Teoría cuántica de campos

La teoría cuántica de campos es el resultado de la combinación de la teoría clásica de campos , la mecánica cuántica y la relatividad especial . ^{[ 1 ] : xi} A continuación se presenta una breve descripción general de estos precursores teóricos.

La primera teoría clásica de campos exitosa surgió de la ley de gravitación universal de Newton , a pesar de la completa ausencia del concepto de campos en su tratado de 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . La fuerza de gravedad, tal como la describió Isaac Newton, es una " acción a distancia ": sus efectos sobre objetos lejanos son instantáneos, independientemente de la distancia. Sin embargo, en un intercambio de cartas con Richard Bentley , Newton afirmó que "es inconcebible que la materia inanimada y bruta pueda, sin la mediación de algo más que no sea material, operar y afectar a otra materia sin contacto mutuo". ^{[ 2 ] : 4} No fue hasta el siglo XVIII que los físicos matemáticos descubrieron una descripción conveniente de la gravedad basada en campos: una cantidad numérica (un vector en el caso del campo gravitatorio ) asignada a cada punto del espacio que indica la acción de la gravedad sobre cualquier partícula en ese punto. Sin embargo, esto se consideró simplemente un truco matemático. ^{[ 3 ] : 18}

Los campos comenzaron a adquirir existencia propia con el desarrollo del electromagnetismo en el siglo XIX. Michael Faraday acuñó el término inglés "field" en 1845. Introdujo los campos como propiedades del espacio (incluso cuando está desprovisto de materia) que tienen efectos físicos. Argumentó en contra de la "acción a distancia" y propuso que las interacciones entre objetos ocurren a través de "líneas de fuerza" que llenan el espacio. Esta descripción de los campos se mantiene hasta el día de hoy. ^{[ 2 ] [ 4 ] : 301 [ 5 ] : 2}

La teoría del electromagnetismo clásico se completó en 1864 con las ecuaciones de Maxwell , que describían la relación entre el campo eléctrico , el campo magnético , la corriente eléctrica y la carga eléctrica . Las ecuaciones de Maxwell implicaban la existencia de ondas electromagnéticas , un fenómeno por el cual los campos eléctricos y magnéticos se propagan de un punto espacial a otro a una velocidad finita, que resulta ser la velocidad de la luz . De este modo, se refutó de forma concluyente la acción a distancia. ^{[ 2 ] : 19}

A pesar del enorme éxito del electromagnetismo clásico, este no pudo explicar las líneas discretas en los espectros atómicos , ni la distribución de la radiación de cuerpo negro en diferentes longitudes de onda. ^{[ 6 ]} El estudio de Max Planck sobre la radiación de cuerpo negro marcó el comienzo de la mecánica cuántica. Trató a los átomos, que absorben y emiten radiación electromagnética , como pequeños osciladores con la propiedad crucial de que sus energías solo pueden tomar una serie de valores discretos, en lugar de continuos. Estos se conocen como osciladores armónicos cuánticos . Este proceso de restringir las energías a valores discretos se llama cuantización. ^{[ 7 ] : Cap. 2} Partiendo de esta idea, Albert Einstein propuso en 1905 una explicación para el efecto fotoeléctrico , según la cual la luz está compuesta de paquetes individuales de energía llamados fotones (los cuantos de luz). Esto implicaba que la radiación electromagnética, si bien son ondas en el campo electromagnético clásico, también existe en forma de partículas. ^{[ 6 ]}

En 1913, Niels Bohr introdujo el modelo de Bohr de la estructura atómica, según el cual los electrones dentro de los átomos solo pueden adoptar una serie de energías discretas, en lugar de continuas. Este es otro ejemplo de cuantización. El modelo de Bohr explicó con éxito la naturaleza discreta de las líneas espectrales atómicas. En 1924, Louis de Broglie propuso la hipótesis de la dualidad onda-partícula , según la cual las partículas microscópicas exhiben propiedades tanto ondulatorias como corpusculares en diferentes circunstancias. ^{[ 6 ]} Uniendo estas ideas dispersas, se formuló una disciplina coherente, la mecánica cuántica , entre 1925 y 1926, con importantes contribuciones de Max Planck , Louis de Broglie , Werner Heisenberg , Max Born , Erwin Schrödinger , Paul Dirac y Wolfgang Pauli . ^{[ 3 ] : 22–23}

En el mismo año que publicó su artículo sobre el efecto fotoeléctrico, Einstein publicó su teoría de la relatividad especial , basada en el electromagnetismo de Maxwell. Se establecieron nuevas reglas, llamadas transformaciones de Lorentz , para describir cómo cambian las coordenadas de tiempo y espacio de un evento al variar la velocidad del observador, difuminándose así la distinción entre tiempo y espacio. ^{[ 3 ] : 19} Se propuso que todas las leyes físicas debían ser las mismas para observadores a diferentes velocidades, es decir, que las leyes físicas debían ser invariantes bajo las transformaciones de Lorentz.

