si los campos son conmutativos , significa que se cumple lo siguiente:

ϕ(incógnita)ϕ(y)=ϕ(y)ϕ(incógnita),{\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),}

entonces solo la parte simétrica deψ{\displaystyle \psi }contribuye, para queψ(incógnita,y)=ψ(y,incógnita){\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}y el campo creará partículas bosónicas.

Por otro lado, si los campos son anticonmutativos , lo que significa queϕ{\displaystyle \phi }tiene la propiedad de que

ϕ(incógnita)ϕ(y)=−ϕ(y)ϕ(incógnita),{\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}

entonces solo la parte antisimétrica deψ{\displaystyle \psi }contribuye, para queψ(incógnita,y)=−ψ(y,incógnita){\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}y las partículas serán fermiónicas.

Pruebas

No se puede dar una explicación elemental del teorema de espín-estadística a pesar de que el teorema es tan simple de enunciar. En Las conferencias de Feynman sobre física , Richard Feynman afirmó que esto probablemente significa que no comprendemos completamente el principio fundamental involucrado. [ 5 ]

Se han publicado numerosas pruebas notables, con diferentes tipos de limitaciones y supuestos. Todas ellas son "pruebas negativas", lo que significa que establecen que los campos de espín entero no pueden dar lugar a estadísticas de fermiones, mientras que los campos de espín semi-entero no pueden dar lugar a estadísticas de bosones. [ 4 ] : 487

Las pruebas que evitan utilizar cualquier mecanismo de teoría cuántica de campos relativista tienen defectos. Muchas de esas pruebas se basan en una afirmación de que |ψ(α1,α2,α3,…)|2=|PAG^ψ(α1,α2,α3,…)|2,{\displaystyle |\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2}=|{\hat {P}}\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2},} donde el operadorPAG^{\displaystyle {\hat {P}}}permuta las coordenadas. Sin embargo, el valor del lado izquierdo representa la probabilidad de la partícula  1 enr1{\displaystyle r_{1}}, partícula  2 enr2{\displaystyle r_{2}}y así sucesivamente, y por lo tanto es cuánticamente inválido para partículas indistinguibles. [ 6 ] : 567

La primera demostración fue formulada [ 7 ] en 1939 por Markus Fierz , un estudiante de Wolfgang Pauli , y fue derivada nuevamente de una manera más sistemática por Pauli al año siguiente. [ 8 ] En un resumen posterior, Pauli enumeró tres postulados dentro de la teoría cuántica de campos relativista como necesarios para estas versiones del teorema:

  1. Cualquier estado con ocupación de partículas tiene mayor energía que el estado de vacío .
  2. Las mediciones separadas espacialmente no se interfieren entre sí (conmutan).
  3. Las probabilidades físicas son positivas (la métrica del espacio de Hilbert es definida positiva).

Su análisis omitió las interacciones de partículas distintas de la conmutación/anticonmutación del estado. [ 9 ] [ 4 ] : 374

En 1949, Richard Feynman dio un tipo de prueba completamente diferente [ 10 ] basada en la polarización del vacío , que posteriormente fue criticada por Pauli. [ 9 ] [ 4 ] : 368 Pauli demostró que la prueba de Feynman dependía explícitamente de los dos primeros postulados que utilizó e implícitamente utilizó el tercero al permitir primero probabilidades negativas pero luego rechazar resultados de teoría de campos con probabilidades mayores que uno.

Una demostración de Julian Schwinger en 1950 basada en la invariancia de inversión temporal [ 11 ] siguió a una demostración de Frederik Belinfante en 1940 basada en la invariancia de conjugación de carga, lo que condujo a una conexión con el teorema CPT desarrollado más completamente por Pauli en 1955. [ 12 ] Estas demostraciones fueron notablemente difíciles de seguir. [ 4 ] : ​​393

