onda estacionaria

To begin, consider a string of infinite length along the x-axis that is free to be stretched transversely in the y direction.

For a harmonic wave traveling to the right along the string, the string's displacement in the y direction as a function of position x and time t is^[10]

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

The displacement in the y-direction for an identical harmonic wave traveling to the left is

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

where

• y _max es la amplitud del desplazamiento de la cuerda para cada onda,
• ω es la frecuencia angular o, equivalentemente , 2π veces la frecuencia f ,
• λ es la longitud de onda.

Para ondas idénticas que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda en la misma cuerda, el desplazamiento total de la cuerda es la suma de y _R e y _L ,

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

Utilizando la identidad trigonométrica de suma a producto${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({ab \over 2}\right)}$,

La ecuación ( 1 ) no describe una onda viajera. En cualquier posición x , y ( x , t ) simplemente oscila en el tiempo con una amplitud que varía en la dirección x como${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$. ^{[ 10 ]} La animación al comienzo de este artículo muestra lo que está sucediendo. A medida que la onda azul que viaja hacia la izquierda y la onda verde que viaja hacia la derecha interfieren, forman la onda roja estacionaria que no se desplaza y, en cambio, oscila en el lugar.

Debido a que la cuerda tiene una longitud infinita, no tiene condiciones de contorno para su desplazamiento en ningún punto a lo largo del eje x . Como resultado, se puede formar una onda estacionaria a cualquier frecuencia.

En ubicaciones en el eje x que son múltiplos pares de un cuarto de longitud de onda,

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

La amplitud siempre es cero. Estas ubicaciones se denominan nodos . En las ubicaciones del eje x que son múltiplos impares de un cuarto de longitud de onda

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

La amplitud es máxima, con un valor que duplica la amplitud de las ondas que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda y que interfieren para producir este patrón de onda estacionaria. Estas ubicaciones se denominan antinodos . La distancia entre dos nodos o antinodos consecutivos es la mitad de la longitud de onda, λ /2.

A continuación, consideremos una cuerda con extremos fijos en x = 0 y x = L. La cuerda tendrá cierta amortiguación al ser estirada por ondas viajeras, pero supongamos que la amortiguación es muy pequeña. Supongamos que en el extremo fijo x = 0 se aplica una fuerza sinusoidal que impulsa la cuerda hacia arriba y hacia abajo en la dirección y con una pequeña amplitud a una frecuencia f . En esta situación, la fuerza impulsora produce una onda que se propaga hacia la derecha. Esa onda se refleja en el extremo fijo derecho y viaja de regreso hacia la izquierda, se refleja nuevamente en el extremo fijo izquierdo y viaja de regreso hacia la derecha, y así sucesivamente. Finalmente, se alcanza un estado estacionario donde la cuerda tiene ondas idénticas que se propagan hacia la derecha y hacia la izquierda, como en el caso de longitud infinita, y la potencia disipada por la amortiguación en la cuerda es igual a la potencia suministrada por la fuerza impulsora, por lo que las ondas tienen amplitud constante.

La ecuación ( 1 ) todavía describe el patrón de onda estacionaria que puede formarse en esta cuerda, pero ahora la ecuación ( 1 ) está sujeta a condiciones de contorno donde y = 0 en x = 0 y x = L porque la cuerda está fija en x = L y porque asumimos que la fuerza impulsora en el extremo fijo x = 0 tiene una amplitud pequeña. Al comprobar los valores de y en los dos extremos,

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

Esta condición de contorno tiene la forma de la formulación de Sturm-Liouville . Esta última condición de contorno se satisface cuando${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$. Se da L , por lo que la condición de contorno restringe la longitud de onda de las ondas estacionarias a ^{[ 11 ].}

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Las ondas solo pueden formar ondas estacionarias en esta cuerda si tienen una longitud de onda que satisface esta relación con L. Si las ondas viajan con velocidad v a lo largo de la cuerda, entonces, equivalentemente, la frecuencia de las ondas estacionarias está restringida a ^{[ 11 ] [ 12 ].}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

La onda estacionaria con n = 1 oscila a la frecuencia fundamental y tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda. Los valores enteros mayores de n corresponden a modos de oscilación llamados armónicos o sobretonos . Cualquier onda estacionaria en la cuerda tendrá n + 1 nodos, incluyendo los extremos fijos, y n antinodos.

