teoría monomial estándar

En geometría algebraica, la teoría de monomios estándar describe las secciones de un fibrado lineal sobre una variedad de banderas generalizada o una variedad de Schubert de un grupo algebraico reductivo, proporcionando una base explícita de elementos denominados monomios estándar . Muchos de estos resultados se han extendido a las álgebras de Kac-Moody y sus grupos.

Hay monografías sobre la teoría monomial estándar de Lakshmibai y Raghavan (2008) y Seshadri (2007) y artículos de revisión de V. Lakshmibai, C. Musili y C. S. Seshadri ( 1979 ) y V. Lakshmibai y C. S. Seshadri ( 1991 ) .  

Uno de los problemas abiertos importantes es dar una construcción completamente geométrica de la teoría. ^{[ 1 ]}

Alfred Young ( 1928 ) introdujo monomios asociados a los tableaux estándar de Young . Hodge ( 1943 ) (véase también ( Hodge y Pedoe 1994 , p. 378) ) utilizó los monomios de Young, que denominó productos de potencia estándar, en honor a los tableaux estándar, para dar una base para los anillos de coordenadas homogéneas de las grassmannianas complejas . Seshadri ( 1978 ) inició un programa, llamado teoría de monomios estándar , para extender el trabajo de Hodge a variedades G / P , donde P es cualquier subgrupo parabólico de cualquier grupo algebraico reductivo en cualquier característica, dando bases explícitas usando monomios estándar para secciones de fibrados de líneas sobre estas variedades. El caso de las grassmannianas estudiado por Hodge corresponde al caso en que G es un grupo lineal especial en característica 0 y P es un subgrupo parabólico maximal. Pronto se unieron a Seshadri en este esfuerzo V. Lakshmibai y Chitikila Musili . Desarrollaron la teoría monomial estándar primero para representaciones minúsculas de G y luego para grupos G de tipo clásico, y formularon varias conjeturas que la describen para casos más generales. Littelmann ( 1998 ) demostró sus conjeturas utilizando el modelo de caminos de Littelmann , proporcionando en particular una descripción uniforme de los monomios estándar para todos los grupos reductivos.    

Lakshmibai (2003) , Musili (2003) y Seshadri (2012) ofrecen descripciones detalladas del desarrollo inicial de la teoría monomial estándar.

• Dado que las secciones de fibrados de líneas sobre variedades de banderas generalizadas tienden a formar representaciones irreducibles de los grupos algebraicos correspondientes, disponer de una base explícita de monomios estándar permite obtener fórmulas de caracteres para estas representaciones. De forma similar, se obtienen fórmulas de caracteres para los módulos de Demazure . Las bases explícitas proporcionadas por la teoría de monomios estándar están estrechamente relacionadas con las bases cristalinas y los modelos de caminos de Littelmann para representaciones.
• La teoría monomial estándar permite describir las singularidades de las variedades de Schubert y, en particular, a veces demuestra que las variedades de Schubert son normales o de Cohen-Macaulay .
• La teoría monomial estándar puede utilizarse para demostrar la conjetura de Demazure .
• La teoría monomial estándar demuestra el teorema de anulación de Kempf y otros teoremas de anulación para la cohomología superior de fibrados de líneas efectivos sobre variedades de Schubert.
• La teoría monomial estándar proporciona bases explícitas para algunos anillos de invariantes en la teoría de invariantes .
• La teoría monomial estándar proporciona generalizaciones de la regla de Littlewood-Richardson sobre descomposiciones de productos tensoriales de representaciones a todos los grupos algebraicos reductivos.
• La teoría monomial estándar puede utilizarse para demostrar la existencia de buenas filtraciones en algunas representaciones de grupos algebraicos reductivos en característica positiva.

• Hodge, WVD (1943), "Algunos resultados enumerativos en la teoría de las formas", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 39 (1): 22– 30, Bibcode : 1943PCPS...39...22H , doi : 10.1017/S0305004100017631 , MR 0007739 
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Cuádricas y variedades de Grassmann. , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46901-2, MR 0048065 
• Lakshmibai, V.; Musili, C.; Seshadri, CS (1979), "Geometría de G/P", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 1 (2): 432– 435, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14631-7 , ISSN 0002-9904 , MR 0520081  
• Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008), Teoría monomial estándar , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol.  137, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-76757-2 , ISBN 978-3-540-76756-5, MR 2388163 
• Lakshmibai, V.; Seshadri, CS (1991), "Teoría monomial estándar" , en Ramanan, S.; Musili, C.; Kumar, N. Mohan (eds.), Actas de la Conferencia de Hyderabad sobre Grupos Algebraicos (Hyderabad, 1989) , Madrás: Manoj Prakashan, pp. 279–322 , MR 1131317  
• Lakshmibai, V. (2003), "El desarrollo de la teoría monomial estándar. II" , Un homenaje a CS Seshadri (Chennai, 2002) , Trends Math., Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, pp. 283–309 , ISBN  978-3-7643-0444-7, MR 2017589 
• Littelmann, Peter (1998), "El modelo de trayectoria, el mapa cuántico de Frobenius y la teoría monomial estándar" (PDF) , en Carter, Roger W .; Saxl, Jan (eds.), Grupos algebraicos y sus representaciones (Cambridge, 1997) , NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences, vol.  517, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, pp. 175–212 , ISBN  9780792352921, MR 1670770 
• Littelmann, Peter (1998), "Módulos contractivos y teoría monomial estándar para álgebras de Kac-Moody simetrizables", Journal of the American Mathematical Society , 11 (3): 551– 567, doi : 10.1090/S0894-0347-98-00268-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1603862  
• Musili, C. (2003), "El desarrollo de la teoría monomial estándar. I" , Un homenaje a C.S. Seshadri (Chennai, 2002) , Trends Math., Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, pp. 385–420 , ISBN  978-3-7643-0444-7, MR 2017594 
• Seshadri, CS (1978), "Geometría de la teoría G/PI de monomios estándar para representaciones minúsculas", en Ramanathan, KG (ed.), CP Ramanujam---a tribute , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol.  8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 207–239 , ISBN  978-3-540-08770-0, MR 0541023 
• Seshadri, CS (2007), Introducción a la teoría de los monomios estándar , Textos y lecturas en matemáticas, vol.  46, Nueva Delhi: Hindustan Book Agency, ISBN 9788185931784, MR 2347272 
• Seshadri, CS (2012), «Teoría monomial estándar: una reseña histórica» , Obras completas de CS Seshadri. Volumen 2. Geometría de Schubert y teoría de la representación. Nueva Delhi: Hindustan Book Agency, pp. 3–50 , ISBN  9789380250175, MR 2905898 
• Young, Alfred (1928), "Sobre el análisis sustitucional cuantitativo" , Proc. London Math. Soc. , 28 (1): 255–292 , doi : 10.1112/plms/s2-28.1.255