Espacio de probabilidad estándar

Un isomorfismo entre dos espacios de probabilidad${\displaystyle \textstyle (\Omega _ {1},{\mathcal {F}}_ {1},P_ {1})}$,${\displaystyle \textstyle (\Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$es un mapa invertible${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle f}$y${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$Ambos son mapas (medibles y) que conservan la medida .

Dos espacios de probabilidad son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.

Dos espacios de probabilidad${\displaystyle \textstyle (\Omega _ {1},{\mathcal {F}}_ {1},P_ {1})}$,${\displaystyle \textstyle (\Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$son isomorfos${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$si existen conjuntos nulos${\displaystyle \textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}}$,${\displaystyle \textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}}$de tal manera que los espacios de probabilidad${\displaystyle \textstyle \Omega _ {1} \ setminus A_ {1}}$,${\displaystyle \textstyle \Omega _ {2} \ setminus A_ {2}}$son isomorfos (es decir, están dotados naturalmente de campos sigma y medidas de probabilidad).

Un espacio de probabilidad es estándar si es isomorfo.${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$a un intervalo con medida de Lebesgue, un conjunto finito o numerable de átomos, o una combinación (unión disjunta) de ambos.

Véase ( Rokhlin 1952 , Sec. 2.4 (p. 20)) , ( Haezendonck 1973 , Proposición 6 (p. 249) y Observación 2 (p. 250)) , y ( de la Rue 1993 , Teorema 4-3) . Véase también ( Kechris 1995 , Sec. 17.F) , y ( Itô 1984 , especialmente Sec. 2.4 y Ejercicio 3.1(v)) . En ( Petersen 1983 , Definición 4.5 en la página 16) se supone que la medida es finita, no necesariamente probabilística. En ( Sinai 1994 , Definición 1 en la página 16) no se permiten átomos.

El espacio de todas las funciones${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$puede considerarse como el producto${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$de un continuo de copias de la línea real${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$Uno puede dotar${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$con una medida de probabilidad, por ejemplo, la distribución normal estándar.${\displaystyle \textstyle \gamma =N(0,1)}$y tratar el espacio de funciones como el producto${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$de un continuo de espacios de probabilidad idénticos${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )}$La medida del producto${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$es una medida de probabilidad en${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$Ingenuamente podría parecer que${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$describe el ruido blanco .

Sin embargo, la integral de una función de ruido blanco de 0 a 1 debería ser una variable aleatoria distribuida N (0,  1). En contraste, la integral (de 0 a 1) de${\displaystyle \textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$no está definido. ƒ tampoco es casi seguramente medible, y la probabilidad de que ƒ sea medible no está definida. De hecho, si X es una variable aleatoria distribuida (digamos) uniformemente en (0,  1) e independiente de ƒ , entonces ƒ ( X ) no es una variable aleatoria en absoluto (carece de mensurabilidad).

Dejar${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$sea ​​un conjunto cuya medida de Lebesgue interna es igual a 0, pero cuya medida de Lebesgue externa es igual a 1 (por lo tanto,${\displaystyle \textstyle Z}$es inmensurable a extremo). Existe una medida de probabilidad${\displaystyle \textstyle m}$en${\displaystyle \textstyle Z}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle m(Z\cap A)=\operatorname {mes} (A)}$por cada Lebesgue medible${\displaystyle \textstyle A\subset (0,1)}$. (Aquí${\displaystyle \textstyle \operatorname {mes} }$es la medida de Lebesgue.) Eventos y variables aleatorias en el espacio de probabilidad${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$(tratado${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$) están en una correspondencia natural uno a uno con eventos y variables aleatorias en el espacio de probabilidad ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$Podría parecer que el espacio de probabilidad${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$es tan bueno como${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$.

Sin embargo, no lo es. Una variable aleatoria${\displaystyle \textstyle X}$definido por${\displaystyle \textstyle X(\omega )=\omega }$se distribuye uniformemente en${\displaystyle \textstyle (0,1)}$. La medida condicional, dado${\displaystyle \textstyle X=x}$, es solo un átomo (en${\displaystyle \textstyle x}$), siempre que${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$es el espacio de probabilidad subyacente. Sin embargo, si${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$en su lugar se utiliza, entonces la medida condicional no existe cuando${\displaystyle \textstyle x\notin Z}$.

