campo fermiónico

En la teoría cuántica de campos , un campo fermiónico es un campo cuántico cuyos cuantos son fermiones ; es decir, obedecen la estadística de Fermi-Dirac . Los campos fermiónicos obedecen relaciones de anticonmutación canónicas en lugar de las relaciones de conmutación canónicas de los campos bosónicos .

El ejemplo más destacado de un campo fermiónico es el campo de Dirac , que describe fermiones con espín -1/2: electrones , protones , quarks , etc. El campo de Dirac puede describirse como un espinor de 4 componentes o como un par de espinores de Weyl de 2 componentes. Los fermiones de Majorana con espín -1/2 , como el hipotético neutralino , pueden describirse como un espinor de Majorana de 4 componentes dependiente o como un único espinor de Weyl de 2 componentes. Se desconoce si el neutrino es un fermión de Majorana o un fermión de Dirac ; la observación experimental de la desintegración beta doble sin neutrinos resolvería esta cuestión.

Los campos fermiónicos libres (no interactuantes) obedecen a las relaciones de anticonmutación canónicas ; es decir, involucran los anticonmutadores { a , b } = ab + ba , en lugar de los conmutadores [ a , b ] = ab − ba de la mecánica cuántica bosónica o estándar. Estas relaciones también se cumplen para los campos fermiónicos interactuantes en la representación de interacción , donde los campos evolucionan en el tiempo como si fueran libres y los efectos de la interacción están codificados en la evolución de los estados.

Son estas relaciones de anticonmutación las que implican la estadística de Fermi-Dirac para los cuantos de campo. También dan lugar al principio de exclusión de Pauli : dos partículas fermiónicas no pueden ocupar el mismo estado al mismo tiempo.

El ejemplo más destacado de un campo fermiónico de espín 1/2 es el campo de Dirac (llamado así en honor a Paul Dirac ) y denotado por${\displaystyle \psi (x)}$. La ecuación de movimiento para una partícula de espín libre 1/2 es la ecuación de Dirac ,

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

dónde${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$son matrices gamma y${\displaystyle m}$es la masa. Las soluciones más simples posibles${\displaystyle \psi (x)}$A esta ecuación se le asignan soluciones de onda plana.${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$y${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$Estas soluciones de ondas planas forman una base para los componentes de Fourier de${\displaystyle \psi (x)}$, permitiendo la expansión general de la función de onda de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _ {s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

Aquí u y v son espinores etiquetados por su espín s e índices de espinor.${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$Para el electrón, una partícula de espín 1/2, s = +1/2 o s = −1/2. El factor de energía es el resultado de tener una medida de integración invariante de Lorentz. En la segunda cuantización ,${\displaystyle \psi (x)}$se promueve a un operador, por lo que los coeficientes de sus modos de Fourier también deben ser operadores. Por lo tanto,${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$y${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$son operadores. Las propiedades de estos operadores se pueden discernir a partir de las propiedades del campo.${\displaystyle \psi (x)}$y${\displaystyle \psi (y)^{\daga }}$obedecer las relaciones de anticonmutación:

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

Imponemos una relación de anticonmutación (a diferencia de una relación de conmutación como hacemos para el campo bosónico ) para que los operadores sean compatibles con la estadística de Fermi-Dirac . Al incluir las expansiones para${\displaystyle \psi (x)}$y${\displaystyle \psi (y)}$, se pueden calcular las relaciones de anticonmutación para los coeficientes.

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

De manera análoga a los operadores de aniquilación y creación no relativistas y sus conmutadores, estas álgebras conducen a la interpretación física de que${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$crea un fermión de momento p y espín s, y${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$crea un antifermión de momento q y espín r . El campo general${\displaystyle \psi (x)}$Ahora se considera que es una suma ponderada (por el factor de energía) sobre todos los espines y momentos posibles para crear fermiones y antifermiones. Su campo conjugado,${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, es lo opuesto, una suma ponderada sobre todos los espines y momentos posibles para la aniquilación de fermiones y antifermiones.

Una vez comprendidos los modos de campo y definido el campo conjugado, es posible construir cantidades invariantes de Lorentz para campos fermiónicos. La más simple es la cantidad${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$Esto justifica la elección de${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$claro. Esto se debe a que la transformación de Lorentz general en${\displaystyle \psi }$no es unitario por lo tanto la cantidad${\displaystyle \psi ^{\daga }\psi }$no sería invariante bajo tales transformaciones, por lo que la inclusión de${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$es corregir esto. La otra posible cantidad invariante de Lorentz no nula , salvo una conjugación global, construible a partir de los campos fermiónicos es${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _ {\mu }\psi }$.

Dado que las combinaciones lineales de estas cantidades también son invariantes de Lorentz, esto conduce naturalmente a la densidad lagrangiana para el campo de Dirac mediante el requisito de que la ecuación de Euler-Lagrange del sistema recupere la ecuación de Dirac.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

Dicha expresión tiene sus índices suprimidos. Cuando se reintroduce, la expresión completa es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

La densidad hamiltoniana ( energía ) también se puede construir definiendo primero el momento canónicamente conjugado a${\displaystyle \psi (x)}$, llamado${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

Con esa definición de${\displaystyle \Pi }$, la densidad hamiltoniana es:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

dónde${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$es el gradiente estándar de las coordenadas espaciales, y${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$es un vector del tipo espacial${\displaystyle \gamma }$matrices. Es sorprendente que la densidad hamiltoniana no dependa de la derivada temporal de${\displaystyle \psi }$, directamente, pero la expresión es correcta.

Dada la expresión para${\displaystyle \psi (x)}$Podemos construir el propagador de Feynman para el campo fermiónico:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

Definimos el producto ordenado en el tiempo para fermiones con un signo negativo debido a su naturaleza anticonmutativa.

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Sustituyendo nuestra expansión de onda plana para el campo fermiónico en la ecuación anterior, obtenemos:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

donde hemos empleado la notación de barra de Feynman . Este resultado tiene sentido ya que el factor

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

es simplemente el inverso del operador que actúa sobre${\displaystyle \psi (x)}$en la ecuación de Dirac. Nótese que el propagador de Feynman para el campo de Klein-Gordon tiene esta misma propiedad. Dado que todas las observables razonables (como la energía, la carga, el número de partículas, etc.) se construyen a partir de un número par de campos fermiónicos, la relación de conmutación se anula entre cualesquiera dos observables en puntos del espaciotiempo fuera del cono de luz. Como sabemos por la mecánica cuántica elemental, dos observables que conmutan simultáneamente pueden medirse simultáneamente. Por lo tanto, hemos implementado correctamente la invariancia de Lorentz para el campo de Dirac y preservado la causalidad .

Las teorías de campo más complejas que implican interacciones (como la teoría de Yukawa o la electrodinámica cuántica ) también pueden analizarse mediante diversos métodos perturbativos y no perturbativos.

Los campos de Dirac son un ingrediente importante del Modelo Estándar .

• ecuación de Dirac
• Teorema de espín-estadística
• Espino
• Campo compuesto
• Campo auxiliar

• Edwards, D. (1981). "Los fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos: fermiones, campos de gauge y supersimetría, parte I: teorías de campos reticulares". Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503– 517. Bibcode : 1981IJTP...20..503E . doi : 10.1007/BF00669437 . S2CID 120108219 . 
• Peskin, M. y Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos , Westview Press. (Véanse las páginas 35-63).
• Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos. Archivado el 25 de julio de 2011 en Wayback Machine , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7.
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos , (3 volúmenes) Cambridge University Press.