El trabajo sobre la axiomatización de la teoría cuántica de campos realizado por Arthur Wightman condujo a un teorema que establecía que el valor esperado del producto de dos campos,ϕ(incógnita)ϕ(y){\displaystyle \phi (x)\phi (y)}, podría continuarse analíticamente a todas las separaciones(incógnita−y){\displaystyle (xy)}[ 4 ] : 425 (Los dos primeros postulados de las demostraciones de la era de Pauli involucran el estado de vacío y campos en ubicaciones separadas). El nuevo resultado permitió demostraciones más rigurosas de los teoremas de espín-estadística por Gerhart Lüders y Bruno Zumino [ 13 ] y por Peter Burgoyne. [ 4 ] : 393 En 1957, Res Jost derivó el teorema CPT utilizando el teorema de espín-estadística, y la demostración de Burgoyne del teorema de espín-estadística en 1958 no requirió restricciones sobre las interacciones ni sobre la forma de las teorías de campo. Estos resultados se encuentran entre los teoremas prácticos más rigurosos. [ 14 ] : 529

A pesar de estos éxitos, Feynman, en su clase de pregrado de 1963 sobre la conexión entre espín y estadística, dice: «Pedimos disculpas por no poder ofrecerles una explicación elemental». [ 5 ] Neuenschwander se hizo eco de esto en 1994, preguntando si había habido algún progreso, [ 15 ] lo que impulsó demostraciones y libros adicionales. [ 4 ] La divulgación de la conexión entre espín y estadística por parte de Neuenschwander en 2013 sugirió que las explicaciones simples siguen siendo esquivas. [ 16 ]

Un argumento topológico intuitivo que justifica la veracidad del teorema de espín-estadística se basa en el hecho de que, al representarse mediante diagramas espaciotemporales apropiados, un proceso en el que dos partículas idénticas intercambian posiciones puede ser topológicamente equivalente a un proceso en el que una sola partícula de este tipo rota 360 grados. Una forma de este argumento intuitivo imagina una cinta sujeta por un extremo y enrollada en espiral 360 grados en el otro; a medida que los extremos se acercan, la espiral se relaja formando un bucle. Este bucle es topológicamente equivalente a un diagrama espaciotemporal de creación/aniquilación de positrones y electrones, donde el electrón entrante y el saliente son partículas indistinguibles. [ 17 ] [ 18 ]

Pruebas experimentales

En 1987, Greenberg y Mohapatra propusieron que el teorema de espín-estadística podría tener pequeñas violaciones. [ 19 ] [ 20 ] Con la ayuda de cálculos muy precisos para estados del átomo de He que violan el principio de exclusión de Pauli , [ 21 ] Deilamian, Gillaspy y Kelleher [ 22 ] buscaron el estado 1s2s 1 S 0 del He usando un espectrómetro de haz atómico. La búsqueda no tuvo éxito con un límite superior de 5×10 −6 .

Relación con la teoría de la representación del grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz no posee representaciones unitarias no triviales de dimensión finita. Por lo tanto, parece imposible construir un espacio de Hilbert en el que todos los estados tengan espín finito y distinto de cero, y norma positiva e invariante de Lorentz. Este problema se resuelve de diferentes maneras, dependiendo de la estadística de espín de las partículas.

Para un estado de espín entero, los estados de norma negativa (conocidos como "polarización no física") se establecen en cero, lo que hace necesario el uso de la simetría de gauge .

Para un estado de espín semientero, el argumento puede eludirse teniendo estadísticas fermiónicas. [ 23 ]

Partículas compuestas

El teorema de espín-estadística se aplica no solo a partículas elementales, sino también a partículas compuestas formadas a partir de ellas, siempre que la estructura interna de las compuestas sea idéntica y permanezcan ligadas bajo las condiciones consideradas. Se puede considerar la función de onda de muchos cuerpos para las partículas compuestas. Si todas las partículas elementales constituyentes de una compuesta se intercambian simultáneamente con las de otra, el cambio de signo resultante de la función de onda está determinado por el número de fermiones dentro de cada compuesta. En tales sistemas, el espín total de la partícula compuesta surge de la suma cuántica de los momentos angulares de sus constituyentes: si el número de fermiones constituyentes es par, la compuesta tiene espín entero y se comporta como un bosón con una función de onda simétrica; si el número es impar, el espín es semientero y la compuesta se comporta como un fermión con una función de onda antisimétrica. [ 24 ] Este resultado se ha denominado teorema de Ehrenfest-Oppenheimer. [ 25 ]

