raíz cuadrada de 2

En la arquitectura romana antigua , Vitruvio describe el uso de la progresión de la raíz cuadrada de 2 o técnica ad quadratum . Consiste básicamente en un método geométrico, más que aritmético, para duplicar un cuadrado, en el que la diagonal del cuadrado original es igual al lado del cuadrado resultante. Vitruvio atribuye la idea a Platón . El sistema se empleaba para construir pavimentos creando un cuadrado tangente a las esquinas del cuadrado original a 45 grados de este. La proporción también se utilizaba para diseñar atrios , dándoles una longitud igual a la diagonal de un cuadrado cuyos lados son equivalentes al ancho previsto del atrio. ^{[ 8 ]}

Existen muchos algoritmos para aproximar${\displaystyle {\sqrt {2}}}$como una razón de enteros o como un decimal. El algoritmo más común para esto, que se utiliza como base en muchas computadoras y calculadoras, es el método babilónico ^{[ 9 ]} para calcular raíces cuadradas, un ejemplo del método de Newton para calcular raíces de funciones arbitrarias. Es el siguiente:

Primero, elige una suposición,${\displaystyle a_{0}>0}$El valor de la estimación solo afecta la cantidad de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación con cierta precisión. Luego, utilizando esa estimación, se realiza la siguiente computación recursiva :

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

Cada iteración mejora la aproximación, duplicando aproximadamente el número de dígitos correctos. Comenzando con${\displaystyle a_{0}=1}$, las iteraciones subsiguientes dan como resultado:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

Los babilonios habían aproximado el número como${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}}$. ^{[ 3 ] [ 10 ]}

La aproximación racional ⁠ 99 / 70 ⁠ (≈ 1,4142 857) difiere del valor correcto en menos de ⁠ 1 / 10 000 ⁠ (aprox.+0,72 × 10 ⁻⁴ ). Del mismo modo, ⁠ 140 / 99 ⁠ (≈ 1,414 1414...) tiene un error marginalmente menor (aprox.−0,72 × 10 ⁻⁴ ), y ⁠ 239 / 169 ⁠ (≈ 1,4142 012) tiene un error de aproximadamente−0,12 × 10 ⁻⁴ .

La aproximación racional de la raíz cuadrada de dos derivada de cuatro iteraciones del método babilónico después de comenzar con un 0 ₌ 1 ( 665,857 / 470,832 ) es demasiado grande en aproximadamente1,6 × 10 ⁻¹² ; su cuadrado es ≈2.000 000 000 0045 . ^{[ 10 ]}

En 1997, el valor de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$fue calculado con 137.438.953.444 decimales por el equipo de Yasumasa Kanada . En febrero de 2006, el récord para el cálculo de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$fue eclipsado con el uso de una computadora doméstica. Shigeru Kondo calculó un billón de decimales en 2010. ^{[ 11 ]} Otras constantes matemáticas cuyas expansiones decimales se han calculado con una precisión igualmente alta incluyen π , e y la proporción áurea . ^{[ 12 ]} Tales cálculos proporcionan evidencia empírica de si estos números son normales .

Esta es una tabla de registros recientes en el cálculo de los dígitos de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. ^{[ 12 ]}

Una prueba de la irracionalidad del número es la siguiente prueba por descenso infinito . También es una prueba de una negación por refutación : prueba la afirmación "${\displaystyle {\sqrt {2}}}$"no es racional" al asumir que es racional y luego derivar una falsedad.

1. Supongamos que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es un número racional, lo que significa que existe un par de enteros cuya razón es exactamente${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
2. Si los dos números enteros tienen un factor común , este puede eliminarse utilizando el algoritmo euclidiano .
3. Entonces${\displaystyle {\sqrt {2}}}$se puede escribir como una fracción irreducible${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$de tal manera que a y b sean enteros coprimos (que no tengan factores comunes), lo que además significa que al menos uno de a o b debe ser impar .
4. Resulta que${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$y${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$. ( ( ⁠ a / b ⁠ ) ⁿ = ⁠ a ⁿ / b ⁿ ⁠ ) ( a ² y b ² son enteros)
5. Por lo tanto, a² es par porque es igual a 2b² . ( 2b² es necesariamente par porque es el doble de otro ^{número entero} ) ^.
6. De ello se deduce que a debe ser par (ya que los cuadrados de los números enteros impares nunca son pares).
7. Como a es par, existe un número entero k que cumple${\displaystyle a=2k}$.
8. Sustituyendo 2k del paso 7 por a en la segunda ecuación del paso 4 :${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$, lo cual es equivalente a${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$.
9. Porque 2k2 es divisible por dos y por lo tanto par, ^y porque${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$, de ello se deduce que b ² también es par, lo que significa que b es par.
10. En los pasos 5 y 8, a y b son ambos pares, lo que contradice el paso 3 (que${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$es irreducible).

