Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales

La relación de dispersión para las ondas de plasma es ^{[ 5 ] : 75–82}$${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){\frac {T_{\text{e}}}{m}}\mathbf {k} ^{2}.}$$ dónde${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular de la onda, $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$ es la frecuencia de plasma ,${\displaystyle e}$es la magnitud de la carga del electrón ,${\displaystyle m}$es la masa del electrón ,${\displaystyle T_{\text{e}}}$es la temperatura electrónica (la constante de Boltzmann es igual a uno), y${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$es un factor que varía con la frecuencia de uno a tres. A altas frecuencias, del orden de la frecuencia de plasma, la compresión del fluido electrónico es un proceso adiabático y${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$es igual a tres. A bajas frecuencias, la compresión es un proceso isotérmico y${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$es igual a uno. Los efectos de retardo se han despreciado al obtener la relación de dispersión de la onda de plasma.

Para bajas frecuencias, la relación de dispersión se convierte en: $${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}+\mathbf {k} _{\text{D}}^{2}=0}$$ dónde $${\displaystyle k_{\text{D}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{T_{e}}}}$$ es el número de Debye, que es el inverso de la longitud de Debye . Esto sugiere que el propagador es $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{k^{2}+k_{\text{D}}^{2}}}.}$$

De hecho, si no se desprecian los efectos de retardo, entonces la relación de dispersión es $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+k_{\text{D}}^{2}-{\frac {m}{T_{\text{e}}}}k_{0}^{2}=0,}$$ lo que efectivamente produce el propagador supuesto. Este propagador es el mismo que el propagador de Coulomb masivo con una masa igual a la inversa de la longitud de Debye. Por lo tanto, la energía de interacción es $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{D}}r\right).}$$ El potencial de Coulomb se ve atenuado en escalas de longitud del orden de la longitud de Debye.

En un gas de electrones cuántico , las ondas de plasma se conocen como plasmones . El apantallamiento de Debye se reemplaza por el apantallamiento de Thomas-Fermi para producir ^{[ 6 ].}$${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{s}}r\right)}$$ donde el inverso de la longitud de apantallamiento de Thomas-Fermi es $${\displaystyle k_{\text{s}}^{2}={\frac {6\pi ne^{2}}{\varepsilon _{\text{F}}}}}$$ y${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$es la energía de Fermi${\textstyle \varepsilon _{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}.}$

Esta expresión se puede derivar del potencial químico de un gas de electrones y de la ecuación de Poisson . El potencial químico de un gas de electrones cerca del equilibrio es constante y viene dado por $${\displaystyle \mu =-e\varphi +\varepsilon _{\text{F}}}$$ dónde${\displaystyle \varphi }$es el potencial eléctrico . Linealizando la energía de Fermi al primer orden en la fluctuación de densidad y combinándola con la ecuación de Poisson se obtiene la longitud de apantallamiento. El portador de fuerza es la versión cuántica de la onda de plasma .

Consideramos una línea de carga con eje en la dirección z incrustada en un gas de electrones. $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{B}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$ dónde${\displaystyle r}$es la distancia en el plano xy desde la línea de carga,${\displaystyle L_{B}}$es el ancho del material en la dirección z. El superíndice 2 indica que la función delta de Dirac está en dos dimensiones. El propagador es $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$ dónde${\displaystyle k_{Ds}}$es o bien la longitud de apantallamiento inversa de Debye-Hückel o bien la longitud de apantallamiento inversa de Thomas-Fermi .

La energía de interacción es $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$y${\displaystyle K_{0}(x)}$son funciones de Bessel y${\displaystyle r_{12}}$es la distancia entre las dos cargas lineales. Para obtener la energía de interacción, utilizamos las integrales (véase Integrales comunes en la teoría cuántica de campos §  Integración del propagador cilíndrico con masa ). $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$ y $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr)=K_{0}(mr).}$$

Para${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$, tenemos $${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\to -\ln \left({\frac {k_{Ds}r_{12}}{2}}\right)+0.5772.}$$

Consideramos una densidad de carga en un tubo con eje paralelo a un campo magnético incrustado en un gas de electrones. $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$ dónde${\displaystyle r}$es la distancia desde el centro de guía ,${\displaystyle L_{B}}$es el ancho del material en la dirección del campo magnético $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$ donde la frecuencia ciclotrónica es ( unidades gaussianas ) $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {a_{1}B}{{\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}}$$ y $${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2\hbar \omega _{c}}{m_{1}}}}}$$ es la velocidad de la partícula alrededor del campo magnético, y B es la magnitud del campo magnético. La fórmula de la velocidad se obtiene al igualar la energía cinética clásica con la distancia entre los niveles de Landau en el tratamiento cuántico de una partícula cargada en un campo magnético.

