Distribución normal compleja

En teoría de la probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas , denotada ${\mathcal {CN}}$ o ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$ , caracteriza variables aleatorias complejas cuyas partes real e imaginaria son conjuntamente normales . ^{[ 1 ]} La familia normal compleja tiene tres parámetros: parámetro de localización μ , matriz de covarianza $\Gamma$ y la matriz de relación $C$ . La distribución normal compleja estándar es la distribución univariada con $\mu =0$ , $\Gamma =1$ , y $C=0$ .

Una subclase importante de la familia normal compleja se denomina normal compleja circularmente simétrica (central) y corresponde al caso de matriz de relación cero y media cero: $\mu =0$ y $C=0$ . ^{[ 2 ]} Este caso se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales , donde a veces se le denomina simplemente normal complejo en la literatura.

Definiciones

variable aleatoria normal estándar compleja

La variable aleatoria normal compleja estándar o variable aleatoria gaussiana compleja estándar es una variable aleatoria compleja. $Z$ cuyas partes real e imaginaria son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y varianza $1/2$ . ^{[ 3 ]}^{: pág. 494}^{[ 4 ]}^{: págs. 501} Formalmente,

dónde $\perp \!\!\!\perp$ denota independencia y $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ indica que $Z$ es una variable aleatoria normal compleja estándar.

variable aleatoria normal compleja

Suponer $X$ y $Y$ son variables aleatorias reales tales que $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ es un vector aleatorio normal bidimensional . Entonces, la variable aleatoria compleja $Z=X+iY$ Se denomina variable aleatoria normal compleja o variable aleatoria gaussiana compleja . ^{[ 3 ]}^{: pág. 500}

vector aleatorio normal estándar complejo

Un vector aleatorio complejo n-dimensional $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ es un vector aleatorio normal estándar complejo o un vector aleatorio gaussiano estándar complejo si sus componentes son independientes y todas ellas son variables aleatorias normales complejas estándar como se definió anteriormente. ^{[ 3 ]}^{: pág. 502}^{[ 4 ]}^{: págs. 501} Que $\mathbf {Z}$ es un vector aleatorio normal complejo estándar se denota $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$ .

vector aleatorio normal complejo

Si $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ y $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ son vectores aleatorios en $\mathbb {R} ^{n}$ de tal manera que $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ es un vector aleatorio normal con $2n$ componentes. Entonces decimos que el vector aleatorio complejo

\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,

es un vector aleatorio normal complejo o un vector aleatorio gaussiano complejo .

Media, covarianza y relación

La distribución gaussiana compleja se puede describir con 3 parámetros: ^{[ 5 ]}

\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],

dónde $\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }$ denota la transpuesta de la matriz de $\mathbf {Z}$ , y $\mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }$ denota transpuesta conjugada . ^{[ 3 ]}^{: pág. 504}^{[ 4 ]}^{: págs. 500}

Aquí el parámetro de ubicación $\mu$ es un vector complejo n-dimensional; la matriz de covarianza $\Gamma$ es hermitiana y semidefinida positiva ; y, la matriz de relación o matriz de pseudocovarianza $C$ es simétrico . El vector aleatorio normal complejo $\mathbf {Z}$ ahora se puede denotar como $\mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu,\ \Gamma,\ C).$ Además, matrices $\Gamma$ y $C$ son tales que la matriz

P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C

también es definida no negativa donde ${\overline {\Gamma }}$ denota el conjugado complejo de $\Gamma$ . ^{[ 5 ]}

Relaciones entre matrices de covarianza

Como ocurre con cualquier vector aleatorio complejo, las matrices $\Gamma$ y $C$ puede estar relacionado con las matrices de covarianza de $\mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )$ y $\mathbf {Y} =\Soy (\mathbf {Z} )$ a través de expresiones

{\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}

y viceversa

{\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}

Función de densidad

La función de densidad de probabilidad para la distribución normal compleja se puede calcular como

{\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}

dónde $R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}$ y $P={\overline {\Gamma }}-RC$ .

Función característica

La función característica de la distribución normal compleja viene dada por ^{[ 5 ].}

\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},

donde el argumento $w$ es un vector complejo n -dimensional.

Propiedades

Si $\mathbf {Z}$ es un vector normal complejo de n dimensiones, ${\boldsymbol {A}}$ una matriz m×n , y $b$ un vector m constante , luego la transformación lineal ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b$ también se distribuirá de forma compleja-normal:

Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })

Si $\mathbf {Z}$ es un vector normal complejo de n dimensiones , entonces

2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)

Teorema del límite central . Si $Z_{1},\ldots ,Z_{T}$ son variables aleatorias complejas independientes e idénticamente distribuidas, entonces

{\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),

dónde

\Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]

y

C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]

.