Dado que se ha derivado una falsedad, la suposición (1) de que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es un número racional debe ser falso. Esto significa que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$no es un número racional; es decir,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es irracional.

Aristóteles insinuó esta prueba en su obra Analytica Priora , §I.23. ^{[ 13 ]} Apareció por primera vez como una prueba completa en los Elementos de Euclides , como la proposición 117 del Libro X. Sin embargo, desde principios del siglo XIX, los historiadores coinciden en que esta prueba es una interpolación y no se atribuye a Euclides. ^{[ 14 ]}

Supongamos por contradicción que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$eran racionales. Entonces podemos escribir${\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\frac {q}{p}}}$como una fracción irreducible en su mínima expresión, con enteros positivos coprimos${\displaystyle q>p}$. Desde${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=2-1^{2}=1}$De ello se deduce que${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$puede expresarse como la fracción irreducible${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$. Sin embargo, dado que${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$y${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$Si difieren en un número entero, se deduce que los denominadores de sus representaciones de fracciones irreducibles deben ser iguales, es decir${\displaystyle q=p}$Esto genera la contradicción deseada.

Al igual que con la demostración por descenso infinito, obtenemos${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$Al ser la misma cantidad, ambos lados tienen la misma factorización prima según el teorema fundamental de la aritmética y, en particular, el factor 2 debería aparecer el mismo número de veces. Sin embargo, el factor 2 aparece un número impar de veces a la derecha, pero un número par de veces a la izquierda, lo cual es una contradicción.

La irracionalidad de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$También se deduce del teorema de la raíz racional , que establece que una raíz racional de un polinomio , si existe, debe ser el cociente de un factor del término constante y un factor del coeficiente principal . En el caso de${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$, las únicas raíces racionales posibles son${\displaystyle \pm 1}$y${\displaystyle \pm 2}$. Como${\displaystyle {\sqrt {2}}}$no es igual a${\displaystyle \pm 1}$o${\displaystyle \pm 2}$De ello se deduce que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es irracional. Esta aplicación también invoca el teorema de la raíz entera, una versión más fuerte del teorema de la raíz racional para el caso en que${\displaystyle p(x)}$es un polinomio mónico con coeficientes enteros ; para tal polinomio, todas las raíces son necesariamente enteras (que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$no lo es, ya que 2 no es un cuadrado perfecto) o irracional.

El teorema de la raíz racional (o teorema de la raíz entera) puede utilizarse para demostrar que cualquier raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto es irracional. Para otras demostraciones de que la raíz cuadrada de cualquier número natural no cuadrado es irracional, véase Número irracional cuadrático o Descenso infinito .

Si bien las demostraciones por descenso infinito son constructivamente válidas cuando "irracional" se define como "no racional", podemos obtener una afirmación constructivamente más fuerte utilizando una definición positiva de "irracional" como "cuantificablemente aparte de todo racional". Sean a y b enteros positivos tales que 1 < a / b < 3/2 ( ya que 1 < 2 < 9/4 satisface estos límites). Ahora bien ^{, 2b²} y a² no pueden ser iguales, puesto que el primero tiene un número impar de factores 2, mientras que el segundo tiene un número par de factores 2. Por lo tanto ^, | ^2b² − a² | ≥ 1. Multiplicando la diferencia absoluta | √2 − a / ^b | por b² ( ^√2 + a / b ) en el numerador y el denominador , obtenemos ^{[ 18 ]} .

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},}$

La última desigualdad es verdadera porque se supone que 1 < a / b < 3/2 , lo que da a / b + √2 ≤ 3 (de lo contrario , la separación cuantitativa se puede establecer trivialmente). Esto da una cota inferior de 1 / 3 b ² para la diferencia | √2 − a / b | , lo que produce una prueba directa de irracionalidad en su forma constructivamente más fuerte, sin depender de la ley del tercero excluido . ^{[ 19 ]} Esta prueba exhibe constructivamente una discrepancia explícita entre${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y cualquier racional.

Esta demostración utiliza la siguiente propiedad de las ternas pitagóricas primitivas :

Si a , b y c son ^{enteros positivos} coprimos tales que a² ⁺ b² = ^c² , entonces c nunca es par . ^{[ 20} ]

Este lema se puede utilizar para demostrar que dos cuadrados perfectos idénticos nunca se pueden sumar para producir otro cuadrado perfecto.

Supongamos lo contrario que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es racional. Por lo tanto,

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

dónde${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

Cuadrando ambos lados,

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

Aquí, ( b , b , a ) es una terna pitagórica primitiva, y según el lema, ^a nunca es par. Sin ^embargo , esto contradice la ecuación 2b² = a² , que implica que a debe ser par.

