fermión escalonado

La acción de Dirac discretizada ingenuamente en el espaciotiempo euclidiano con espaciado reticular${\displaystyle a}$y campos de Dirac${\displaystyle \psi _{n}}$en cada punto de la red, indexado por${\ Displaystyle n = (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, n_ {4})}$, toma la forma

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n\in \Lambda }{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

Los fermiones escalonados se construyen a partir de esto realizando la transformación escalonada en una nueva base de campos.${\displaystyle \psi _{n}'}$definido por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \psi _ {n}=\gamma _ {1}^{n_ {1}} \ gamma _ {2} ^ {n_ {2}} \ gamma _ {3} ^ {n_ {3}} \ gamma _ {4} ^ {n_ {4}} \ psi '_ {n}.}$

Dado que las matrices de Dirac son cuadradas a la identidad, esta transformación dependiente de la posición mezcla los componentes de espín del fermión de una manera que se repite cada dos espaciamientos de la red. Su efecto es diagonalizar la acción en los índices del espinor, lo que significa que la acción termina dividiéndose en cuatro partes distintas, una para cada componente del espinor de Dirac. Denotando uno de esos componentes por${\displaystyle \chi _{n}}$, que es una variable de Grassmann sin estructura de espín , los otros tres componentes pueden eliminarse, lo que produce la acción escalonada de un solo componente.

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\chi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\eta _{\mu }(n){\frac {\chi _{n+{\hat {\mu }}}-\chi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\chi _{n}{\bigg )},}$

dónde${\displaystyle {\hat {\mu }}}$son vectores unitarios en el${\displaystyle \mu }$La dirección y la función de signo escalonada vienen dadas por${\displaystyle \eta _{i}(n)=(-1)^{\sum _{j<i}n_{j}}}$La transformación escalonada forma parte de una clase más amplia de transformaciones.${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow A_{n}\psi _{n}}$satisfactorio${\displaystyle A_{n}^{\dagger }\gamma _{\mu }A_{n+{\hat {\mu }}}=\Delta _{\mu }(n)\in U(1)^{\otimes 4}}$. Junto con una condición de consistencia necesaria en las plaquetas, todas estas transformaciones son equivalentes a la transformación escalonada. ^{[ 4 ]} Debido a la duplicación de fermiones, la acción ingenua original describía dieciséis fermiones, pero habiendo descartado tres de las cuatro copias, esta nueva acción describe solo cuatro.

Para demostrar explícitamente que la acción de fermiones escalonados de un solo componente describe cuatro fermiones de Dirac, es necesario bloquear la red en hipercubos y reinterpretar los campos de Grassmann en los dieciséis sitios del hipercubo como los dieciséis grados de libertad de los cuatro fermiones. De forma análoga al uso del sabor en física de partículas , a estos cuatro fermiones se les denomina diferentes sabores de fermiones. Los sitios de la red bloqueada se indexan mediante${\displaystyle h_{\mu }}$mientras que para cada uno de estos los sitios del hipercubo interno están indexados por${\displaystyle s_{\mu }}$, cuyos componentes vectoriales son cero o uno. En esta notación, el vector de red original se escribe como${\displaystyle n_{\mu }=2h_{\mu }+s_{\mu }}$. Las matrices${\displaystyle \Gamma ^{(s)}=\gamma _ {1}^{s_ {1}} \ gamma _ {2}^{s_ {2}} \ gamma _ {3}^{s_ {3}} \ gamma _ {4}^{s_ {4}}}$se utilizan para definir la base de sabor de espín de los fermiones alternados ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}\Gamma _{\alpha t}^{(s)}\chi (2h+s),\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}{\bar {\chi }}(2h+s)(\Gamma ^{(s)\dagger })_{t\alpha }.}$

El índice de gusto${\displaystyle t}$recorre los cuatro sabores mientras el índice de giro${\displaystyle \alpha }$recorre los cuatro componentes de espín. Este cambio de base convierte la acción de un componente en la red con espaciado.${\displaystyle a}$en la acción de giro-sabor con un espaciado de red efectivo de${\displaystyle b=2a}$dado por

${\displaystyle S=b^{4}\sum _{h}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg \{}\sum _{\mu }[(\gamma _{\mu }\otimes 1)\partial _{\mu }+{\tfrac {b}{2}}(\gamma _{5}\otimes \gamma _{5}\gamma _{\mu }^{T})\square _{\mu }]+m(1\otimes 1){\bigg \}}\psi _{h}.}$

Aquí${\displaystyle \partial _{\mu }}$y${\displaystyle \square _{\mu }}$son abreviaturas de la derivada discretizada simétricamente y el laplaciano , respectivamente. Mientras tanto, la notación tensorial separa las matrices de espín y sabor como${\displaystyle [(A\otimes B)\psi _{n}]^{t}(h)_{\alpha }=A_{\alpha }{}^{\beta }B^{t}{}_{t'}\psi ^{t'}(h)_{\beta }}$Dado que los términos cinéticos y de masa son diagonales en los índices de sabor, la acción describe cuatro fermiones de Dirac degenerados . Estos interactúan entre sí en lo que se conoce como interacciones de mezcla de sabores a través del segundo término, que es un operador irrelevante de dimensión cinco que se anula en el límite continuo . Esta acción es muy similar a la construida utilizando cuatro fermiones de Wilson, con la única diferencia en la estructura tensorial del segundo término, que para los fermiones de Wilson es diagonal en espín y sabor.${\displaystyle (1\otimes 1)}$.

Una propiedad clave de los fermiones alternados, que no comparten otros fermiones de red como los fermiones de Wilson, es que poseen una simetría quiral remanente en el límite sin masa . La simetría remanente se describe en la base de sabor de espín mediante

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}.}$

La presencia de esta simetría residual hace que los fermiones alternados sean especialmente útiles para ciertas aplicaciones, ya que pueden describir la ruptura espontánea de simetría y las anomalías . Esta simetría también protege a los fermiones sin masa de adquirir masa al renormalizarse .

