Cuaternión dividido

En álgebra abstracta , los cuaterniones divididos o cocuaterniones forman una estructura algebraica introducida por James Cockle en 1849 con este último nombre. Forman un álgebra asociativa de dimensión cuatro sobre los números reales .

Tras la introducción en el siglo XX de definiciones de anillos y álgebras sin coordenadas , se demostró que el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al anillo de matrices reales de 2×2 . Por lo tanto, el estudio de los cuaterniones divididos puede reducirse al estudio de matrices reales, lo que podría explicar la escasez de menciones a los cuaterniones divididos en la literatura matemática de los siglos XX y XXI. Los cuaterniones divididos también son equivalentes a las álgebras de Clifford Cl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R ) sobre los números reales, por lo que su estudio también se incluye dentro del estudio del álgebra de Clifford y el álgebra geométrica en la literatura matemática y física .

Los cuaterniones divididos son combinaciones lineales (con coeficientes reales) de cuatro elementos base 1, i, j, k que satisfacen las siguientes reglas de producto:

i ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

Por asociatividad , estas relaciones implican

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

y también ijk = 1 .

Así pues, los cuaterniones divididos forman un espacio vectorial real de dimensión cuatro con {1, i, j, k} como base . También forman un anillo no conmutativo , extendiendo las reglas de producto anteriores mediante la propiedad distributiva a todos los cuaterniones divididos.

Las matrices cuadradas

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

satisfacen la misma tabla de multiplicación que los cuaterniones divididos correspondientes. Como estas matrices forman una base de las matrices de dos por dos, la única función lineal que mapea 1, i, j, k a${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$(respectivamente) induce un isomorfismo algebraico de los cuaterniones divididos a las matrices reales de dos por dos.

Las reglas de multiplicación anteriores implican que los ocho elementos 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k forman un grupo bajo esta multiplicación, que es isomorfo al grupo diedral D ₄ , el grupo de simetría de un cuadrado .

Para ver esto, consideremos un cuadrado cuyos vértices son los puntos cuyos${\displaystyle x{\text{,}}\,y}$Las coordenadas son -1 o +1 de modo que los vértices${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$del cuadrado listado en sentido horario desde acimut +45° son$${\displaystyle {\bigg \{}\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}+1\\+1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}+1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}={\begin{pmatrix}-1\\+1\end{pmatrix}}{\bigg \}}}$$ La matriz${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$tiene determinante${\displaystyle +1}$y da una rotación en el sentido de las agujas del reloj de un cuarto de vuelta, ya que${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{1}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{2}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{3}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{1}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{4}}$La matriz${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$tiene determinante -1 y es la reflexión respecto a la primera diagonal. Fija los vértices.${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$y refleja los vértices${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$uno dentro del otro. La matriz${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$es una reflexión sobre el eje x .${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{3}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$. El negativo de la matriz identidad es el cuadrado de la matriz${\displaystyle \mathbf {i} }$, tiene determinante${\displaystyle +1}$y rota el cuadrado 180° alrededor del origen. Lo hace${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{3}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{2}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$.

Al igual que los cuaterniones introducidos por Hamilton en 1843, forman un álgebra asociativa real de cuatro dimensiones . Pero, al igual que el álgebra real de matrices de 2×2 —y a diferencia del álgebra real de cuaterniones—, los cuaterniones divididos contienen divisores de cero no triviales , elementos nilpotentes e idempotentes . (Por ejemplo, ⁠ 1 / 2 ⁠ (1 + j) es un divisor de cero idempotente, e i − j es nilpotente). Como álgebra sobre los números reales , el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al álgebra de matrices reales de 2×2 por el isomorfismo definido anteriormente.

Este isomorfismo permite identificar cada cuaternión dividido con una matriz de 2×2. Por lo tanto, cada propiedad de los cuaterniones divididos corresponde a una propiedad similar de las matrices, que a menudo recibe un nombre diferente.

El conjugado de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k , es q ^∗ = w − x i − y j − z k . En términos de matrices, el conjugado es la matriz de cofactores que se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal y cambiando el signo de los otros dos elementos.

El producto de un cuaternión dividido con su conjugado es la forma cuadrática isotrópica :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

que se denomina norma del cuaternión partido o determinante de la matriz asociada.

La parte real de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k es w = ( q ^∗ + q )/2 . Es igual a la traza de la matriz asociada.

