Intervalo dividido

En topología , el intervalo dividido , o espacio de doble flecha , es un espacio topológico que resulta de dividir cada punto de un intervalo cerrado en dos puntos adyacentes y dar al conjunto ordenado resultante la topología de orden . Satisface varias propiedades interesantes y sirve como un contraejemplo útil en topología general .

El intervalo dividido puede definirse como el producto lexicográfico${\displaystyle [0,1]\times \{0,1\}}$equipado con la topología de orden . ^{[ 1 ]} Equivalentemente, el espacio se puede construir tomando el intervalo cerrado${\displaystyle [0,1]}$con su orden habitual, dividiendo cada punto${\displaystyle a}$en dos puntos adyacentes${\displaystyle a^{-}<a^{+}}$y dando al conjunto linealmente ordenado resultante la topología de orden. ^{[ 2 ]} El espacio también se conoce como espacio de doble flecha , ^{[ 3 ] [ 4 ]} espacio de doble flecha de Alexandrov o espacio de dos flechas .

El espacio de arriba es un espacio topológico ordenado linealmente con dos puntos aislados,${\displaystyle (0,0)}$y${\displaystyle (1,1)}$en el producto lexicográfico. Algunos autores ^{[ 5 ] [ 6 ]} toman como definición el mismo espacio sin los dos puntos aislados. (En la descripción de la división de puntos esto corresponde a no dividir los puntos extremos${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$del intervalo.) El espacio resultante tiene esencialmente las mismas propiedades.

El espacio de doble flecha es un subespacio del cuadrado unitario ordenado lexicográficamente . Si ignoramos los puntos aislados, una base para la topología del espacio de doble flecha consiste en todos los conjuntos de la forma${\displaystyle ((a,b]\times \{0\})\cup ([a,b)\times \{1\})}$con${\displaystyle a<b}$. (En la descripción de la división de puntos, estos son los intervalos abiertos de la forma${\displaystyle [a^{+},b^{-}]=(a^{-},b^{+})}$, que son simultáneamente intervalos cerrados e intervalos abiertos.) El subespacio inferior${\displaystyle (0,1]\times \{0\}}$es homeomorfo a la línea de Sorgenfrey con intervalos semiabiertos a la izquierda como base para la topología, y el subespacio superior${\displaystyle [0,1)\times \{1\}}$Es homeomorfa a la línea de Sorgenfrey con intervalos semiabiertos a la derecha como base, como dos flechas paralelas que van en direcciones opuestas, de ahí su nombre.

El intervalo dividido${\displaystyle X}$es un espacio compacto de Hausdorff de dimensión cero . Es un espacio topológico linealmente ordenado que es separable pero no segundo numerable , por lo tanto no metrizable ; sus subespacios metrizables son todos numerables.

Es hereditariamente Lindelöf , hereditariamente separable y perfectamente normal (T ₆ ). Pero el producto${\displaystyle X\times X}$del espacio consigo mismo ni siquiera es hereditariamente normal (T ₅ ), ya que contiene una copia del plano de Sorgenfrey , que no es normal .

Todos los espacios ordenados compactos y separables son isomorfos en orden a un subconjunto del intervalo dividido. ^{[ 7 ]}

• Lista de topologías – Lista de topologías concretas y espacios topológicos 

• Arhangel'skii, AV y Sklyarenko, EG., Topología general II , Springer-Verlag, Nueva York (1996) ISBN 978-3-642-77032-6
• Engelking, Ryszard , Topología general , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
• Fremlin, DH (2003), Teoría de la medida, Volumen 4 , Torres Fremlin, ISBN 0-9538129-4-4
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 .