Grupo de espín c

En geometría de espín , un grupo de espín ^c (o grupo de espín complejo ) es un grupo de Lie obtenido mediante el grupo de espín a través de una torsión con el primer grupo unitario . C representa los números complejos , que se denotan${\displaystyle \mathbb {C} }$. Una aplicación importante de los grupos de espín ^c es para las estructuras de espín ^c , que son fundamentales para la teoría de Seiberg-Witten .

El grupo de espionaje${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$es una doble cubierta del grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$, por eso${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$actúa sobre ello con${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)}$. Además,${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$También actúa sobre el primer grupo unitario.${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$mediante la identificación antípoda${\displaystyle y\sim -y}$. El grupo de espín ^c es entonces: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$

con${\displaystyle (x,y)\sim (-x,-y)}$También se denota${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$. Utilizando el isomorfismo excepcional${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$, uno también tiene${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)=\operatorname {Spin} ^{2}(n)}$con:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(1)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$, inducido por el isomorfismo${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {U} (2)}$, ^{[ 5 ]} inducido por el isomorfismo excepcional${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$. Dado que además${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$, uno también tiene${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(2)}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)}$, inducido por el isomorfismo excepcional${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(6)\rightarrow \operatorname {U} (4)}$es una doble cubierta, inducida por el isomorfismo excepcional${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$

Para todos los grupos de homotopía abeliana superiores , se tiene:

${\displaystyle \pi _{k}\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Spin} (n)\times \pi _{k}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)}$

para${\displaystyle k\geq 2}$.

• Grupo de espín ^h

• Lawson, Herbert Blaine Jr .; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de espín . Serie Matemática de Princeton. Vol.  38. Princeton: Princeton University Press. doi : 10.1515/9781400883912 . ISBN 978-1-4008-8391-2.
• Christian Bar (1999). «Símbolos elípticos» . Mathematische Nachrichten . 201 (1).
• " Estructuras complejas estables y de espín ^c " (PDF) .
• Liviu I. Nicolaescu. Notas sobre la teoría de Seiberg-Witten (PDF) .