Un círculo perforado se construye de forma similar. Sus eventos y variables aleatorias son los mismos que en un círculo convencional. El grupo de rotaciones actúa sobre ellos de forma natural. Sin embargo, no actúa sobre el círculo perforado.

Véase también ( Rudolph 1990 , página 17) .

Dejar${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$ser como en el ejemplo anterior. Conjuntos de la forma${\displaystyle \textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),}$dónde${\displaystyle \textstyle A}$y${\displaystyle \textstyle B}$son conjuntos medibles de Lebesgue arbitrarios, son un σ-álgebra${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}};}$contiene el σ-álgebra de Lebesgue y${\displaystyle \textstyle Z.}$La fórmula

${\displaystyle \displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

da la forma general de una medida de probabilidad${\displaystyle \textstyle m}$en${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}}$que extiende la medida de Lebesgue; aquí${\displaystyle \textstyle p\en [0,1]}$es un parámetro. Para ser más específicos, elegimos${\displaystyle \textstyle p=0,5.}$Podría parecer que tal extensión de la medida de Lebesgue es, al menos, inofensiva.

Sin embargo, se trata del intervalo perforado disfrazado. El mapa

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{para }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{para }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}}$

es un isomorfismo entre${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}}$y el intervalo perforado correspondiente al conjunto

${\displaystyle \displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,}$

otro conjunto de medida de Lebesgue interna 0 pero medida de Lebesgue externa 1.

Véase también ( Rudolph 1990 , Ejercicio 2.11 en la página 18) .

Una función medible${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$induce una medida de impulso${\displaystyle f_{*}P}$, – la medida de probabilidad${\displaystyle \textstyle \mu }$en${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ,}$definido por

${\displaystyle \displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}}$  para conjuntos Borel ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} .}$

es decir, la distribución de la variable aleatoria${\displaystyle f}$La imagen${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$es siempre un conjunto de medidas exteriores completas,

${\displaystyle \displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

pero su medida interna puede diferir (véase un intervalo perforado ). En otras palabras,${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$no tiene por qué ser un conjunto de medidas completas${\displaystyle \textstyle \mu .}$

Una función medible${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$se llama generar si${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$es la finalización con respecto a${\displaystyle P}$del σ-álgebra de imágenes inversas${\displaystyle \textstyle f^{-1}(B),}$dónde${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$Funciona con todos los conjuntos de Borel.

Precaución.  La siguiente condición no es suficiente para${\displaystyle \textstyle f}$generar: por cada${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}}$Existe un conjunto de Borel${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle \textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.}$(${\displaystyle \textstyle \Delta }$significa diferencia simétrica ).

Teorema. Sea una función medible${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$Si es inyectiva y generadora, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle \mu (\textstyle f(\Omega ))=1}$(es decir, la medida interior también tiene medida completa, y la imagen${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$es medible con respecto a la finalización);
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$es un espacio de probabilidad estándar.

Véase también ( Itô 1984 , Sect. 3.1) .

El mismo teorema se cumple para cualquier${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$(en lugar de${\displaystyle \mathbb {R} \,}$). Una función medible${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,}$puede considerarse como una secuencia finita de variables aleatorias.${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$y${\displaystyle f\,}$se está generando si y solo si${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$es la finalización del álgebra σ generada por${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}.\,}$

El teorema sigue siendo válido para el espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$de secuencias infinitas. Una función medible${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,}$puede considerarse como una secuencia infinita de variables aleatorias.${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots$ :\Omega \to \mathbb {R} ,\,} y${\displaystyle f\,}$se está generando si y solo si${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$es la finalización del álgebra σ generada por${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots .\,}$