Los fermiones escalonados se calibran en la acción de un componente insertando campos de enlace en la acción para hacerla invariante de gauge, de la misma manera que se hace para la acción de red de Dirac ingenua. Este enfoque no se puede implementar directamente en la acción de preferencia de espín. En su lugar, se debe usar la acción de un componente interactuante junto con una base de preferencia de espín modificada.${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }}$donde se insertan líneas de Wilson entre los diferentes puntos de la red dentro del hipercubo para asegurar la invariancia de gauge. ^{[ 6 ]} La acción resultante no se puede expresar en forma cerrada, pero se puede expandir en potencias del espaciado de la red, lo que lleva a la acción de Dirac interactuante usual para cuatro fermiones, junto con una serie infinita de operadores bilineales de fermiones irrelevantes que se desvanecen en el límite continuo.

Los fermiones escalonados también pueden formularse en el espacio de momentos transformando la acción de un solo componente en el espacio de Fourier y dividiendo la zona de Brillouin en dieciséis bloques. Al desplazar estos bloques al origen, se obtienen dieciséis copias del fermión de un solo componente cuyos momentos se extienden sobre la mitad del rango de la zona de Brillouin.${\displaystyle -\pi /2\leq k_{\mu }\leq \pi /2}$Estos se pueden agrupar en un${\displaystyle 4\times 4}$matriz que, tras una transformación unitaria y un reescalamiento del momento , para asegurar que los momentos vuelvan a abarcar todo el rango.${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$El rango de Brillouin da la acción escalonada de fermiones en el espacio de momentos ^{[ 7 ].}

${\displaystyle S=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(p){\bigg [}2i\sum _{\mu }\sin {\tfrac {p_{\mu }}{2}}(\gamma _{\mu }\otimes 1)+2m(1\otimes 1){\bigg ]}\psi (p).}$

Esto se puede transformar de nuevo en espacio de posiciones mediante una transformada inversa de Fourier. A diferencia de la acción de espín-sabor, esta acción no mezcla los componentes del sabor, dando aparentemente una acción que separa completamente los cuatro fermiones. Por lo tanto, tiene una acción completa${\displaystyle U(4)\otimes U(4)}$Grupo de simetría quiral. Sin embargo, esto se logra a expensas de la localidad , donde ahora el operador de Dirac en el espacio de posiciones conecta puntos de la red que están arbitrariamente separados, en lugar de aquellos restringidos a un hipercubo. Esta conclusión también se observa en el propagador , que es discontinuo en los bordes de la zona de Brillouin.

Las formulaciones en el espacio de momentos y en el espacio de posiciones difieren porque utilizan una definición distinta de "gusto", por lo que la definición en el espacio de momentos no se corresponde con la definición local en el espacio de posiciones. Estas dos definiciones solo se vuelven equivalentes en el límite continuo . La simetría quiral se mantiene a pesar de la posibilidad de simular un único fermión en el espacio de momentos, ya que la localidad era uno de los supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya que determina si una teoría experimenta duplicación de fermiones. La pérdida de localidad dificulta el uso de esta formulación para simulaciones.

En el límite continuo, el operador de Dirac de fermiones alternados se reduce a un operador de Dirac continuo cuádruple.${\displaystyle D=D_{1}\otimes 1}$, por lo que sus valores propios son cuádruplemente degenerados, por lo tanto${\displaystyle [\det D]^{1/4}=\det D_{1}}$Esta degeneración se rompe mediante la mezcla de sabores en espaciamientos de red distintos de cero.${\displaystyle a\neq 0}$, aunque las simulaciones muestran que los autovalores todavía se agrupan aproximadamente en grupos de cuatro. Esto motiva el truco de la raíz cuarta, donde se simula un solo fermión reemplazando el determinante del operador de Dirac escalonado por su raíz cuarta en la función de partición.

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}U\det[D_{\text{stag}}]e^{-S_{\text{gauge}}}\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \int {\mathcal {D}}U(\det[D_{\text{stag}}])^{1/4}e^{-S_{\text{gauge}}}.}$

El fermión resultante se denomina fermión escalonado enraizado y se utiliza en la mayoría de las simulaciones de fermiones escalonados, incluidas las de la colaboración MILC. El problema teórico al usar fermiones escalonados enraizados es que no está claro si proporcionan el límite continuo correcto, es decir, si el enraizamiento cambia la clase de universalidad de la teoría. ^{[ 10 ]} Si lo hace, entonces no hay razón para suponer que los fermiones escalonados enraizados sean buenos para describir la teoría de campos del continuo. La clase de universalidad generalmente está determinada por la dimensionalidad de la teoría y por las simetrías que satisface. El problema con los fermiones escalonados enraizados es que solo pueden describirse mediante una acción no local para la cual la clasificación de universalidad ya no se aplica. Como la no localidad implica una violación de la unicidad , los fermiones escalonados con raíz también son no físicos en espaciamientos de red distintos de cero, aunque esto no es un problema si la no localidad se desvanece en el continuo. Se ha encontrado que, bajo supuestos razonables, el truco de la cuarta raíz define una teoría renormalizable que, en todos los órdenes de la teoría de perturbaciones , reproduce una teoría local y unitaria con el número correcto de quarks ligeros en el continuo. Sigue siendo una cuestión abierta si esto también es cierto de forma no perturbativa ; sin embargo, argumentos teóricos ^{[ 11 ]} y comparaciones numéricas con otros fermiones de red indican que los fermiones escalonados con raíz pertenecen a la clase de universalidad correcta. ^{[ 12 ]}