espiral de Arquímedes

La espiral arquimediana (también conocida como espiral de Arquímedes o espiral aritmética ) es una espiral que recibe su nombre del matemático griego Arquímedes , del siglo III a. C. El término espiral arquimediana se utiliza a veces para referirse a la clase más general de espirales de este tipo (véase más abajo), en contraste con la espiral de Arquímedes (la espiral aritmética específica de Arquímedes). Es el lugar geométrico que corresponde a las ubicaciones a lo largo del tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante . De forma equivalente, en coordenadas polares ( r , θ ) se puede describir mediante la ecuación $${\displaystyle r=b\cdot \theta }$$ con el número real b . Cambiar el parámetro b controla la distancia entre bucles.

De la ecuación anterior, se puede afirmar que la posición de la partícula desde el punto de partida es proporcional al ángulo θ a medida que transcurre el tiempo.

Arquímedes describió una espiral de este tipo en su libro Sobre las espirales . Conón de Samos era amigo suyo y Pappus afirma que Conón descubrió esta espiral. ^{[ 1 ]}

A continuación se utiliza un enfoque físico para comprender el concepto de espirales de Arquímedes.

Supongamos que un objeto puntual se mueve en el sistema cartesiano con una velocidad constante v dirigida paralelamente al eje x , con respecto al plano xy . Sea que en el instante t = 0 , el objeto se encontraba en un punto arbitrario ( c , 0, 0) . Si el plano xy gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z , entonces la velocidad del punto con respecto al eje z se puede escribir como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}}$$

Como se muestra en la figura adjunta, tenemos vt + c que representa el módulo del vector de posición de la partícula en cualquier instante t , con v _x y v _y como las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes x e y, respectivamente.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones anteriores se pueden integrar aplicando la integración por partes , lo que lleva a las siguientes ecuaciones paramétricas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}}$$

Elevando al cuadrado las dos ecuaciones y luego sumándolas (y realizando algunas pequeñas modificaciones) se obtiene la ecuación cartesiana. $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c}$$ (utilizando el hecho de que ωt = θ y θ = arctan ⁠ y / x ⁠ ) o $${\displaystyle \tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}}$$

Su forma polar es $${\displaystyle r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.}$$

Dada la parametrización en coordenadas cartesianas $${\displaystyle f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )}$$ La longitud del arco desde θ ₁ hasta θ ₂ es $${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$$ o, equivalentemente: $${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.}$$ Por lo tanto, la longitud total desde θ ₁ = 0 hasta θ ₂ = θ es $${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].}$$

La curvatura viene dada por $${\displaystyle \kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b\left(\theta ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

La espiral de Arquímedes tiene la propiedad de que cualquier rayo que parta del origen interseca giros sucesivos de la espiral en puntos con una distancia de separación constante (igual a 2πb si θ se mide en radianes ), de ahí el nombre de "espiral aritmética". En contraste, en una espiral logarítmica estas distancias, así como las distancias de los puntos de intersección medidas desde el origen, forman una progresión geométrica .

La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Ambos brazos se conectan suavemente en el origen. En el gráfico adjunto solo se muestra un brazo. Al tomar la imagen especular de este brazo con respecto al eje y, se obtiene el otro brazo.

Para valores grandes de θ, un punto se mueve con una aceleración uniforme bien aproximada a lo largo de la espiral de Arquímedes, mientras que la espiral corresponde a las ubicaciones a lo largo del tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante ^{[ 2 ]} (véase la contribución de Mikhail Gaichenkov).

A medida que crece la espiral de Arquímedes, su evoluta se aproxima asintóticamente a un círculo con radio ⁠ | v | / ω ⁠ .

A veces, el término espiral de Arquímedes se utiliza para referirse al grupo más general de espirales. $${\displaystyle r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.}$$

La espiral de Arquímedes normal se produce cuando c = 1. Otras espirales que entran en este grupo incluyen la espiral hiperbólica ( c = −1 ), la espiral de Fermat ( c = 2 ) y el lituus ( c = −2 ).

Un método para cuadrar el círculo , debido a Arquímedes, utiliza una espiral arquimediana. Arquímedes también demostró cómo se puede usar la espiral para trisecar un ángulo . Ambos enfoques flexibilizan las limitaciones tradicionales en el uso de la regla y el compás en las demostraciones geométricas de la antigua Grecia. ^{[ 3 ]}

La espiral de Arquímedes tiene diversas aplicaciones en el mundo real. Los compresores scroll , utilizados para comprimir gases, tienen rotores que pueden estar hechos de dos espirales de Arquímedes entrelazadas, involutas de un círculo del mismo tamaño que se asemejan mucho a las espirales de Arquímedes, ^{[ 4 ]} o curvas híbridas.

Las espirales de Arquímedes se pueden encontrar en las antenas espirales , que pueden funcionar en un amplio rango de frecuencias.

Las espirales de los resortes de los volantes de los relojes y los surcos de los primeros discos de gramófono forman espirales de Arquímedes, lo que hace que los surcos estén espaciados uniformemente (aunque posteriormente se introdujo el espaciado variable entre pistas para maximizar la cantidad de música que se podía grabar en un disco). ^{[ 5 ]}

Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una forma de cuantificar el temblor humano ; esta información ayuda a diagnosticar enfermedades neurológicas.