En esta geometría, la energía de interacción se puede escribir $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$ dónde${\displaystyle r_{12}}$es la distancia entre los centros de los bucles de corriente y${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$es una función de Bessel de primera especie. Para obtener la energía de interacción, utilizamos la integral. $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)={\mathcal {J}}_{0}(p).}$$

El potencial químico cerca del equilibrio viene dado por $${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$$ dónde${\displaystyle -e\varphi }$es la energía potencial de un electrón en un potencial eléctrico y${\displaystyle N_{0}}$y${\displaystyle N}$son el número de partículas en el gas de electrones en ausencia y en presencia de un potencial electrostático, respectivamente.

La fluctuación de densidad es entonces $${\displaystyle \delta n={\frac {e\varphi }{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}}$$ dónde${\displaystyle A_{\text{M}}}$es el área del material en el plano perpendicular al campo magnético.

La ecuación de Poisson produce $${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$$ dónde $${\displaystyle k_{B}^{2}={\frac {4\pi e^{2}}{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}.}$$

El propagador es entonces $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={\frac {1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$ y la energía de interacción se convierte en $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}$$ donde en la segunda igualdad ( unidades gaussianas ) suponemos que los vórtices tenían la misma energía y la misma carga electrónica.

De forma análoga a los plasmones , el portador de fuerza es la versión cuántica de la oscilación híbrida superior , que es una onda de plasma longitudinal que se propaga perpendicularmente al campo magnético.

Consideremos un tubo de corriente que gira en un campo magnético incrustado en un plasma simple o gas de electrones. La corriente, que se encuentra en el plano perpendicular al campo magnético, se define como $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(\mathbf {x} )=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}\left({\hat {\mathbf {b} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\right)}$$ dónde $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}}$$ y${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$es el vector unitario en la dirección del campo magnético. Aquí${\displaystyle L_{B}}$indica la dimensión del material en la dirección del campo magnético. La corriente transversal, perpendicular al vector de onda , impulsa la onda transversal .

La energía de interacción es $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\left(kr_{12}\right)}}$$ dónde${\displaystyle r_{12}}$es la distancia entre los centros de los bucles de corriente y${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$es una función de Bessel de primera especie. Para obtener la energía de interacción utilizamos las integrales $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$ y $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

Véase Integrales comunes en la teoría cuántica de campos §  Integración angular en coordenadas cilíndricas .

Una corriente en un plasma confinado al plano perpendicular al campo magnético genera una onda extraordinaria . ^{[ 5 ] : 110–112} Esta onda genera corrientes de Hall que interactúan y modifican el campo electromagnético. La relación de dispersión para ondas extraordinarias es ^{[ 5 ] : 112}$${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+\omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}}}=0,}$$ lo que da para el propagador $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({\frac {1}{k^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$ dónde $${\displaystyle k_{X}\equiv {\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{H}}}}$$ en analogía con el propagador de Darwin. Aquí, la frecuencia híbrida superior viene dada por $${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$$ La frecuencia ciclotrónica viene dada por ( unidades gaussianas ) $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{mc}},}$$ y la frecuencia de plasma ( unidades gaussianas ) $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}.}$$

Aquí , n es la densidad electrónica, e es la magnitud de la carga del electrón y m es la masa del electrón.

La energía de interacción se convierte, para corrientes iguales, $${\displaystyle E=-\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

En el límite en que la distancia entre los bucles de corriente es pequeña, $${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}{\left(\mu \right)}K_{1}{\left(\mu \right)}}$$ dónde $${\displaystyle E_{0}=\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}}$$ y $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}}}=k_{X}\;r_{B}}$$ e I y K son funciones de Bessel modificadas. Hemos supuesto que las dos corrientes tienen la misma carga y velocidad.

Hemos utilizado la integral (véase Integrales comunes en la teoría cuántica de campos §  Integración del propagador cilíndrico con masa ) $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$$

Para mr pequeño la integral se convierte en $${\displaystyle I_{1}{\left(mr\right)}K_{1}{\left(mr\right)}\to {\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\left(mr\right)^{2}\right].}$$

Para mr grande la integral se convierte en $${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {\frac {1}{2}}\;\left({\frac {1}{mr}}\right).}$$

El número de onda de apantallamiento se puede escribir ( unidades gaussianas ) $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}c}}=\left({\frac {2e^{2}r_{B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$ dónde${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina y el factor de llenado es $${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi N\hbar c}{eBA}}}$$ donde N es el número de electrones en el material y A es el área del material perpendicular al campo magnético. Este parámetro es importante en el efecto Hall cuántico y el efecto Hall cuántico fraccionario . El factor de llenado es la fracción de estados de Landau ocupados en la energía del estado fundamental.

Para casos de interés en el efecto Hall cuántico,${\displaystyle \mu }$es pequeño. En ese caso, la energía de interacción es $${\displaystyle E=-{\frac {E_{0}}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\mu ^{2}\right]}$$ donde ( unidades gaussianas ) $${\displaystyle E_{0}={4\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$ es la energía de interacción para factor de llenado cero. Hemos establecido la energía cinética clásica a la energía cuántica. $${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\hbar \omega _{c}.}$$