En particular, si las variables aleatorias${\displaystyle X_{n}\,}$Si tomamos solo dos valores, 0 y 1, estamos ante una función medible.${\displaystyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$y una secuencia de conjuntos${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,}$La función${\displaystyle f\,}$se está generando si y solo si${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$es la finalización del álgebra σ generada por${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots .\,}$

En el trabajo pionero ( Rokhlin 1952 ) secuencias${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \,}$que corresponden a inyectivo, generando${\displaystyle f\,}$se denominan bases del espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$(véase Rokhlin 1952 , Sec. 2.1 ). Una base se denomina completa módulo 0, si${\displaystyle f(\Omega )\,}$es de medida completa${\displaystyle \mu ,\,}$Véase ( Rokhlin 1952 , Sec. 2.2) . En la misma sección, Rokhlin demostró que si un espacio de probabilidad es completo módulo 0 con respecto a alguna base, entonces es completo módulo 0 con respecto a cualquier otra base, y define los espacios de Lebesgue mediante esta propiedad de completitud. Véase también ( Haezendonck 1973 , Prop. 4 y Def. 7) y ( Rudolph 1990 , Sec. 2.3, especialmente el Teorema 2.2) .

Los cuatro casos tratados anteriormente son mutuamente equivalentes y pueden unirse, ya que los espacios medibles${\displaystyle \mathbb {R} ,\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$y${\displaystyle \{0,1\}^{\infty }\,}$son mutuamente isomorfos; todos son espacios medibles estándar (en otras palabras, espacios de Borel estándar).

Existencia de una función inyectiva medible a partir de${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$a un espacio estándar medible${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$no depende de la elección de${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$Tomando${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$obtenemos la propiedad bien conocida como ser numerablemente separado (pero llamado separable en Itô 1984 ).

Existencia de una función generadora medible a partir de${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$a un espacio estándar medible${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$tampoco depende de la elección de${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$Tomando${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$obtenemos la propiedad bien conocida de ser contablemente generado (módulo 0), ver ( Durrett 1996 , Ejercicio I.5) .

Toda función inyectiva medible de un espacio de probabilidad estándar a un espacio medible estándar es generadora. Véase ( Rokhlin 1952 , Sec. 2.5) , ( Haezendonck 1973 , Corolario 2 en la página 253) , ( de la Rue 1993 , Teoremas 3-4 y 3-5) . Esta propiedad no se cumple para el espacio de probabilidad no estándar tratado en la subsección «Un conjunto medible superfluo» anterior.

Precaución.  La propiedad de ser numerablemente generado es invariante bajo isomorfismos módulo 0, pero la propiedad de ser numerablemente separado no lo es. De hecho, un espacio de probabilidad estándar${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$está separada de forma numerable si y solo si la cardinalidad de${\displaystyle \textstyle \Omega }$no excede el continuo (véase Itô 1984 , Ejercicio 3.1(v) ). Un espacio de probabilidad estándar puede contener un conjunto nulo de cualquier cardinalidad, por lo que no es necesario que esté separado de forma numerable. Sin embargo, siempre contiene un subconjunto separado de forma numerable de medida completa.

Definición. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$Es estándar si está separado de forma numerable, generado de forma numerable y es absolutamente medible.

Véase ( Rokhlin 1952 , final de la sección 2.3) y ( Haezendonck 1973 , Observación 2 en la página 248) . "Absolutamente mensurable" significa: mensurable en todo espacio de probabilidad numerablemente separado y numerablemente generado que lo contenga.

Definición. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$es estándar si está separado de forma numerable y es perfecto.

Véase ( Itô 1984 , Sec. 3.1) . "Perfecto" significa que para toda función medible de${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$a${\displaystyle \mathbb {R} \,}$La medida de la imagen es regular . (Aquí la medida de la imagen se define en todos los conjuntos cuyas imágenes inversas pertenecen a${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$, independientemente de la estructura de Borel de${\displaystyle \mathbb {R} \,}$).

Definición. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$es estándar si existe una topología${\displaystyle \textstyle \tau }$en${\displaystyle \textstyle \Omega }$de tal manera que

• el espacio topológico${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$es metrizable ;
• ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$es la finalización del álgebra σ generada por${\displaystyle \textstyle \tau }$(es decir, por todos los conjuntos abiertos);
• por cada${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$existe un conjunto compacto${\displaystyle \textstyle K}$en${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .}$

Véase ( de la Rue 1993 , sección 1) .

