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Articulo de referencia

Octonión dividido

En matemáticas , los octoniones divididos constituyen un álgebra no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales . A diferencia de los octoniones estándar , contienen el...

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En matemáticas , los octoniones divididos constituyen un álgebra no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales . A diferencia de los octoniones estándar , contienen elementos distintos de cero que no son invertibles. Además, las signaturas de sus formas cuadráticas difieren: los octoniones divididos tienen signatura dividida (4,4), mientras que los octoniones tienen signatura definida positiva (8,0).

Salvo isomorfismo, los octoniones y los octoniones divididos son las únicas dos álgebras de composición de 8 dimensiones sobre los números reales. También son las únicas dos álgebras de octoniones sobre los números reales. Se pueden definir álgebras de octoniones divididos análogas a los octoniones divididos sobre cualquier cuerpo .

Definición

Construcción Cayley-Dickson

Los octoniones y los octoniones divididos se pueden obtener a partir de la construcción de Cayley-Dickson definiendo una multiplicación en pares de cuaterniones . Introducimos una nueva unidad imaginaria ℓ y escribimos un par de cuaterniones ( a , b ) en la forma a + b ℓ. El producto se define mediante la regla: [ 1 ]

(a+bℓ)(do+dℓ)=(ado+λd¯b)+(da+bdo¯)ℓ{\displaystyle (a+b\ell )(c+d\ell )=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+(da+b{\bar {c}})\ell }

dónde

λ=ℓ2.{\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}

Si se elige λ = −1 , obtenemos los octoniones. Si, en cambio, se elige +1, obtenemos los octoniones divididos. También se pueden obtener los octoniones divididos mediante una duplicación de Cayley-Dickson de los cuaterniones divididos . En este caso, cualquiera de las dos opciones de λ (±1) da como resultado los octoniones divididos.

Tabla de multiplicación

Una regla mnemotécnica para los productos de los octoniones divididos.

Una base para los octoniones divididos viene dada por el conjunto{ 1, i, j, k, ℓ, ℓi, ℓj, ℓk }{\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}.

Cada octanio partidoincógnita{\displaystyle x}se puede escribir como una combinación lineal de los elementos base,

incógnita=incógnita0+incógnita1i+incógnita2j+incógnita3k+incógnita4ℓ+incógnita5ℓi+incógnita6ℓj+incógnita7ℓk,{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}

con coeficientes realesincógnitaa{\displaystyle x_{a}}.

Por linealidad, la multiplicación de octoniones divididos está completamente determinada por la siguiente tabla de multiplicación :

El diagrama de la derecha proporciona una regla mnemotécnica práctica, que representa la tabla de multiplicar de los octoniones divididos. Este se deriva de su octonio padre (uno de los 480 posibles), que se define por:

miimij=−δijmi0+εijkmik,{\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}

dóndeδij{\displaystyle \delta _{ij}}es el delta de Kronecker yεijk{\displaystyle \varepsilon _ {ijk}}es el símbolo de Levi-Civita con valor+1{\displaystyle +1}cuandoijk=123,154,176,264,257,374,365,{\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}y:

miimi0=mi0mii=mii;mi0mi0=mi0,{\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}

conmi0{\displaystyle e_{0}}el elemento escalar yi,j,k=1...7.{\displaystyle i,j,k=1...7.}

Las flechas rojas indican posibles inversiones de dirección impuestas al negar el cuadrante inferior derecho del padre, creando un octonio dividido con esta tabla de multiplicar.

Conjugado, norma e inverso

El conjugado de un octonio dividido x viene dado por

incógnita¯=incógnita0−incógnita1i−incógnita2j−incógnita3k−incógnita4ℓ−incógnita5ℓi−incógnita6ℓj−incógnita7ℓk,{\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}

igual que para los octoniones.

La forma cuadrática en x viene dada por

norte(incógnita)=incógnita¯incógnita=(incógnita02+incógnita12+incógnita22+incógnita32)−(incógnita42+incógnita52+incógnita62+incógnita72).{\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}

Esta forma cuadrática N ( x ) es una forma cuadrática isotrópica ya que existen octoniones divididos no nulos x tales que N ( x ) = 0. Con N , los octoniones divididos forman un espacio pseudo-euclidiano de ocho dimensiones sobre R , a veces escrito R 4,4 para denotar la signatura de la forma cuadrática.

Si N ( x ) ≠ 0, entonces x tiene un inverso multiplicativo (bilateral) x − 1 dado por

incógnita−1=norte(incógnita)−1incógnita¯.{\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}

Propiedades

Los octoniones divididos, al igual que los octoniones, son no conmutativos y no asociativos. También al igual que los octoniones, forman un álgebra de composición ya que la forma cuadrática N es multiplicativa. Es decir,

norte(incógnitay)=norte(incógnita)norte(y).{\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}

Los octoniones divididos satisfacen las identidades de Moufang y, por lo tanto, forman un álgebra alternativa . Por consiguiente, según el teorema de Artin , la subálgebra generada por cualesquiera dos elementos es asociativa. El conjunto de todos los elementos invertibles (es decir, aquellos elementos para los que N ( x ) ≠ 0) forma un bucle de Moufang .

