Nudo cuadrado (matemáticas)

En teoría de nudos , el nudo cuadrado es un nudo compuesto que se obtiene al tomar la suma conexa de un nudo trébol con su reflexión . Está estrechamente relacionado con el nudo de la abuela , que también es una suma conexa de dos nudos trébol. Dado que el nudo trébol es el nudo no trivial más simple, el nudo cuadrado y el nudo de la abuela son los más simples de todos los nudos compuestos.

El nudo cuadrado es la versión matemática del nudo llano común .

El nudo cuadrado se puede construir a partir de dos nudos de trébol, uno de ellos para zurdos y el otro para diestros. Cada uno de los nudos se corta y los extremos sueltos se unen de dos en dos. La suma resultante es el nudo cuadrado.

Es importante que los nudos de trébol originales sean imágenes especulares el uno del otro. Si se utilizan dos nudos de trébol idénticos, el resultado es un nudo de abuela.

El nudo cuadrado es anfiquiral , lo que significa que es indistinguible de su propia imagen especular. El número de cruces de un nudo cuadrado es seis, que es el número de cruces más pequeño posible para un nudo compuesto.

El polinomio de Alexander del nudo cuadrado es

${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},\,}$

que es simplemente el cuadrado del polinomio de Alexander de un nudo de trébol. De manera similar, el polinomio de Alexander-Conway de un nudo cuadrado es

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

Estos dos polinomios son los mismos que los del nudo de la abuela. Sin embargo, el polinomio de Jones para el nudo cuadrado es

${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}.\,}$

Este es el producto de los polinomios de Jones para los nudos de trébol diestros y zurdos, y es diferente del polinomio de Jones para un nudo de abuela.

El grupo de nudos del nudo cuadrado viene dado por la presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle .\,}$^{[ 1 ]}

Este nudo es isomorfo al grupo de nudos del nudo de la abuela, y es el ejemplo más simple de dos nudos diferentes con grupos de nudos isomorfos.

A diferencia del nudo de la abuela, el nudo cuadrado es un nudo de cinta y, por lo tanto, también es un nudo de rebanada .