En el contexto discreto, la probabilidad condicional es otra medida de probabilidad, y la esperanza condicional puede tratarse como la esperanza (usual) con respecto a la medida condicional (véase esperanza condicional ). En el contexto no discreto, el condicionamiento se trata a menudo de forma indirecta, ya que la condición puede tener probabilidad cero (véase esperanza condicional) . Como resultado, varios hechos bien conocidos tienen contrapartes "condicionales" especiales. Por ejemplo: la linealidad de la esperanza; la desigualdad de Jensen (véase esperanza condicional ); la desigualdad de Hölder ; el teorema de convergencia monótona , etc.

Dada una variable aleatoria${\displaystyle \textstyle Y}$en un espacio de probabilidad${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$Es natural intentar construir una medida condicional.${\displaystyle \textstyle P_{y}}$, es decir, la distribución condicional de${\displaystyle \textstyle \omega \in \Omega }$dado${\displaystyle \textstyle Y(\omega )=y}$En general, esto es imposible (véase Durrett 1996 , Sec. 4.1(c) ). Sin embargo, para un espacio de probabilidad estándar${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$Esto es posible y bien conocido como sistema canónico de medidas (véase Rokhlin 1952 , Sec. 3.1 ), que es básicamente lo mismo que las medidas de probabilidad condicional (véase Itô 1984 , Sec. 3.5 ), la desintegración de la medida (véase Kechris 1995 , Ejercicio (17.35) ) y las probabilidades condicionales regulares (véase Durrett 1996 , Sec. 4.1(c) ).

La desigualdad de Jensen condicional es simplemente la desigualdad de Jensen (habitual) aplicada a la medida condicional. Lo mismo ocurre con muchos otros hechos.

Dados dos espacios de probabilidad${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$,${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$y un mapa que conserva las medidas${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$, la imagen${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$no es necesario cubrir todo${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}}$, puede que falte un conjunto nulo. Puede parecer que${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))}$tiene que ser igual a 1, pero no lo es. La medida exterior de${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$es igual a 1, pero la medida interna puede diferir. Sin embargo, si los espacios de probabilidad${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$,${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$son estándar entonces${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1}$, véase ( de la Rue 1993 , Teorema 3-2) . Si${\displaystyle \textstyle f}$También es uno a uno, entonces cada${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$Satisface${\displaystyle \textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}}$,${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)}$. Por lo tanto,${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$es mensurable (y conserva la medida). Véase ( Rokhlin 1952 , Sec. 2.5 (p. 20)) y ( de la Rue 1993 , Teorema 3-5) . Véase también ( Haezendonck 1973 , Proposición 9 (y Observación posterior)) .

"Existe una forma coherente de ignorar los conjuntos de medida 0 en un espacio de medida" ( Petersen 1983 , página 15) . Para eliminar los conjuntos nulos, los matemáticos suelen utilizar clases de equivalencia de conjuntos o funciones medibles. Las clases de equivalencia de subconjuntos medibles de un espacio de probabilidad forman un álgebra booleana completa normada llamada álgebra de medida (o estructura métrica). Toda aplicación que preserve la medida${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$conduce a un homomorfismo${\displaystyle \textstyle F}$de álgebras de medida; básicamente,${\displaystyle \textstyle F(B)=f^{-1}(B)}$para${\displaystyle \textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$.

Puede parecer que todo homomorfismo de álgebras de medida tiene que corresponder a alguna aplicación que preserve la medida, pero no es así. Sin embargo, para espacios de probabilidad estándar , cada${\displaystyle \textstyle F}$corresponde a algún${\displaystyle \textstyle f}$. Véase ( Rokhlin 1952 , Sec. 2.6 (p. 23) y 3.2) , ( Kechris 1995 , Sec. 17.F) , ( Petersen 1983 , Teorema 4.7 en la página 17) .