Los hadrones son partículas subatómicas compuestas formadas por quarks unidos por la interacción fuerte . Los quarks son fermiones con espín 1/2. Los hadrones se dividen en dos categorías principales: bariones , que constan de un número impar de quarks (normalmente tres), y mesones , que constan de un número par de quarks (normalmente un quark y un antiquark). Los bariones, como los protones y los neutrones , son fermiones debido a su número impar de quarks constituyentes. Los mesones, como los piones , son bosones porque contienen un número par de quarks. [ 26 ]

El efecto de la estadística cuántica en las partículas compuestas se evidencia en las propiedades superfluidas de los dos isótopos de helio, helio-3 y helio-4 . En los átomos neutros , cada protón siempre se corresponde con un electrón, de modo que el número total de protones más electrones siempre es par. Por lo tanto, un átomo se comporta como un fermión si contiene un número impar de neutrones y como un bosón si el número de neutrones es par. El helio-3 tiene un neutrón y es un fermión, mientras que el helio-4 tiene dos neutrones y es un bosón. A una temperatura de 2,17 K, el helio-4 experimenta una transición de fase a un estado superfluido que puede entenderse como un tipo de condensado de Bose-Einstein. Este mecanismo no está directamente disponible para el helio-3 fermiónico, que permanece como un líquido normal a temperaturas mucho más bajas. Por debajo de 2,6 mK, el helio-3 también transita a un estado superfluido. Esto se logra mediante un mecanismo similar a la superconductividad : las interacciones entre átomos de helio-3 primero unen los átomos en pares de Cooper , que son nuevamente bosónicos, y los pares pueden luego experimentar condensación de Bose-Einstein. [ 27 ] [ 24 ]

Aunque los bosones compuestos exhiben un comportamiento similar al de los bosones elementales, la naturaleza fermiónica de sus constituyentes introduce a veces efectos sutiles debido al principio de exclusión de Pauli . Estos efectos limitan la proximidad con la que pueden empaquetarse los bosones compuestos y son especialmente significativos en sistemas densos. En ocasiones, se modelan como interacciones efectivas entre compuestos. [ 28 ]