Para comparar los nodos de este ejemplo con la descripción de los nodos para ondas estacionarias en la cuerda de longitud infinita, la ecuación ( 2 ) se puede reescribir como

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

En esta variación de la expresión para la longitud de onda, n debe ser par. Multiplicando en cruz vemos que, como L es un nodo, es un múltiplo par de un cuarto de longitud de onda,

${\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

Este ejemplo demuestra un tipo de resonancia y las frecuencias que producen ondas estacionarias pueden denominarse frecuencias resonantes . ^{[ 11 ] [ 13 ] [ 14 ]}

A continuación, consideremos la misma cuerda de longitud L , pero esta vez fija en x = 0. En x = L , la cuerda puede moverse libremente en la dirección y . Por ejemplo, la cuerda podría estar atada en x = L a un anillo que se desliza libremente hacia arriba y hacia abajo de un poste. La cuerda presenta nuevamente una pequeña amortiguación y es impulsada por una pequeña fuerza motriz en x = 0 .

En este caso, la ecuación ( 1 ) sigue describiendo el patrón de onda estacionaria que puede formarse en la cuerda, y la cuerda tiene la misma condición de contorno de y = 0 en x = 0. Sin embargo, en x = L, donde la cuerda puede moverse libremente, debería haber un antinodo con amplitud máxima de y . De forma equivalente, esta condición de contorno del "extremo libre" puede expresarse como ∂y/∂x = 0 en x = L , que tiene la forma de la formulación de Sturm-Liouville . La intuición para esta condición de contorno ∂y/∂x = 0 en x = L es que el movimiento del "extremo libre" seguirá al del punto a su izquierda.

Revisando la ecuación ( 1 ), para x = L la mayor amplitud de y ocurre cuando ∂y/∂x = 0 , o

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

Esto da lugar a un conjunto de longitudes de onda diferente al del ejemplo de dos extremos fijos. Aquí, la longitud de onda de las ondas estacionarias está restringida a

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

De forma equivalente, la frecuencia está restringida a

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

En este ejemplo, n solo toma valores impares. Dado que L es un antinodo, es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Por lo tanto, el modo fundamental en este ejemplo solo tiene un cuarto de ciclo sinusoidal completo (cero en x = 0 y el primer pico en x = L) ; el primer armónico tiene tres cuartos de ciclo sinusoidal completo, y así sucesivamente.

Este ejemplo también demuestra un tipo de resonancia, y las frecuencias que producen ondas estacionarias se denominan frecuencias resonantes .

Consideremos una onda estacionaria en un tubo de longitud L. El aire dentro del tubo sirve como medio para las ondas sonoras longitudinales que viajan hacia la derecha o hacia la izquierda a través del tubo. Mientras que las ondas transversales en la cuerda de los ejemplos anteriores varían en su desplazamiento perpendicular a la dirección del movimiento de la onda, las ondas que viajan a través del aire en el tubo varían en términos de su presión y desplazamiento longitudinal a lo largo de la dirección del movimiento de la onda. La onda se propaga comprimiendo y expandiendo alternativamente el aire en segmentos del tubo, lo que desplaza el aire ligeramente de su posición de reposo y transfiere energía a los segmentos vecinos a través de las fuerzas ejercidas por las presiones alternas altas y bajas del aire. ^{[ 15 ]} Se pueden escribir ecuaciones similares a las de la onda en una cuerda para el cambio de presión Δ p debido a una onda que viaja hacia la derecha o hacia la izquierda en el tubo.

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

dónde

• p _max es la amplitud de presión o el aumento o disminución máxima de la presión del aire debido a cada onda,
• ω es la frecuencia angular o, equivalentemente , 2π veces la frecuencia f ,
• λ es la longitud de onda.

Si ondas idénticas que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda viajan a través de la tubería, la superposición resultante se describe mediante la suma

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

Esta fórmula para la presión tiene la misma forma que la ecuación ( 1 ), por lo que se forma una onda de presión estacionaria que está fija en el espacio y oscila en el tiempo.

