Principio máximo

Aquí consideramos el caso más simple, aunque el mismo razonamiento puede extenderse a escenarios más generales. Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano y sea u una función C ² definida en M tal que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0}$

donde para cada i y j entre 1 y n , a _ij es una función en M con a _ij = a _ji .

Fijemos un valor de x en M. Según el teorema espectral del álgebra lineal , todos los valores propios de la matriz [ a _ij ( x )] son ​​reales, y existe una base ortonormal de ℝ ⁿ formada por vectores propios. Denotemos los valores propios por λ _i y los vectores propios correspondientes por v _i , para i desde 1 hasta n . Entonces, la ecuación diferencial, en el punto x , puede reformularse como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.}$

La esencia del principio del máximo radica en la simple observación de que si cada autovalor es positivo (lo que equivale a una formulación específica de la "elipticidad" de la ecuación diferencial), entonces la ecuación anterior impone un cierto equilibrio entre las segundas derivadas direccionales de la solución. En particular, si una de las segundas derivadas direccionales es negativa, otra debe ser positiva. En un punto hipotético donde u alcanza su valor máximo, todas las segundas derivadas direccionales son automáticamente no positivas, y el "equilibrio" representado por la ecuación anterior requiere entonces que todas las segundas derivadas direccionales sean idénticamente cero.

Se podría argumentar que este razonamiento elemental representa una formulación infinitesimal del principio del máximo fuerte, que establece, bajo algunas suposiciones adicionales (como la continuidad de a ), que u debe ser constante si hay un punto de M donde u se maximiza.

Nótese que el razonamiento anterior no se ve afectado si se considera la ecuación diferencial parcial más general.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,}$

ya que el término añadido es automáticamente cero en cualquier punto máximo hipotético. El razonamiento tampoco se ve afectado si se considera la condición más general.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

En la cual incluso se puede observar el fenómeno adicional de una contradicción absoluta si existe una desigualdad estricta ( > en lugar de ≥ ) en esta condición en el hipotético punto máximo. Este fenómeno es importante en la demostración formal del principio clásico del máximo débil.

Sin embargo, el razonamiento anterior ya no se aplica si se considera la condición

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,}$

ya que ahora la condición de "equilibrio", evaluada en un punto máximo hipotético de u , solo dice que un promedio ponderado de cantidades manifiestamente no positivas es no positivo. Esto es trivialmente cierto, por lo que no se puede extraer ninguna conclusión no trivial de ello. Esto se refleja en muchos ejemplos concretos, como el hecho de que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,}$

y en cualquier región abierta que contenga el origen, la función − x ² − y ² ciertamente tiene un máximo.

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Si una función suave${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$Si se maximiza en un punto p , entonces automáticamente se tiene:

• ${\displaystyle (du)(p)=0}$
• ${\displaystyle (\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,}$como una desigualdad matricial.

Una ecuación diferencial parcial puede considerarse como la imposición de una relación algebraica entre las distintas derivadas de una función. Por lo tanto, si u es la solución de una ecuación diferencial parcial, es posible que las condiciones anteriores sobre las primeras y segundas derivadas de u contradigan dicha relación algebraica. Esta es la esencia del principio del máximo. Evidentemente, la aplicabilidad de esta idea depende en gran medida de la ecuación diferencial parcial en cuestión.

Por ejemplo, si u resuelve la ecuación diferencial

${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}+2,}$

entonces es claramente imposible tener${\displaystyle \Delta u\leq 0}$y${\displaystyle du=0}$en cualquier punto del dominio. Por lo tanto, siguiendo la observación anterior, es imposible que u tome un valor máximo. Si, en cambio, u resolviera la ecuación diferencial${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}}$Entonces no habría tal contradicción, y el análisis dado hasta ahora no implica nada interesante. Si resolvieras la ecuación diferencial${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}-2,}$Entonces, el mismo análisis demostraría que u no puede tomar un valor mínimo.

