Modelo sólido lineal estándar

El sólido lineal estándar (SLS) , también conocido como modelo Zener en honor a Clarence Zener , ^[1] es un método para modelar el comportamiento de un material viscoelástico que utiliza una combinación lineal de resortes y amortiguadores para representar componentes elásticos y viscosos, respectivamente. A menudo, se utilizan el modelo más simple de Maxwell y el modelo de Kelvin-Voigt . Sin embargo, estos modelos a menudo resultan insuficientes; el modelo de Maxwell no describe la fluencia o la recuperación, y el modelo de Kelvin-Voigt no describe la relajación de la tensión. SLS es el modelo más simple que predice ambos fenómenos.

Los materiales sometidos a tensión a menudo se modelan con componentes mecánicos, como resortes (componente de fuerza restauradora) y amortiguadores (componente de amortiguación).

La conexión de un resorte y un amortiguador en serie produce un modelo de un material de Maxwell, mientras que la conexión de un resorte y un amortiguador en paralelo produce un modelo de un material de Kelvin-Voigt . ^[2] A diferencia de los modelos de Maxwell y Kelvin-Voigt, el SLS es ligeramente más complejo, ya que involucra elementos tanto en serie como en paralelo. Los resortes, que representan el componente elástico de un material viscoelástico, obedecen la ley de Hooke :

${\displaystyle \sigma _{s}=E\varepsilon }$

donde σ es la tensión aplicada, E es el módulo de Young del material y ε es la deformación. El resorte representa el componente elástico de la respuesta del modelo. ^[2]

Los amortiguadores representan el componente viscoso de un material viscoelástico. En estos elementos, la tensión aplicada varía con la tasa de cambio de la deformación en el tiempo:

${\displaystyle \sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

donde η es la viscosidad del componente del amortiguador.

Para modelar este sistema se deben realizar las siguientes relaciones físicas:

Para componentes paralelos: , y . ^[2]${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}}$

Para componentes en serie: , y . ^[2]${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}$

Este modelo consta de dos sistemas en paralelo. El primero, denominado brazo de Maxwell, contiene un resorte ( ) y un amortiguador (viscosidad ) en serie. ^[2] El otro sistema contiene solo un resorte ( ). $Estilo de visualización E=E_{2}$${\estilo de visualización \eta}$$Estilo de visualización E=E_{1}$

Estas relaciones ayudan a relacionar las distintas tensiones y presiones en el sistema general y en el brazo de Maxwell:

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _ {tot} = \ varepsilon _ {m} = \ varepsilon _ {S_ {1}}}$

${\displaystyle \sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _ {m}=\varepsilon _ {D}+\varepsilon _ {S_ {2}}}$

donde los subíndices , , y se refieren a Maxwell, amortiguador, resorte uno y resorte dos, respectivamente. ${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización D}$$Estilo de visualización S_{1}$$Estilo de visualización S_{2}$

Utilizando estas relaciones, sus derivadas temporales y las relaciones de tensión-deformación anteriores para los elementos de resorte y amortiguador, el sistema se puede modelar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon(t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma(t)}{dt}}+\sigma(t)-E_{1}\varepsilon(t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ ^[3]

La ecuación también se puede expresar como:

${\displaystyle \sigma(t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma(t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon(t)+{\frac {\eta(E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon(t)}{dt}}}$

o, en notación de puntos:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{) 2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

El tiempo de relajación , , es diferente para cada material y es igual a ${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

Este modelo consta de dos sistemas en serie. El primero, denominado brazo de Kelvin, contiene un resorte ( ) y un amortiguador (de viscosidad ) en paralelo. El otro sistema contiene solo un resorte ( ). $Estilo de visualización E=E_{2}$${\estilo de visualización \eta}$$Estilo de visualización E=E_{1}$

Estas relaciones ayudan a relacionar las distintas tensiones y deformaciones en el sistema general y en el brazo de Kelvin:

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _ {k}=\varepsilon _ {D}=\varepsilon _ {S_ {2}}}$

donde los subíndices , , , y se refieren a Kelvin, amortiguador, resorte uno y resorte dos, respectivamente. ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización D}$$Estilo de visualización S_{1}$$Estilo de visualización S_{2}$

Utilizando estas relaciones, sus derivadas temporales y las relaciones de tensión-deformación anteriores para los elementos de resorte y amortiguador, el sistema se puede modelar de la siguiente manera:

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

o, en notación de puntos:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

El tiempo de retardo , , es diferente para cada material y es igual a ${\displaystyle {\bar {\tau }}}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

El modelo sólido lineal estándar combina aspectos de los modelos de Maxwell y Kelvin-Voigt para describir con precisión el comportamiento general de un sistema bajo un conjunto dado de condiciones de carga. El comportamiento de un material aplicado a una tensión instantánea se muestra como si tuviera un componente instantáneo de la respuesta. La liberación instantánea de una tensión también da como resultado una disminución discontinua de la deformación, como se espera. La forma de la curva de deformación dependiente del tiempo es fiel al tipo de ecuación que caracteriza el comportamiento del modelo a lo largo del tiempo, dependiendo de cómo se cargue el modelo.

Si bien este modelo se puede utilizar para predecir con precisión la forma general de la curva de deformación, así como el comportamiento ante cargas instantáneas y de largo plazo, carece de la capacidad de modelar numéricamente con precisión los sistemas de materiales.

El modelo de fluido equivalente al modelo sólido lineal estándar incluye un amortiguador en serie con el modelo de Kelvin-Voigt y se denomina modelo de Jeffreys. ^[4]

• Material de hamburguesas
• Modelo de Maxwell generalizado
• Material de Kelvin-Voigt
• Material de Maxwell
• Viscoelasticidad