Si el extremo de una tubería está cerrado, la presión es máxima, ya que el extremo cerrado ejerce una fuerza que restringe el movimiento del aire. Esto corresponde a un antinodo de presión (que es un nodo para los movimientos moleculares, porque las moléculas cerca del extremo cerrado no pueden moverse). Si el extremo de la tubería está abierto, las variaciones de presión son muy pequeñas, lo que corresponde a un nodo de presión (que es un antinodo para los movimientos moleculares, porque las moléculas cerca del extremo abierto pueden moverse libremente). ^{[ 16 ] [ 17 ]} La ubicación exacta del nodo de presión en un extremo abierto está en realidad ligeramente más allá del extremo abierto de la tubería, por lo que la longitud efectiva de la tubería para determinar las frecuencias de resonancia es ligeramente mayor que su longitud física. ^{[ 18 ]} Esta diferencia de longitud se ignora en este ejemplo. En términos de reflexiones, los extremos abiertos reflejan parcialmente las ondas de vuelta a la tubería, permitiendo que se libere algo de energía al aire exterior. Idealmente, los extremos cerrados reflejan la onda completa de vuelta en la otra dirección. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Primero consideremos un tubo que está abierto en ambos extremos, por ejemplo un tubo de órgano abierto o una flauta dulce . Dado que la presión debe ser cero en ambos extremos abiertos, las condiciones de contorno son análogas a las de una cuerda con dos extremos fijos.

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

lo cual solo ocurre cuando la longitud de onda de las ondas estacionarias es ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

o equivalentemente cuando la frecuencia es ^{[ 18 ] [ 20 ]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

donde v es la velocidad del sonido .

A continuación, consideremos una tubería que está abierta en x = 0 (y por lo tanto tiene un nodo de presión) y cerrada en x = L (y por lo tanto tiene un antinodo de presión). La condición de contorno de "extremo libre" cerrado para la presión en x = L se puede expresar como ∂(Δp)/∂x = 0 , que tiene la forma de la formulación de Sturm-Liouville . La intuición para esta condición de contorno ∂(Δp)/∂x = 0 en x = L es que la presión del extremo cerrado seguirá la del punto a su izquierda. Ejemplos de esta configuración incluyen una botella y un clarinete . Esta tubería tiene condiciones de contorno análogas a la cuerda con un solo extremo fijo. Sus ondas estacionarias tienen longitudes de onda restringidas a ^{[ 18 ].}

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

o equivalentemente la frecuencia de las ondas estacionarias está restringida a ^{[ 21 ] [ 20 ]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

En el caso de que un extremo esté cerrado, n solo toma valores impares, al igual que en el caso de la cadena fijada en un solo extremo.

Hasta ahora, la onda se ha escrito en términos de su presión como función de la posición x y el tiempo. Alternativamente, la onda puede escribirse en términos de su desplazamiento longitudinal del aire, donde el aire en un segmento de la tubería se mueve ligeramente hacia adelante y hacia atrás en la dirección x a medida que varía la presión y las ondas viajan en una o ambas direcciones. El cambio en la presión Δp y el desplazamiento longitudinal s están relacionados como ^{[ 22 ].}

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

donde ρ es la densidad del aire. En términos de desplazamiento longitudinal, los extremos cerrados de las tuberías corresponden a nodos, ya que el movimiento del aire está restringido, y los extremos abiertos corresponden a antinodos, ya que el aire puede moverse libremente. ^{[ 18 ] [ 23 ]} Un fenómeno similar, más fácil de visualizar, ocurre en las ondas longitudinales que se propagan a lo largo de un resorte. ^{[ 24 ]}

También podemos considerar una tubería cerrada en ambos extremos. En este caso, ambos extremos serán antinodos de presión o, equivalentemente, ambos extremos serán nodos de desplazamiento. Este ejemplo es análogo al caso en el que ambos extremos están abiertos, excepto que el patrón de onda estacionaria tiene un desfase de π / 2 a lo largo de la dirección x para desplazar la ubicación de los nodos y antinodos. Por ejemplo, la longitud de onda más larga que resuena (el modo fundamental) es nuevamente el doble de la longitud de la tubería, excepto que los extremos de la tubería tienen antinodos de presión en lugar de nodos de presión. Entre los extremos hay un nodo de presión. En el caso de dos extremos cerrados, la longitud de onda se restringe nuevamente a

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

y la frecuencia se restringe nuevamente a

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

Un tubo de Rubens proporciona una forma de visualizar las variaciones de presión de las ondas estacionarias en un tubo con dos extremos cerrados. ^{[ 25 ]}

A continuación, consideremos las ondas transversales que se propagan a lo largo de una superficie bidimensional dentro de un límite rectangular de longitud L _x en el eje x y longitud L _y en el eje y . Ejemplos de este tipo de onda son las olas en una piscina o las ondas sobre una lámina rectangular tensada. Las ondas desplazan la superficie en la dirección z , donde z = 0 se define como la altura de la superficie cuando está en reposo.