Las espirales de Arquímedes también se utilizan en sistemas de proyección de procesamiento digital de luz (DLP) para minimizar el " efecto arcoíris ", que hace que parezca que se muestran varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad el rojo, el verde y el azul se alternan muy rápidamente. ^{[ 6 ]} Además, las espirales de Arquímedes se utilizan en microbiología de alimentos para cuantificar la concentración bacteriana mediante una placa espiral. ^{[ 7 ]}

También se utilizan para modelar el patrón que se produce en un rollo de papel o cinta de grosor constante enrollado alrededor de un cilindro. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Muchas espirales dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar o el patrón formado por una rueda de Catalina ) son arquimedianas. Por ejemplo, la estrella LL Pegasi muestra una espiral arquimediana aproximada en las nubes de polvo que la rodean, que se cree que son materia expulsada por la estrella que ha sido guiada en espiral por otra estrella compañera como parte de un sistema estelar binario. ^{[ 10 ]}

La espiral de Arquímedes no se puede construir con precisión mediante los métodos tradicionales de regla y compás, ya que requiere que el radio de la curva aumente constantemente a medida que aumenta el ángulo en el origen. Sin embargo, se puede construir una espiral aritmética de forma aproximada, con distintos grados de precisión, mediante diversos métodos de dibujo manual. Uno de estos métodos utiliza regla y compás; otro utiliza un compás de cuerda modificado.

La construcción tradicional común utiliza compás y regla para aproximar la espiral aritmética. Primero, se dibuja un círculo grande y su circunferencia se subdivide en 12 diámetros, formando 12 arcos (de 30 grados cada uno; véase dodecágono regular ). A continuación, el radio de este círculo se subdivide en 12 segmentos unitarios (unidades radiales), y se construye una serie de círculos concéntricos, cada uno con un radio incrementado en una unidad radial. Comenzando con el diámetro horizontal y el círculo concéntrico más interno, se marca el punto donde su radio interseca su circunferencia; luego se pasa al siguiente círculo concéntrico y al siguiente diámetro (subiendo para construir una espiral en sentido antihorario o bajando para una en sentido horario) para marcar el siguiente punto. Una vez marcados todos los puntos, los puntos sucesivos se conectan mediante una línea que aproxima la espiral aritmética (o mediante una curva suave; véase curva francesa ). Dependiendo del grado de precisión deseado, este método puede mejorarse aumentando el tamaño del círculo exterior grande, subdividiendo tanto su circunferencia como su radio, e incrementando el número de círculos concéntricos (véase Espiral poligonal ). La aproximación de la espiral de Arquímedes mediante este método recuerda, por supuesto, al famoso método de Arquímedes para aproximar π duplicando los lados de polígonos sucesivos (véase Aproximación poligonal de π ).

La construcción de la espiral de Teodoro con compás y regla es otro método sencillo para aproximar la espiral de Arquímedes.

Un método mecánico para construir la espiral aritmética utiliza un compás de cuerda modificado, donde la cuerda se enrolla y desenrolla alrededor de un pivote central fijo (que no gira), aumentando o disminuyendo así la longitud del radio (cuerda) a medida que cambia el ángulo (la cuerda se enrolla alrededor del pivote fijo que no gira). Este método es una forma sencilla de crear una espiral aritmética, que surge naturalmente del uso de un compás de cuerda con pivote (no del pivote suelto de un compás de cuerda común). La herramienta de dibujo con compás de cuerda tiene varias modificaciones y diseños, y este método de construcción recuerda a los métodos basados ​​en cuerdas para crear elipses (con dos pivotes fijos).

Otro método mecánico es una variante del compás de cuerda anterior, que proporciona mayor precisión y flexibilidad. En lugar del pasador central y la cuerda del compás de cuerda, este dispositivo utiliza un eje (columna) fijo con roscas helicoidales (tornillo; véase tornillo de Arquímedes ) al que se unen dos brazos ranurados: un brazo horizontal se fija (se desplaza hacia arriba) a las roscas del eje vertical en un extremo y sujeta una herramienta de dibujo en el otro; otro brazo inclinado se fija en un extremo a la parte superior del eje del tornillo y se une mediante un pasador que encaja holgadamente en su ranura a la ranura del brazo horizontal. Los dos brazos giran juntos y trabajan en conjunto para producir la espiral aritmética: a medida que el brazo horizontal asciende gradualmente por el tornillo, la ranura de fijación de dicho brazo al brazo inclinado acorta gradualmente el radio de dibujo. El ángulo del brazo inclinado permanece constante (traza un cono ), y al ajustar un ángulo diferente se varía la inclinación de la espiral. Este dispositivo ofrece un alto grado de precisión, dependiendo de la precisión con la que se mecanice (mecanizar una rosca helicoidal precisa supone un reto similar). Y, por supuesto, el uso de un eje de tornillo en este mecanismo recuerda al tornillo de Arquímedes .

• Espiral áurea : curva autosimilar relacionada con la proporción áurea. 
• Lista de espirales
• Símbolo de triple espiral : símbolo con simetría rotacional triple. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 

• Jonathan Matt hace que la espiral de Arquímedes sea interesante - Video  : La sorprendente belleza de las matemáticas - Charlas TedX , Green Farms
• Weisstein, Eric W. "Espiral de Arquímedes" . MundoMatemático .
• espiral arquimediana en PlanetMath .
• Página con aplicación Java para explorar de forma interactiva la espiral de Arquímedes y sus curvas relacionadas.
• Exploración en línea mediante JSXGraph (JavaScript)
• Espiral de Arquímedes en "mathcurve"