La posibilidad de tal análisis ni siquiera se limita a ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, si${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$es una función tal que

${\displaystyle \Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,}$

que es una especie de ecuación diferencial "no local", entonces la positividad estricta automática del lado derecho muestra, por el mismo análisis que el anterior, que u no puede alcanzar un valor máximo.

Hay muchos métodos para extender la aplicabilidad de este tipo de análisis de diversas maneras. Por ejemplo, si u es una función armónica, entonces la contradicción anterior no se produce directamente, ya que existe un punto p donde${\displaystyle \Delta u(p)\leq 0}$no está en contradicción con el requisito${\displaystyle \Delta u=0}$en todas partes. Sin embargo, se podría considerar, para un número real arbitrario s , la función u _s definida por

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.}$

Es fácil ver que

${\displaystyle \Delta u_{s}=se^{x_{1}}.}$

Según el análisis anterior, si${\displaystyle s>0}$entonces u _s no puede alcanzar un valor máximo. Uno podría querer considerar el límite cuando s tiende a 0 para concluir que u tampoco puede alcanzar un valor máximo. Sin embargo, es posible que el límite puntual de una secuencia de funciones sin máximos tenga un máximo. No obstante, si M tiene una frontera tal que M junto con su frontera es compacto, entonces suponiendo que u puede extenderse continuamente hasta la frontera, se sigue inmediatamente que tanto u como u _s alcanzan un valor máximo en${\displaystyle M\cup \partial M.}$Dado que hemos demostrado que u _s , como función en M , no tiene un máximo, se deduce que el punto máximo de u _s , para cualquier s , está en${\displaystyle \partial M.}$Por la compacidad secuencial de${\displaystyle \partial M,}$De ello se deduce que el máximo de u se alcanza en${\displaystyle \partial M.}$Este es el principio del máximo débil para funciones armónicas. Esto no descarta, por sí solo, la posibilidad de que el máximo de u también se alcance en algún punto de M. Ese es el contenido del "principio del máximo fuerte", que requiere un análisis más profundo.

El uso de la función específica${\displaystyle e^{x_{1}}}$Lo anterior era muy irrelevante. Lo único que importaba era tener una función que se extendiera continuamente hasta el límite y cuyo laplaciano fuera estrictamente positivo. Así que podríamos haber usado, por ejemplo,

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}}$

con el mismo efecto.

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano.${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$Sea C una función dos veces diferenciable que alcanza su valor máximo . Supongamos que

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.}$

Supongamos que se puede encontrar (o demostrar la existencia de):

• un subconjunto compacto Ω de M , con interior no vacío, tal que u ( x ) < C para todo x en el interior de Ω , y tal que existe x ₀ en el límite de Ω con u ( x ₀ ) = C.
• una función continua${\displaystyle h:\Omega \to \mathbb {R} }$que es dos veces diferenciable en el interior de Ω y con

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

y de tal manera que se tiene u + h ≤ C en el límite de Ω con h ( x ₀ ) = 0

Entonces L ( u + h − C ) ≥ 0 en Ω con u + h − C ≤ 0 en el límite de Ω ; según el principio del máximo débil, se tiene u + h − C ≤ 0 en Ω . Esto se puede reorganizar para decir

${\displaystyle -{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}}$

para todo x en Ω . Si se puede elegir h de modo que el lado derecho tenga una naturaleza manifiestamente positiva, entonces esto proporcionará una contradicción al hecho de que x ₀ es un punto máximo de u en M , por lo que su gradiente debe anularse.