El grupo de automorfismos de los octoniones divididos es un grupo de Lie de 14 dimensiones , la forma real dividida del excepcional grupo de Lie simple G 2 .

Álgebra vectorial-matricial de Zorn

Dado que los octoniones divididos no son asociativos, no pueden representarse mediante matrices ordinarias (la multiplicación de matrices siempre es asociativa). Zorn encontró una forma de representarlos como "matrices" que contienen escalares y vectores utilizando una versión modificada de la multiplicación de matrices. [ 2 ] Específicamente, se define una matriz vectorial como una matriz de 2 × 2 de la forma [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

[avwb],{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}

donde a y b son números reales y v y w son vectores en R³ . Definimos la multiplicación de estas matrices mediante la regla

[avwb][a′v′w′b′]=[aa′+v⋅w′av′+b′v+w×w′a′w+bw′−v×v′bb′+v′⋅w]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatriz}}}

donde · y × son el producto escalar y el producto vectorial ordinarios de 3-vectores. Con la suma y la multiplicación escalar definidas como de costumbre, el conjunto de todas esas matrices forma un álgebra unitaria no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales, llamada álgebra vectorial-matricial de Zorn .

Defina el " determinante " de una matriz vectorial mediante la regla

det[avwb]=ab−v⋅w{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.

Este determinante es una forma cuadrática en el álgebra de Zorn que satisface la regla de composición:

det(AB)=det(A)det(B).{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}

El álgebra de vectores y matrices de Zorn es, de hecho, isomorfa al álgebra de octoniones divididos. Escribe un octonio.incógnita{\displaystyle x}en la forma

incógnita=(a+v)+ℓ(b+w){\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}

dóndea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son números reales y v y w son cuaterniones imaginarios puros considerados como vectores en R 3 . El isomorfismo de los octoniones divididos al álgebra de Zorn viene dado por

incógnita↦ϕ(incógnita)=[a+bv+w−v+wa−b].{\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}

Este isomorfismo conserva la norma ya quenorte(incógnita)=det(ϕ(incógnita)){\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}.

Aplicaciones

Los octoniones divididos se utilizan en la descripción de leyes físicas. Por ejemplo:

  • La ecuación de Dirac en física (la ecuación de movimiento de una partícula de espín libre 1/2, por ejemplo, un electrón o un protón) puede expresarse en aritmética nativa de octoniones divididos. [ 7 ]
  • La mecánica cuántica supersimétrica tiene una extensión octoniónica. [ 8 ]
  • El álgebra de octoniones divididos basada en Zorn se puede utilizar para modelar la cromodinámica cuántica SU(3) con simetría de gauge local. [ 9 ]
  • El problema de una bola rodando sin deslizarse sobre una bola de radio tres veces mayor tiene como grupo de simetría la forma real dividida del grupo excepcional G 2 , porque este problema puede describirse utilizando octoniones divididos. [ 10 ]

Referencias

  1. ↑ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , página 158, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3MR 2014924 
  2. ^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
  3. ↑ Nathan Jacobson (1962) Álgebras de Lie , página 142, Interscience Publishers.
  4. ↑ Schafer, Richard D. (1966). Introducción a las álgebras no asociativas . Academic Press . págs. 52–56 . ISBN  0-486-68813-5.
  5. ↑ Lowell J. Page (1963) "Álgebras de Jordan", páginas 144–186 en Estudios de álgebra moderna editado por AA Albert, Mathematics Association of America  : álgebra vectorial-matricial de Zorn en la página 180
  6. ↑ Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a los grupos de Lie y las álgebras de Lie , página 199, Academic Press
  7. ↑ M. Gogberashvili (2006) "Electrodinámica octoniónica", Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi : 10.1088/0305-4470/39/22/020
  8. ↑ V. Dzhunushaliev (2008) "No asociatividad, supersimetría y variables ocultas", Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi : 10.1063/1.2907868 ; arXiv : 0712.1647
  9. ↑ B. Wolk, Adv. Appl. Clifford Algebras 27(4), 3225 (2017).
  10. ↑ J. Baez y J. Huerta, G 2 y la bola rodante, Trans. Amer. Math. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447 .

Lecturas adicionales

  • R. Foot y GC Joshi (1990) "Firma no estándar del espacio-tiempo, supercuerdas y álgebras de composición dividida", Letters in Mathematical Physics 19: 65–71
  • Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1.
  • Nash, Patrick L (1990) "Sobre la estructura del álgebra de octoniones divididos", Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi : 10.1007/BF02723550
  • Springer, TA; FD Veldkamp (2000). Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.