En dos dimensiones y coordenadas cartesianas, la ecuación de onda es

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

dónde

• z ( x , y , t ) es el desplazamiento de la superficie,
• c es la velocidad de la onda.

Para resolver esta ecuación diferencial, primero calculemos su transformada de Fourier , con

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

Tomando la transformada de Fourier de la ecuación de onda,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

Este es un problema de valores propios donde las frecuencias corresponden a valores propios que luego corresponden a modos o funciones propias específicos de la frecuencia. Específicamente, esta es una forma de la ecuación de Helmholtz y se puede resolver usando separación de variables . ^{[ 26 ]} Supongamos

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

Dividiendo la ecuación de Helmholtz por Z ,

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Esto conduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. El término x es igual a una constante con respecto a x que podemos definir como

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

Resolviendo para X ( x ),

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

Esta dependencia de x es sinusoidal —recordando la fórmula de Euler— con constantes A _{k x} y B _{k x} determinadas por las condiciones de contorno. Del mismo modo, el término y es igual a una constante con respecto a y que podemos definir como

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

y la relación de dispersión para esta onda es, por lo tanto,

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

Resolviendo la ecuación diferencial para el término y ,

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

Multiplicando estas funciones entre sí y aplicando la transformada inversa de Fourier, z ( x , y , t ) es una superposición de modos donde cada modo es el producto de funciones sinusoidales para x , y , y t ,

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

Las constantes que determinan las funciones sinusoidales exactas dependen de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales. Para ver cómo se aplican las condiciones de contorno, consideremos un ejemplo como la lámina que se ha estirado, donde z ( x , y , t ) debe ser cero en todo el contorno rectangular. Para la dependencia de x , z ( x , y , t ) debe variar de manera que pueda ser cero tanto en x = 0 como en x = L _x para todos los valores de y y t . Al igual que en el ejemplo unidimensional de la cuerda fija en ambos extremos, la función sinusoidal que satisface esta condición de contorno es

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

con k _x restringido a

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

Asimismo, la dependencia de z ( x , y , t ) con respecto a y debe ser cero tanto en y = 0 como en y = L _y , lo cual se satisface por

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

Restringir los números de onda a estos valores también restringe las frecuencias que resuenan a

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

Si las condiciones iniciales para z ( x , y ,0) y su derivada temporal ż ( x , y ,0) se eligen de modo que la dependencia de t sea una función coseno, entonces las ondas estacionarias para este sistema toman la forma

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

Así, las ondas estacionarias dentro de este límite rectangular fijo oscilan en el tiempo a ciertas frecuencias resonantes parametrizadas por los enteros n y m . Al oscilar en el tiempo, no se propagan y su variación espacial es sinusoidal tanto en la dirección x como en la dirección y, de modo que satisfacen las condiciones de contorno. El modo fundamental, n = 1 y m = 1 , tiene un único antinodo en el centro del rectángulo. La variación de n y m produce patrones bidimensionales complejos pero predecibles de nodos y antinodos dentro del rectángulo. ^{[ 27 ]}

A partir de la relación de dispersión, en ciertas situaciones, diferentes modos (es decir, diferentes combinaciones de n y m) pueden resonar a la misma frecuencia, aunque tengan diferentes formas para su dependencia de x e y . Por ejemplo, si el límite es cuadrado, L _x = L _y , los modos n = 1 y m = 7 , n = 7 y m = 1 , y n = 5 y m = 5 resuenan todos a la misma frecuencia.

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

Recordando que ω determina el valor propio en la ecuación de Helmholtz anterior, el número de modos correspondientes a cada frecuencia se relaciona con la multiplicidad de la frecuencia como un valor propio.