El "programa" anterior puede llevarse a cabo. Elija Ω como un anillo esférico; seleccione su centro x _c como un punto más cercano al conjunto cerrado u ⁻¹ ( C ) que al conjunto cerrado ∂ M , y seleccione el radio exterior R como la distancia desde este centro a u ⁻¹ ( C ) ; sea x ₀ un punto en este último conjunto que realiza dicha distancia. El radio interior ρ es arbitrario. Defina

${\displaystyle h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.}$

Ahora el límite de Ω consta de dos esferas; en la esfera exterior, una tiene h = 0 ; debido a la selección de R , se tiene u ≤ C en esta esfera, y por lo tanto u + h − C ≤ 0 se cumple en esta parte del límite, junto con el requisito h ( x ₀ ) = 0 . En la esfera interior, se tiene u < C . Debido a la continuidad de u y la compacidad de la esfera interior, se puede seleccionar δ > 0 tal que u + δ < C . Dado que h es constante en esta esfera interior, se puede seleccionar ε > 0 tal que u + h ≤ C en la esfera interior, y por lo tanto en todo el límite de Ω .

El cálculo directo muestra

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).}$

Existen diversas condiciones bajo las cuales se puede garantizar que el lado derecho sea no negativo; véase el enunciado del teorema a continuación.

Por último, observe que la derivada direccional de h en x ₀ a lo largo de la línea radial que apunta hacia adentro del anillo es estrictamente positiva. Como se describe en el resumen anterior, esto asegurará que la derivada direccional de u en x ₀ sea distinta de cero, en contradicción con que x ₀ sea un punto máximo de u en el conjunto abierto M.

A continuación se presenta el enunciado del teorema en los libros de Morrey y Smoller, siguiendo el enunciado original de Hopf (1927):

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano ℝ ⁿ . Para cada i y j entre 1 y n , sean a _ij y b _i funciones continuas en M tales que a _ij = a _ji . Supongamos que para todo x en M , la matriz simétrica [ a _ij ] es definida positiva. Si u es una función C ² no constante en M tal que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

en M , entonces u no alcanza un valor máximo en M.

El objetivo de la hipótesis de continuidad es que las funciones continuas están acotadas en conjuntos compactos, siendo el conjunto compacto relevante en este caso el anillo esférico que aparece en la demostración. Además, por el mismo principio, existe un número λ tal que para todo x en el anillo, la matriz [ a _ij ( x )] tiene todos sus autovalores mayores o iguales a λ . Entonces se toma α , como aparece en la demostración, grande en relación con estos límites. El libro de Evans tiene una formulación ligeramente más débil, en la que se supone que existe un número positivo λ que es un límite inferior de los autovalores de [ a _ij ] para todo x en M .

Estas suposiciones de continuidad claramente no son las más generales posibles para que la demostración funcione. Por ejemplo, a continuación se presenta el enunciado del teorema de Gilbarg y Trudinger, siguiendo la misma demostración:

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano ℝ ⁿ . Para cada i y j entre 1 y n , sean a _ij y b _i funciones definidas en M tales que a _ij = a _ji . Supongamos que para todo x en M , la matriz simétrica [ a _ij ] es definida positiva, y sea λ(x) su menor autovalor. Supongamos que${\displaystyle \textstyle {\frac {a_ {ii}}{\lambda }}}$y${\displaystyle \textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}}$son funciones acotadas en M para cada i entre 1 y n . Si u es una función C ² no constante en M tal que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

en M , entonces u no alcanza un valor máximo en M.

No se pueden extender ingenuamente estas afirmaciones a la ecuación elíptica lineal general de segundo orden, como ya se vio en el caso unidimensional. Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria y ″ + 2 y = 0 tiene soluciones sinusoidales, que ciertamente tienen máximos interiores. Esto se extiende al caso de dimensiones superiores, donde a menudo se tienen soluciones para ecuaciones de "autofunciones" Δ u + cu = 0 que tienen máximos interiores. El signo de c es relevante, como también se vio en el caso unidimensional; por ejemplo, las soluciones de y ″ - 2 y = 0 son exponenciales, y el carácter de los máximos de tales funciones es bastante diferente al de las funciones sinusoidales.

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