cuasipartículas aniones en 2 dimensiones

En 1982, el físico Frank Wilczek publicó un artículo de investigación sobre las posibilidades de posibles partículas de espín fraccionario, a las que denominó aniones por su capacidad de adoptar "cualquier" espín. [ 29 ] Escribió que se predecía teóricamente que surgirían en sistemas de baja dimensión donde el movimiento está restringido a menos de tres dimensiones espaciales. Wilczek describió sus estadísticas de espín como "interpolando continuamente entre los casos usuales de bosones y fermiones". [ 29 ] El efecto se ha convertido en la base para comprender el efecto Hall cuántico fraccionario . [ 30 ] [ 31 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Leggett, Anthony J. (2006). Líquidos cuánticos: condensación de Bose y apareamiento de Cooper en sistemas de materia condensada . Textos de posgrado de Oxford. Oxford University Press. págs.  5, 8–10 . ISBN 978-0-19-171195-4.
  2. ↑ Dirac, Paul Adrien Maurice (1981-01-01). Los principios de la mecánica cuántica . Clarendon Press. pág. 149. ISBN  9780198520115.
  3. ↑ Pauli, Wolfgang (1980-01-01). Principios generales de la mecánica cuántica . Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 Duck, Ian; Sudarshan, Ennackel Chandy George; Sudarshan, ECG (1998). Pauli y el teorema de la estadística de espín (1.ª ed. reimpresa). Singapur: World Scientific. ISBN  978-981-02-3114-9.
  5. 1 2 Feynman, Richard P.; Robert B. Leighton; Matthew Sands (1965). Las conferencias de Feynman sobre física . Vol. 3. Addison-Wesley. pág. 4.1. ISBN   978-0-201-02118-9.
  6. ↑ Curceanu, Catalina; Gillaspy, JD; Hilborn, Robert C. (2012-07-01). "Resource Letter SS–1: The Spin-Statistics Connection" . American Journal of Physics . 80 (7): 561– 577. Bibcode : 2012AmJPh..80..561C . doi : 10.1119/1.4704899 . ISSN 0002-9505 . 
  7. ↑ Markus Fierz (1939). "Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin". Helvetica Physica Acta (en alemán). 12 (1): 3– 37. Bibcode : 1939AcHPh..12....3F . doi : 10.5169/sellos-110930 .
  8. ↑ Wolfgang Pauli (15 de octubre de 1940). "La conexión entre el espín y la estadística". Physical Review . 58 (8): 716– 722. Bibcode : 1940PhRv...58..716P . doi : 10.1103/PhysRev.58.716 .
  9. 1 2 Wolfgang Pauli (1950). "Sobre la conexión entre el espín y la estadística" . Progress of Theoretical Physics . 5 (4): 526– 543. Bibcode : 1950PThPh...5..526P . doi : 10.1143/ptp/5.4.526 .
  10. ↑ Richard Feynman (1961). «La teoría de los positrones». Electrodinámica cuántica . Basic Books . ISBN 978-0-201-36075-2.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) Una reimpresión del artículo de Feynman de 1949 en Physical Review.
  11. ↑ Julian Schwinger (15 de junio de 1951). "La teoría cuántica de campos I". Physical Review . 82 (6): 914– 917. Bibcode : 1951PhRv...82..914S . doi : 10.1103/PhysRev.82.914 . S2CID 121971249 . 
  12. ↑ Pauli, Wolfgang (1988). «Principio de Exclusión, Grupo Lorentz y Reflexión del Espacio-Tiempo y Carga» . En Enz, Charles P.; contra Meyenn, Karl (eds.). Wolfgang Pauli (en alemán). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. págs. 459– 479. doi : 10.1007/978-3-322-90270-2_41 . ISBN  978-3-322-90271-9.
  13. ↑ Lüders, Gerhart; Zumino, Bruno (1958-06-15). "Conexión entre espín y estadística" . Physical Review . 110 (6): 1450– 1453. Bibcode : 1958PhRv..110.1450L . doi : 10.1103/PhysRev.110.1450 . ISSN 0031-899X . 
  14. ↑ Pais, Abraham (2002). Inward bound: of matter and forces in the physical world ( Edición reimpresa). Oxford: Clarendon Press [ua] ISBN  978-0-19-851997-3.
  15. ↑ Neuenschwander, Dwight E. (1994-11-01). "Pregunta n.º 7. El teorema de espín-estadística" . American Journal of Physics . 62 (11): 972. Bibcode : 1994AmJPh..62..972N . doi : 10.1119/1.17652 . ISSN 0002-9505 . 
  16. ↑ Neuenschwander, Dwight E. (28 de julio de 2015). "El teorema de la estadística de espín y las funciones de distribución de partículas idénticas" . Radiaciones . pág. 27. 
  17. ↑ Baez, John. "Spin, Statistics, CPT and All That Jazz" . math.ucr.edu . Archivado del original el 5 de mayo de 2026. Consultado el 25 de junio de 2026 .
  18. ↑ Simon, Steven H. (29 de septiembre de 2023). «Capítulo 2: Invariante del corchete de Kauffman y su relación con la física». Física cuántica topológica (1.ª ed.). Oxford University Press, Oxford. doi : 10.1093/oso/9780198886723.001.0001 . ISBN  978-0-19-888672-3.