El módulo de una variable aleatoria normal compleja sigue una distribución de Hoyt . ^{[ 6 ]}

Caso central de simetría circular

Definición

Un vector aleatorio complejo $\mathbf {Z}$ se denomina simétrico circularmente si para cada determinista $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ la distribución de $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ es igual a la distribución de $\mathbf {Z}$ [ ⁴^]^{: págs}^.^500–501

Los vectores aleatorios complejos normales centrales que son circularmente simétricos son de particular interés porque están completamente especificados por la matriz de covarianza. $\Gamma$ .

La distribución normal compleja circularmente simétrica (central) corresponde al caso de media cero y matriz de relación cero, es decir $\mu =0$ y $C=0$ . ^{[ 3 ]}^{: pág. 507}^{[ 7 ]} Esto se suele denotar

\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )

Distribución de las partes real e imaginaria

Si $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ es circularmente simétrico (central) normal complejo, entonces el vector $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ es una distribución normal multivariada con estructura de covarianza

{\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}

dónde $\Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]$ .

Función de densidad de probabilidad

Para una matriz de covarianza no singular $\Gamma$ , su distribución también puede simplificarse como ^{[ 3 ]}^{: pág. 508}

f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}

.

Por lo tanto, si la media no es cero $\mu$ y matriz de covarianza $\Gamma$ son desconocidos, una función de verosimilitud logarítmica adecuada para un único vector de observación $z$ sería

\ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).

La distribución normal compleja estándar (definida en la ecuación 1 ) corresponde a la distribución de una variable aleatoria escalar con $\mu =0$ , $C=0$ y $\Gamma =1$ Por lo tanto, la distribución normal compleja estándar tiene densidad

f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.

Propiedades

La expresión anterior demuestra por qué el caso $C=0$ , $\mu =0$ se denomina “circularmente simétrica”. La función de densidad depende únicamente de la magnitud de $z$ pero no en su argumento . Como tal, la magnitud $|z|$ de una variable aleatoria normal compleja estándar tendrá la distribución de Rayleigh y la magnitud al cuadrado $|z|^{2}$ tendrá la distribución exponencial , mientras que el argumento se distribuirá uniformemente en $[-\pi ,\pi ]$ .

Si $\left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}$ son vectores aleatorios normales complejos circulares n -dimensionales independientes e idénticamente distribuidos con $\mu =0$ , entonces la norma cuadrática aleatoria

Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}

tiene la distribución chi-cuadrado generalizada y la matriz aleatoria

W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }

tiene la distribución compleja de Wishart con $k$ grados de libertad. Esta distribución se puede describir mediante la función de densidad.

f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}

dónde $k\geq n$ , y $w$ es un $n\times n$ matriz semidefinida positiva.

Véase también

Distribución de razón normal compleja
Estadísticas direccionales § Distribución de la media (forma polar)
Distribución normal
Distribución normal multivariada (una distribución normal compleja es una distribución normal bivariada)
Distribución chi-cuadrado generalizada
Distribución Wishart
variable aleatoria compleja

Referencias

↑ Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una cierta distribución gaussiana compleja multivariada (una introducción)" . The Annals of Mathematical Statistics . 34 (1): 152– 177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR 2991290 .
↑ capítulo del libro, Gallager.R , pág. 9.
1 2 3 4 5 6 Lapidoth, A. (2009). Fundamentos de la comunicación digital . Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
1 2 3 4 Tse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica . Cambridge University Press. ISBN 9781139444668.
1 2 3 Picinbono, Bernard (1996). "Vectores aleatorios complejos de segundo orden y distribuciones normales" . IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637– 2640. Bibcode : 1996ITSP...44.2637P . doi : 10.1109/78.539051 .
↑ Daniel Wollschlaeger. "La distribución de Hoyt (Documentación para el paquete de R 'shotGroups' versión 0.6.2)" .
↑ capítulo del libro, Gallager.R

[1] Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una cierta distribución gaussiana compleja multivariada (una introducción)" . The Annals of Mathematical Statistics . 34 (1): 152– 177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR 2991290 .

[2] capítulo del libro, Gallager.R , pág. 9.

[Lapidoth-3] 1 2 3 4 5 6 Lapidoth, A. (2009). Fundamentos de la comunicación digital . Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.

[TseViswanath-4] 1 2 3 4 Tse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica . Cambridge University Press. ISBN 9781139444668.

[picinbono-5] 1 2 3 Picinbono, Bernard (1996). "Vectores aleatorios complejos de segundo orden y distribuciones normales" . IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637– 2640. Bibcode : 1996ITSP...44.2637P . doi : 10.1109/78.539051 .

[6] Daniel Wollschlaeger. "La distribución de Hoyt (Documentación para el paquete de R 'shotGroups' versión 0.6.2)" .

[7] capítulo del libro, Gallager.R

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