Las ondas estacionarias también se observan en medios físicos como cuerdas y columnas de aire. Cualquier onda que se propague a lo largo del medio se reflejará al llegar al extremo. Este efecto es más notorio en instrumentos musicales, donde, a diferentes múltiplos de la frecuencia natural de una cuerda vibrante o columna de aire , se crea una onda estacionaria que permite identificar armónicos . Los nodos se encuentran en los extremos fijos y los antinodos en los extremos abiertos. Si un extremo está fijo, solo se obtienen armónicos impares. En el extremo abierto de un tubo, el antinodo no se encuentra exactamente en el extremo, ya que se ve alterado por su contacto con el aire, por lo que se utiliza una corrección de extremo para ubicarlo con precisión. La densidad de una cuerda afecta la frecuencia a la que se producen los armónicos; cuanto mayor es la densidad, menor debe ser la frecuencia para producir una onda estacionaria del mismo armónico.

Las ondas estacionarias también se observan en medios ópticos como guías de onda ópticas y cavidades ópticas . Los láseres utilizan cavidades ópticas en forma de un par de espejos enfrentados, que constituyen un interferómetro Fabry-Pérot . El medio de ganancia en la cavidad (como un cristal ) emite luz de forma coherente , excitando ondas estacionarias de luz en la cavidad. ^{[ 32 ]} La longitud de onda de la luz es muy corta (en el rango de nanómetros , 10⁻⁹ ^m ), por lo que las ondas estacionarias son de tamaño microscópico. Una aplicación de las ondas de luz estacionarias es la medición de distancias pequeñas, utilizando superficies ópticas planas .

La interferencia entre haces de rayos X puede formar un campo de onda estacionaria de rayos X (XSW). ^{[ 33 ]} Debido a la corta longitud de onda de los rayos X (menos de 1 nanómetro), este fenómeno puede aprovecharse para medir eventos a escala atómica en superficies de materiales . La XSW se genera en la región donde un haz de rayos X interfiere con un haz difractado de una superficie de monocristal casi perfecta o con un reflejo de un espejo de rayos X. Al ajustar la geometría del cristal o la longitud de onda de los rayos X, la XSW puede desplazarse en el espacio, provocando un cambio en la fluorescencia de rayos X o en el rendimiento fotoelectrónico de los átomos cercanos a la superficie. Este cambio puede analizarse para determinar la ubicación de una especie atómica particular en relación con la estructura cristalina subyacente o la superficie del espejo. El método XSW se ha utilizado para aclarar los detalles a escala atómica de los dopantes en semiconductores, ^{[ 34 ]} la adsorción atómica y molecular en superficies, ^{[ 35 ]} y las transformaciones químicas involucradas en la catálisis . ^{[ 36 ]}

Las ondas estacionarias pueden inducirse mecánicamente en un medio sólido mediante resonancia. Un ejemplo sencillo es el de dos personas agitando los extremos de una cuerda de saltar. Si la agitan al unísono, la cuerda formará un patrón regular con nodos y antinodos, y parecerá estar inmóvil; de ahí el nombre de onda estacionaria. De forma similar, se puede inducir una onda estacionaria en una viga en voladizo aplicando una excitación en su base. En este caso, el extremo libre se desplaza lateralmente la mayor distancia en comparación con cualquier otro punto a lo largo de la viga. Este dispositivo puede utilizarse como sensor para monitorizar los cambios de frecuencia o fase de la resonancia de la fibra. Una aplicación es como dispositivo de medición para metrología dimensional . ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Las ondas estacionarias en la superficie terrestre se observan como oscilaciones libres de la Tierra .

La onda de Faraday es una onda estacionaria no lineal en la interfaz aire-líquido inducida por inestabilidad hidrodinámica. Puede utilizarse como plantilla líquida para ensamblar materiales a microescala. ^{[ 39 ]}

Una seiche es un ejemplo de onda estacionaria en una masa de agua cerrada. Se caracteriza por el comportamiento oscilatorio del nivel del agua en ambos extremos de la masa y, por lo general, tiene un punto nodal cerca del centro, donde se observa muy poca variación en el nivel del agua. Debe distinguirse de una simple marejada ciclónica , donde no hay oscilación. En lagos de tamaño considerable, el período de dichas oscilaciones puede oscilar entre minutos y horas; por ejemplo, el período longitudinal del lago Lemán es de 73 minutos y su seiche transversal tiene un período de alrededor de 10 minutos, ^{[ 40 ]} mientras que en el lago Hurón se observan resonancias con períodos de entre 1 y 2 horas. ^{[ 41 ]} Véase Seiches lacustres . ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}