Límite cuántico

Un interferómetro que mide distancias entre espejos se utiliza para detectar ondas gravitacionales . Para un espejo de masa${\displaystyle m}$observado para${\displaystyle \tau }$Los segundos estarán limitados por la incertidumbre cuántica en una cantidad $${\displaystyle \Delta z_{\textrm {QL}}={\sqrt {2\hbar \tau /m}}.}$$ Para un espejo de masa1 × 10 ⁵  g medidos sobre2 × 10 ⁻³  s tendrá una precisión limitada a6 × 10 ⁻¹⁸  cm . ^{[ 4 ]}

Consideremos un esquema de medición muy simple que, sin embargo, incorpora todas las características clave de una medición de posición general . En el esquema que se muestra en la figura, se utiliza una secuencia de pulsos de luz muy cortos para monitorizar el desplazamiento de un cuerpo de sonda.${\displaystyle M}$. El puesto${\displaystyle x}$de${\displaystyle M}$se sondea periódicamente con intervalo de tiempo${\displaystyle \vartheta }$Suponemos masa${\displaystyle M}$lo suficientemente grande como para despreciar el desplazamiento infligido por la presión de radiación regular (clásica) de los pulsos durante el proceso de medición.

Luego cada uno${\displaystyle j}$El pulso -ésimo, al reflejarse, lleva un desfase proporcional al valor de la posición de la masa de prueba.${\displaystyle x(t_{j})}$en el momento de la reflexión:

dónde${\displaystyle k_{p}=\omega _ {p}/c}$,${\displaystyle \omega _{p}}$es la frecuencia de la luz,${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$es el número de pulso y${\displaystyle {\sombrero {\phi }}_{j}}$es la fase inicial (aleatoria) de la${\displaystyle j}$-ésimo pulso. Suponemos que el valor medio de todas estas fases es igual a cero,${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$y su incertidumbre cuadrática media (RMS)${\displaystyle (\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$es igual a${\displaystyle \Delta \phi }$.

Los pulsos reflejados son detectados por un dispositivo sensible a la fase (el detector de fase ). La implementación de un detector de fase óptico puede realizarse utilizando, por ejemplo , esquemas de detección homodina o heterodina (véase la Sección 2.3 en ^{[ 2 ]} y las referencias allí citadas), u otras técnicas de lectura similares.

En este ejemplo, fase del pulso de luz${\displaystyle {\sombrero {\phi }}_{j}}$sirve como observable de lectura${\displaystyle {\mathcal {O}}}$del medidor. Entonces suponemos que la fase${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}$El error de medición introducido por el detector es mucho menor que la incertidumbre inicial de las fases.${\displaystyle \Delta \phi }$En este caso, la incertidumbre inicial será la única fuente del error de medición de posición:

Para mayor comodidad, renormalizamos la ecuación ( 1 ) como el desplazamiento equivalente de la masa de prueba:

dónde

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

son los valores aleatorios independientes con las incertidumbres RMS dadas por la ecuación ( 2 ).

Tras la reflexión, cada pulso de luz impulsa la masa de prueba, transfiriéndole un momento de reacción igual a

dónde${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$y${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$son los valores de momento de la masa de prueba justo antes y justo después de la reflexión del pulso de luz, y${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$es la energía de la${\displaystyle j}$-º pulso, que desempeña el papel de acción inversa observable${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$del medidor. La mayor parte de esta perturbación se debe a la presión de radiación clásica:

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

con${\displaystyle {\mathcal {W}}}$la energía media de los pulsos. Por lo tanto, se podría despreciar su efecto, ya que podría restarse del resultado de la medición o compensarse mediante un actuador. La parte aleatoria, que no se puede compensar, es proporcional a la desviación de la energía del pulso:

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

y su incertidumbre RMS es igual a

con${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$la incertidumbre RMS de la energía del pulso.

Suponiendo que el espejo es libre (lo cual es una aproximación razonable si el intervalo de tiempo entre pulsos es mucho más corto que el período de oscilaciones del espejo suspendido,${\displaystyle \vartheta \ll T}$), se puede estimar un desplazamiento adicional causado por la acción de retroceso del${\displaystyle j}$-ésimo pulso que contribuirá a la incertidumbre de la medición posterior por parte del${\displaystyle j+1}$tiempo de pulso${\displaystyle \vartheta }$más tarde:

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Su incertidumbre será simplemente

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Si ahora queremos estimar cuánto se ha movido el espejo entre el ${\displaystyle j}$ y ${\displaystyle j+1}$pulsos, es decir su desplazamiento${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$Tendremos que lidiar con tres incertidumbres adicionales que limitan la precisión de nuestra estimación:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

donde asumimos que todas las contribuciones a nuestra incertidumbre de medición son estadísticamente independientes y, por lo tanto, obtuvimos la incertidumbre total mediante la suma de las desviaciones estándar. Si además asumimos que todos los pulsos de luz son similares y tienen la misma incertidumbre de fase, entonces${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$.

Ahora bien, ¿cuál es el mínimo de esta suma y cuál es el error mínimo que se puede obtener en esta sencilla estimación? La respuesta se deriva de la mecánica cuántica, si recordamos que la energía y la fase de cada pulso son observables canónicamente conjugados y, por lo tanto, obedecen la siguiente relación de incertidumbre:

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

Por lo tanto, de las ecuaciones ( 2 y 5 ) se deduce que el error de medición de posición${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$y la perturbación del momento${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$debido a la acción retrógrada también satisface la relación de incertidumbre:

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

Teniendo en cuenta esta relación, la incertidumbre mínima,${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$, el pulso de luz debe tener para no perturbar demasiado el espejo, debe ser igual a${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$cediendo para ambos${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$Por lo tanto, el error mínimo de medición del desplazamiento que prescribe la mecánica cuántica es el siguiente:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

Este es el límite cuántico estándar para un procedimiento de 2 pulsos como este. En principio, si limitamos nuestra medición a solo dos pulsos y no nos importa perturbar la posición del espejo posteriormente, la incertidumbre de medición del segundo pulso,${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$, en teoría, puede reducirse a 0 (por supuesto, dará como resultado,${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$) y el límite del error de medición de desplazamiento se reducirá a:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

que se conoce como el límite cuántico estándar para la medición del desplazamiento de masa libre.

Este ejemplo representa un caso particular simple de una medición lineal . Esta clase de esquemas de medición se puede describir completamente mediante dos ecuaciones lineales de la forma~( 3 ) y ( 4 ), siempre que tanto la incertidumbre de la medición como la perturbación de la retroacción del objeto (${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$y${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$en este caso) son estadísticamente independientes del estado cuántico inicial del objeto de prueba y satisfacen la misma relación de incertidumbre que el observable medido y su contraparte canónicamente conjugada (la posición y el momento del objeto en este caso).

En el contexto de la interferometría u otras mediciones ópticas, el límite cuántico estándar generalmente se refiere al nivel mínimo de ruido cuántico que se puede obtener sin estados comprimidos . ^{[ 5 ]}

Además, existe un límite cuántico para el ruido de fase , alcanzable únicamente mediante un láser a altas frecuencias de ruido.

En espectroscopia , la longitud de onda más corta en un espectro de rayos X se denomina límite cuántico. ^{[ 6 ]}