La norma del producto de dos cuaterniones divididos es igual al producto de sus normas. De forma equivalente, el determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Esta propiedad implica que los cuaterniones divididos forman un álgebra de composición . Dado que existen cuaterniones divididos distintos de cero con norma cero, los cuaterniones divididos forman un «álgebra de composición dividida», de ahí su nombre.

Un cuaternión dividido con norma distinta de cero tiene un inverso multiplicativo , q ^∗ / N ( q ) . En términos de matrices, esto es equivalente a la regla de Cramer , que establece que una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. En este caso, el inverso de la matriz es el cociente de la matriz adjugada por el determinante. La matriz adjugada es la transpuesta de la matriz de cofactores y también se conoce como matriz adjunta.

El isomorfismo entre cuaterniones divididos y matrices reales de 2×2 muestra que el grupo multiplicativo de cuaterniones divididos con norma no nula es isomorfo con${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$y el grupo de cuaterniones divididos de norma 1 es isomorfo con${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

Geométricamente, los cuaterniones divididos pueden compararse con los cuaterniones de Hamilton como haces de planos . En ambos casos, los números reales forman el eje de un haz. En los cuaterniones de Hamilton existe una esfera de unidades imaginarias, y cualquier par de unidades imaginarias antipodales genera un plano complejo con la recta real. Para los cuaterniones divididos existen hiperboloides de unidades hiperbólicas e imaginarias que generan planos complejos divididos u ordinarios, como se describe más adelante en la sección Estratificación .

Existe una representación de los cuaterniones divididos como una subálgebra asociativa unitaria de las matrices de 2×2 con entradas complejas . Esta representación se puede definir mediante el homomorfismo de álgebra que mapea un cuaternión dividido w + x i + y j + z k a la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

Aquí, i ( en cursiva ) es la unidad imaginaria , que no debe confundirse con el elemento base del cuaternión dividido i ( en letra romana normal ).

La imagen de este homomorfismo es el anillo matricial formado por las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

donde el superíndice${\displaystyle ^{*}}$denota un conjugado complejo .

Este homomorfismo mapea respectivamente los cuaterniones divididos i, j, k en las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

El isomorfismo de álgebras se completa mediante el uso de la multiplicación de matrices para verificar las identidades que involucran i, j y k. Por ejemplo,

${\displaystyle jk={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i.}$

De ello se deduce que, para un cuaternión dividido representado como una matriz compleja, el conjugado es la matriz de los cofactores y la norma es el determinante.

Con la representación de cuaterniones divididos como matrices complejas, las matrices de determinante 1 forman el grupo unitario especial SU(1,1) , que se utiliza para describir los movimientos hiperbólicos del modelo de disco de Poincaré en geometría hiperbólica . ^{[ 1 ]}

Los cuaterniones divididos pueden generarse mediante una construcción de Cayley-Dickson modificada ^{[ 2 ]} similar al método de LE Dickson y Adrian Albert para las álgebras de división C , H y O. La regla de multiplicación $${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$ se utiliza al producir el producto duplicado en los casos de división real. El conjugado duplicado${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$de modo que $${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$ Si a y b son números complejos divididos y cuaternión dividido${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

entonces$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

En esta sección se estudian y clasifican las subálgebras reales generadas por un único cuaternión dividido.

Sea p = w + x i + y j + z k un cuaternión dividido. Su parte real es w = 1/2 ( p + p ^* ) . Sea q = p – w = 1/2 ( p – p * ⁾ su parte no real . Se tiene q * ⁼ –q , y por lo tanto${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$De ello se deduce que p ² es un número real si y solo si p es un número real ( q = 0 y p = w ) o un cuaternión dividido puramente no real ( w = 0 y p = q ).

La estructura de la subálgebra${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$generado por p se deduce directamente. Uno tiene

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

y esta es un álgebra conmutativa . Su dimensión es dos excepto si p es real (en este caso, la subálgebra es simplemente${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Los elementos no reales de${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$cuyo cuadrado es real tienen la forma aq con${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

Deben considerarse tres casos, que se detallan en las siguientes subsecciones.

Unidades imaginarias

Este es el caso donde N ( q ) > 0 . Dejando${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ uno tiene

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

De ello se deduce que ⁠ 1 / n ⁠ q pertenece al hiperboloide de dos hojas de ecuación${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$Por lo tanto, existen números reales n , t , u tales que 0 ≤ t < 2π y

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma positiva.