La identidad cos ⁠ π / 4 ⁠ = sin ⁠ π / 4 ⁠ = ⁠ 1 / √2 ⁠ , junto con las representaciones de producto infinito para el seno y el coseno , conduce a productos como

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

y

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

o equivalentemente,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

El número también se puede expresar tomando la serie de Taylor de una función trigonométrica . Por ejemplo, la serie para cos ⁠ π / 4 ⁠ da

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}{\bigr )}^{2k}}{(2k)!}}.}$

La serie Taylor de${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$con x = 1 y usando el doble factorial n !! se obtiene

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

La convergencia de esta serie puede acelerarse con una transformada de Euler , produciendo

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}{(k!)}^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

Se desconoce si${\displaystyle {\sqrt {2}}}$puede representarse con una fórmula de tipo BBP . Las fórmulas de tipo BBP son conocidas por${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$y​${\displaystyle {\sqrt {2}}\ln \left(1+{\sqrt {2}}~\!\right)}$, sin embargo. ^{[ 25 ]}

El número puede representarse mediante una serie infinita de fracciones egipcias , con denominadores definidos por los términos 2 ⁿ -ésimos de una relación de recurrencia tipo Fibonacci a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n −2), a (0) = 0, a (1) = 6: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right).}$

La raíz cuadrada de dos tiene la siguiente representación en fracción continua :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$

Las convergentes ⁠ p / q ⁠ formadas al truncar esta representación forman una secuencia de fracciones que aproximan la raíz cuadrada de dos con creciente precisión, y que se describen mediante los números de Pell (es decir, p ² − 2 q ² = ±1 ). Las primeras convergentes son: ⁠ 1 / 1 ⁠ , ⁠ 3 / 2 ⁠ , ⁠ 7 / 5 ⁠ , ⁠ 17 / 12 ⁠ , ⁠ 41 / 29 ⁠ , ⁠ 99 / 70 ⁠ , ⁠ 239 / 169 ⁠ , ⁠ 577 / 408 ⁠ y la convergente que sigue a ⁠ p / q ⁠ es ⁠ p + 2 q / p + q ⁠ . La convergente ⁠ p / q ⁠ difiere de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$casi exactamente${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$, lo cual se deduce de:

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

Las siguientes expresiones cuadradas anidadas convergen a${\textstyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

En 1786, el profesor de física alemán Georg Christoph Lichtenberg ^{[ 27 ]} descubrió que cualquier hoja de papel cuyo lado largo es${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Si un lado más largo que su lado corto es veces mayor, se puede doblar por la mitad y alinear con su lado más corto para producir una hoja con exactamente las mismas proporciones que la original. Esta relación de longitudes del lado más largo sobre el más corto garantiza que al cortar una hoja por la mitad a lo largo de una línea, las hojas más pequeñas tengan la misma proporción (aproximada) que la hoja original. Cuando Alemania estandarizó los tamaños de papel a principios del siglo XX, utilizó la proporción de Lichtenberg para crear la serie "A" de tamaños de papel. ^{[ 27 ]} Hoy en día, la relación de aspecto (aproximada) de los tamaños de papel según la norma ISO 216 (A4, A0, etc.) es 1:${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. A0 es 841 mm × 1189 mm, lo que da una relación de 0,707317..., aproximadamente un 0,0297 % mayor que el valor exacto. ^{[ 28 ]}

Prueba:

Dejar${\displaystyle S=}$longitud más corta y${\displaystyle L=}$mayor longitud de los lados de una hoja de papel, con

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$según lo exige la norma ISO 216.

Dejar${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$Sea la proporción análoga de la hoja dividida por la mitad, entonces

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R.}$

En las ciencias físicas existen algunas propiedades interesantes relacionadas con la raíz cuadrada de 2 :

• La raíz cuadrada de dos es la relación de frecuencia de un intervalo de tritono en la música de temperamento igual de doce tonos .
• La raíz cuadrada de dos forma la relación de los números f en los objetivos fotográficos, lo que a su vez significa que la relación de áreas entre dos aperturas sucesivas es 2.
• La latitud celeste (declinación) del Sol durante los puntos del cuarto de día astronómico de un planeta es igual a la inclinación del eje del planeta dividida por${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• En el cerebro existen células reticulares, descubiertas en 2005 por un grupo liderado por May-Britt y Edvard Moser. «Las células reticulares se encontraron en el área cortical ubicada justo al lado del hipocampo [...] En un extremo de esta área cortical, el tamaño de la malla es pequeño y en el otro es muy grande. Sin embargo, el aumento del tamaño de la malla no es aleatorio, sino que aumenta en la raíz cuadrada de dos de un área a la siguiente». ^{[ 29 ]}