Grupo de espín h

En geometría de espín , un grupo de espín ^h (o grupo de espín cuaterniónico ) es un grupo de Lie obtenido mediante el grupo de espín a través de una torsión con el primer grupo simpléctico . H representa los cuaterniones , que se denotan${\displaystyle \mathbb {H} }$. Una aplicación importante de los grupos de espín ^h es para las estructuras de espín ^h .

El grupo de espionaje${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$es una doble cubierta del grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$, por eso${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$actúa sobre ello con${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)}$. Además,${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$También actúa en el primer grupo simpléctico.${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$mediante la identificación antípoda${\displaystyle y\sim -y}$. El grupo de espín ^h es entonces: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Sp} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$

mi${\displaystyle (x,y)\sim (-x,-y)}$También se denota${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {H} }(n)}$. Utilizando el isomorfismo excepcional${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$, uno también tiene${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(n)=\operatorname {Girar} ^{3}(n)}$con:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(1)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$, inducido por el isomorfismo${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(2)\cong \operatorname {U} (2)}$, inducido por el isomorfismo excepcional${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$- Dado que además${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$, uno también tiene${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(2)\cong \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(3)}$.

Para todos los grupos de homotopía abeliana superiores , se tiene:

${\displaystyle \pi _{k}\operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Girar} (n)\times \pi _{k}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)\times \pi _{k}(S^{3})}$

para${\displaystyle k\geq 2}$.

• Grupo de espín ^c

• Christian Bar (1999). «Símbolos elípticos» . Mathematische Nachrichten . 201 (1).