Esto también es una parametrización de las subálgebras correspondientes mediante pares de puntos opuestos de un hiperboloide de dos hojas: los cuaterniones divididos de la forma${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$forman un hiperboloide de dos hojas; una subálgebra generada por un cuaternión partido con una parte no real de norma positiva contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide, uno en cada hoja; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.

El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma positiva es isomorfa a${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$y al campo${\displaystyle \mathbb {C} }$de números complejos .

unidades hiperbólicas

Este es el caso donde N ( q ) < 0 . Dejando${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ uno tiene

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

De ello se deduce que ⁠ 1 / n ⁠ q pertenece al hiperboloide de una hoja de la ecuación y ² + z ² − x ² = 1 . Por lo tanto, existen números reales n , t , u tales que 0 ≤ t < 2 π y

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma negativa.

Esto también es una parametrización de las subálgebras correspondientes mediante pares de puntos opuestos de un hiperboloide de una hoja: los cuaterniones divididos de la forma${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$forman un hiperboloide de una hoja; una subálgebra generada por un cuaternión partido con una parte no real de norma negativa contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.

El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma negativa es isomorfa a${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$y al anillo de números complejos escindidos . También es isomorfo (como álgebra) a${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$por el mapeo definido por ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Los cuaterniones divididos se han aplicado al balance de color ^{[ 3 ].} El modelo se refiere al álgebra de Jordan de matrices simétricas que representan el álgebra. El modelo concilia la tricromacia con la oposición de Hering y utiliza el modelo de Cayley-Klein de geometría hiperbólica para las distancias cromáticas.

Los coquaterniones fueron introducidos inicialmente (con ese nombre) ^{[ 4 ]} en 1849 por James Cockle en la revista filosófica London - Edinburgh - Dublin . Los artículos introductorios de Cockle fueron recordados en la bibliografía de 1904 ^{[ 5 ]} de la Quaternion Association .

En 1878, W. K. Clifford describió casi por completo la representación de cuaterniones divididos con matrices: ^{[ 6 ]} Utilizó K para expresar la unidad imaginaria.${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$El único fallo fue la falta de un signo menos en la ecuación.

${\displaystyle JK={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}=-I.}$

Alexander Macfarlane denominó a la estructura de los vectores de cuaterniones divididos un sistema exsférico cuando habló en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. ^{[ 7 ]} Macfarlane consideró la "contraparte hiperboloide del análisis esférico" en un artículo de 1910 titulado "Unificación y desarrollo de los principios del álgebra del espacio" en el Boletín de la Asociación de Cuaterniones . ^{[ 8 ]}

Hans Beck comparó las transformaciones de cuaterniones divididos con la propiedad de permutación de círculos de las transformaciones de Möbius en 1910. ^{[ 9 ]} La estructura de cuaterniones divididos también se ha mencionado brevemente en los Anales de Matemáticas . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• Paracuaterniones (Ivanov y Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Las variedades con estructuras paracuaterniónicas se estudian en geometría diferencial y teoría de cuerdas . En la literatura sobre paracuaterniones, k se reemplaza por − k .
• Sistema exsférico (Macfarlane, 1900)
• Cuaterniones divididos (Rosenfeld 1988) ^{[ 12 ]}
• Anticuaterniones (Rosenfeld 1988)
• Pseudocuaterniones (Yaglom 1968 ^{[ 13 ]} Rosenfeld 1988)

• cuaterniones duales
• Matrices de Pauli
• álgebra de cuaterniones
• Bicuaterniones divididos
• Octiones divididos

• Brody, Dorje C. y Eva-Maria Graefe . «Sobre mecánica complejizada y cocuaterniones». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Variedades parahermíticas y paracuaterniónicas", Geometría diferencial y sus aplicaciones 23 , págs.  205-234 , arXiv : math.DG/ 0310415 , MR 2158044 . 
• Mohaupt, Thomas (2006), "Nuevos desarrollos en geometría especial", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) "Las raíces de un cuaternión dividido", Applied Mathematics Letters 22:258 – 63.
• Özdemir, M. y AA Ergin (2006) "Rotaciones con cuaterniones de tipo temporal en el espacio de Minkowski tridimensional", Journal of Geometry and Physics 56: 322 – 36.
• Pogoruy, Anatoliy y Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Algunas propiedades algebraicas y analíticas del álgebra de coquaterniones , Avances en álgebras de Clifford aplicadas .