  19. ↑ Greenberg, OW; Mohapatra, RN (1987-11-30). "Teoría cuántica de campos local de posible violación del principio de Pauli" . Physical Review Letters . 59 (22): 2507– 2510. Bibcode : 1987PhRvL..59.2507G . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.2507 . ISSN 0031-9007 . PMID 10035570 .  
  20. ↑ Hilborn, Robert C. (1995-04-01). "Respuesta a la pregunta n.º 7 [ "El teorema de la estadística de espín", Dwight E. Neuenschwander, Am. J. Phys. 62 (11), 972 (1994) ] " . American Journal of Physics . 63 (4): 298– 299. Bibcode : 1995AmJPh..63..298H . doi : 10.1119/1.17953 . ISSN 0002-9505 .  
  21. ↑ Drake, GWF (1989). "Desplazamientos de energía predichos para el helio "parónico"" . Phys. Rev. A. 39 ( 2): 897–899 . Bibcode : 1989PhRvA..39..897D . doi : 10.1103/PhysRevA.39.897 . PMID 9901315. S2CID 35775478 .  
  22. ↑ Deilamian, K.; et al. (1995). "Búsqueda de pequeñas violaciones del postulado de simetrización en un estado excitado del helio". Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787– 4790. Bibcode : 1995PhRvL..74.4787D . doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . PMID 10058599 .  
  23. ↑ Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Addison-Wesley . ISBN 0-201-50397-2.
  24. 1 2 Leggett, AJ; Javan, R. (2005-01-01), "Mecánica cuántica: Fundamentos" , en Bassani, Franco; Liedl, Gerald L.; Wyder, Peter (eds.), Enciclopedia de física de la materia condensada , Oxford: Elsevier, pp. 99–108 , doi : 10.1016/B0-12-369401-9/00616-1 , ISBN  978-0-12-369401-0, consultado el 13 de marzo de 2023
  25. ↑ Curceanu, Catalina; Gillaspy, JD; Hilborn, Robert C. (2012-07-01). "Resource Letter SS–1: The Spin-Statistics Connection" . American Journal of Physics . 80 (7): 561– 577. doi : 10.1119/1.4704899 . ISSN 0002-9505 . Recuperado el 2026-01-20 . 
  26. ↑ Amsler, C.; et al. ( Particle Data Group ) (2008). "Quark Model" (PDF) . Physics Letters B . Review of Particle Physics. 667 (1): 1– 6. Bibcode : 2008PhLB..667....1A . doi : 10.1016/j.physletb.2008.07.018 . hdl : 1854/LU-685594 . 
  27. ↑ Leggett, Anthony J. (2006). Líquidos cuánticos: condensación de Bose y apareamiento de Cooper en sistemas de materia condensada . Textos de posgrado de Oxford. Oxford University Press. págs. 3–8 . ISBN  978-0-19-171195-4.
  28. ↑ Combescot, Monique; Combescot, Roland; Dubin, François (2017-06-01). "Condensación de Bose-Einstein y excitones indirectos: una revisión". Reports on Progress in Physics . 80 (6): 066501. Bibcode : 2017RPPh...80f6501C . doi : 10.1088/1361-6633/aa50e3 . ISSN 0034-4885 . PMID 28355164 .  
  29. 1 2 Wilczek, Frank (4 de octubre de 1982). "Mecánica cuántica de partículas de espín fraccionario" (PDF) . Physical Review Letters . 49 (14): 957– 959. Bibcode : 1982PhRvL..49..957W . doi : 10.1103/PhysRevLett.49.957 .
  30. ↑ Laughlin, RB (1999-07-01). "Conferencia Nobel: Cuantización fraccionaria" . Reviews of Modern Physics . 71 (4): 863– 874. Bibcode : 1999RvMP...71..863L . doi : 10.1103/RevModPhys.71.863 . ISSN 0034-6861 . 
  31. ↑ Murthy, Ganpathy; Shankar, R. (2003-10-03). "Teorías hamiltonianas del efecto Hall cuántico fraccionario" . Reviews of Modern Physics . 75 (4): 1101– 1158. Bibcode : 2003RvMP...75.1101M . doi : 10.1103/RevModPhys.75.1101 . ISSN 0034-6861 . 

Lecturas adicionales

  • Duck, Ian; Sudarshan, ECG (1998). "Hacia una comprensión del teorema de espín-estadística" . American Journal of Physics . 66 (4): 284– 303. Bibcode : 1998AmJPh..66..284D . doi : 10.1119/1.18860 .
  • Streater, Ray F.; Wightman, Arthur S. (2000). PCT, Spin & Statistics, and All That (5.ª  ed.). Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-07062-8.
  • Jabs, Arthur (2010). "Conectando el espín y la estadística en mecánica cuántica". Foundations of Physics . 40 (7): 776– 792. arXiv : 0810.2399 . Bibcode : 2010FoPh...40..776J . doi : 10.1007/s10701-009-9351-4 . S2CID 122488238 . 
  • Una bonita casi prueba en la página principal de John Baez.
  • Animación del truco del cinturón de Dirac con un cinturón doble, que muestra que los cinturones se comportan como partículas de espín 1/2.
  • Animación de una variante del truco del cinturón de Dirac que muestra que las partículas de espín 1/2 son fermiones.