raíz cuadrada de 8

La raíz cuadrada de 8 es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado el número natural 8. Se la denomina más precisamente raíz cuadrada principal de 8 , para distinguirla del número negativo con la misma propiedad. Este número aparece en numerosos contextos geométricos y de teoría de números, así como en la filosofía clásica y la acústica musical. Es el segundo número de Lagrange en la aproximación diofántica, surge en el Menón de Platón como la longitud del lado de un cuadrado cuya área es el doble que la de un cuadrado de lado 2, y es la razón utilizada en el sistema de escalado de tubos de órgano de Johann Gottlob Töpfer.

Se puede denotar en forma radical como${\textstyle {\sqrt {8}}}$ y en forma exponencial como${\textstyle 8^{\frac {1}{2}}}$Es exactamente el doble de la raíz cuadrada de 2 , una característica que el matemático James Kyle describió como "particularmente interesante". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Es un número algebraico irracional . Los primeros sesenta dígitos significativos de su expansión decimal son:

2.82842 71247 46190 09760 33774 48419 39615 71393 43750 75389 61463 5335... . ^{[ 3 ]}

Una aproximación racional conveniente para la raíz cuadrada de 8 es 17/6 ( ≈ 2,8333 ) , con una precisión de aproximadamente el 0,17%. La aproximación racional 82/29 ( ≈ 2,8276 ) tiene un error menor al 0,03%, y la aproximación racional 99/35 ( ≈ 2,82857142857 ... ) tiene un error de 0,000144 .

Como fracción continua periódica , la raíz cuadrada de 8 se puede representar con un patrón simple y repetitivo de números enteros:

Dado que la raíz cuadrada de nueve es un número racional, la raíz cuadrada de ocho es también el mayor número irracional que es la raíz cuadrada de un número entero de una sola cifra.

La Enciclopedia en línea de secuencias de enteros enumera la secuencia de los dígitos decimales de la raíz cuadrada de 8 en A010466. ^{[ 3 ]}

La magnitud geométrica conocida modernamente como raíz cuadrada de ocho se menciona implícitamente en el diálogo de Platón , el Menón . Allí, Sócrates demuestra que el lado de un cuadrado que tiene el doble de área que un cuadrado de lado 2 es la diagonal del cuadrado original. Sócrates utiliza esta demostración para argumentar a favor de su método de interrogación y rememoración, interrogando a un esclavo que desconoce la geometría. ^{[ 4 ]}

Sócrates inicia uno de los diálogos más influyentes de la filosofía occidental sobre el argumento del conocimiento innato . Dibujando figuras geométricas en el suelo, Sócrates demuestra que el esclavo desconoce inicialmente la longitud que debe tener un lado para duplicar el área de un cuadrado de 60 cm de lado. El esclavo adivina primero que el lado original debe duplicarse (120 cm), y cuando esto resulta ser demasiado, supone que debe medir 90 cm. Esto sigue siendo demasiado, y el esclavo se encuentra desconcertado. ^{[ 5 ] : 84c} Sócrates añade entonces tres cuadrados más al cuadrado original, formando un cuadrado cuatro veces mayor. Traza cuatro líneas diagonales que dividen cada uno de los cuadrados más pequeños. Mediante preguntas, Sócrates guía al esclavo al descubrimiento de que el cuadrado formado por estas diagonales tiene un área de 0,44 m², el doble que el original. Afirma que el esclavo ha «recuperado espontáneamente» un conocimiento que poseía desde antes de nacer, sin haber sido enseñado. ^{[ 5 ] : 86a}

El filósofo platónico Malcolm S. Brown interpretó el cambio de Sócrates, de preguntar por la longitud del lado del cuadrado de ocho pies a pedirle al joven esclavo que identificara la línea misma, como una concesión de que el niño no podía comprender el concepto de la raíz cuadrada de 8, ^{[ 6 ]} mientras que Adam Weiler Gur Arye argumentó que la lección tenía como objetivo desde el principio demostrar la construcción geométrica basada en la diagonal del cuadrado, haciendo que el valor numérico exacto fuera incidental. ^{[ 4 ]}

En la teoría de la aproximación diofántica , la raíz cuadrada de 8 es el segundo número de Lagrange , que representa la constante de aproximación óptima para números irracionales equivalentes a la raíz cuadrada de 2 después de excluir la clase de la proporción áurea. ^{[ 7 ]} Como describe Steven R. Finch en sus Constantes Matemáticas , "el siguiente nivel de dificultad de aproximación viene dado por λ(ξ) = √8 para todo ξ equivalente a la constante de Pitágoras √2, es decir, que posee denominadores parciales que eventualmente son todos 2"; en otras palabras, después de excluir los números equivalentes a la proporción áurea, el siguiente nivel de dificultad de aproximación está representado por la constante, la raíz cuadrada de 8, que aparece para números equivalentes a √2 y que tienen denominadores parciales de fracción continua que eventualmente son todos 2.

La demostración de que los dos primeros números de Lagrange son la raíz cuadrada de 5 y la raíz cuadrada de 8 fue publicada por Aleksandr Korkin y Yegor Ivanovich Zolotaryov en 1873. Este resultado inspiró posteriormente el trabajo de Andrey Markov sobre lo que se conoció como el teorema de Markov . ^{[ 8 ]}

En la optimización geométrica clásica , la raíz cuadrada de 8 también es "la longitud de la escalera (rígida) más larga que se puede transportar horizontalmente alrededor de una esquina en ángulo recto en un pasillo de ancho unitario". ^{[ 3 ]}

En la escala de tubos de órgano , la raíz cuadrada de ocho se utiliza para describir el sistema de escala estándar ideado por Johann Gottlob Töpfer . Töpfer concluyó que el área de la sección transversal de los tubos de órgano, en lugar de su diámetro, debería variar geométricamente de una octava a la siguiente. Elegir la media geométrica de las razones 1:2 y 1:4 por octava produce una razón de área de${\displaystyle 1:{\sqrt {8}}}$, correspondiente a un diámetro de tubo que se reduce a la mitad cada 16 intervalos de semitono. Töpfer descubrió que esta Normalmensur producía un volumen y timbre relativamente uniformes en todo el teclado del órgano. ^{[ 9 ]}

• raíz cuadrada de 5
• raíz cuadrada de 6
• raíz cuadrada de 7
• raíz cuadrada de 10