Persistían dos dificultades. Desde el punto de vista observacional, la ecuación de Schrödinger, base de la mecánica cuántica, podía explicar la emisión estimulada de radiación de los átomos, donde un electrón emite un nuevo fotón bajo la acción de un campo electromagnético externo, pero no podía explicar la emisión espontánea , donde un electrón disminuye espontáneamente su energía y emite un fotón incluso sin la acción de un campo electromagnético externo. Teóricamente, la ecuación de Schrödinger no podía describir los fotones y era incompatible con los principios de la relatividad especial: trata el tiempo como un número ordinario, mientras que eleva las coordenadas espaciales a operadores lineales . ^{[ 6 ]}

La teoría cuántica de campos comenzó naturalmente con el estudio de las interacciones electromagnéticas, ya que el campo electromagnético era el único campo clásico conocido hasta la década de 1920. ^{[ 8 ] : 1}

Mediante los trabajos de Born, Heisenberg y Pascual Jordan en 1925-1926, se desarrolló una teoría cuántica del campo electromagnético libre (sin interacciones con la materia) a través de la cuantización canónica , tratando el campo electromagnético como un conjunto de osciladores armónicos cuánticos . ^{[ 8 ] : 1} Sin embargo, con la exclusión de las interacciones, dicha teoría aún era incapaz de realizar predicciones cuantitativas sobre el mundo real. ^{[ 3 ] : 22}

En su artículo fundamental de 1927, La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación , Dirac acuñó el término electrodinámica cuántica (QED), una teoría que añade a los términos que describen el campo electromagnético libre un término de interacción adicional entre la densidad de corriente eléctrica y el potencial vectorial electromagnético . Utilizando la teoría de perturbaciones de primer orden , explicó con éxito el fenómeno de la emisión espontánea. Según el principio de incertidumbre en mecánica cuántica, los osciladores armónicos cuánticos no pueden permanecer estacionarios, sino que tienen una energía mínima distinta de cero y deben estar siempre oscilando, incluso en el estado de energía más bajo (el estado fundamental ). Por lo tanto, incluso en un vacío perfecto , permanece un campo electromagnético oscilante con energía de punto cero . Es esta fluctuación cuántica de los campos electromagnéticos en el vacío la que "estimula" la emisión espontánea de radiación por los electrones en los átomos. La teoría de Dirac tuvo un enorme éxito al explicar tanto la emisión como la absorción de radiación por los átomos; Al aplicar la teoría de perturbaciones de segundo orden, se pudo explicar la dispersión de fotones, la fluorescencia resonante y la dispersión Compton no relativista . Sin embargo, la aplicación de la teoría de perturbaciones de orden superior se vio afectada por problemas de infinitud en los cálculos. ^{[ 6 ] : 71}

En 1928, Dirac escribió una ecuación de onda que describía los electrones relativistas: la ecuación de Dirac . Esta tuvo las siguientes consecuencias importantes: el espín de un electrón es 1/2; el factor g del electrón es 2; condujo a la fórmula correcta de Sommerfeld para la estructura fina del átomo de hidrógeno ; y pudo utilizarse para derivar la fórmula de Klein-Nishina para la dispersión Compton relativista. Si bien los resultados fueron fructíferos, la teoría también implicaba aparentemente la existencia de estados de energía negativa, lo que provocaría la inestabilidad de los átomos, ya que estos siempre podrían decaer a estados de energía inferior mediante la emisión de radiación. ^{[ 6 ] : 71–72}

La visión predominante en aquel entonces era que el mundo estaba compuesto de dos ingredientes muy diferentes: partículas materiales (como electrones) y campos cuánticos (como fotones). Se consideraba que las partículas materiales eran eternas, y su estado físico se describía mediante las probabilidades de encontrar cada partícula en cualquier región del espacio o rango de velocidades. Por otro lado, los fotones se consideraban simplemente estados excitados del campo electromagnético cuantizado subyacente, y podían crearse o destruirse libremente. Fue entre 1928 y 1930 cuando Jordan, Eugene Wigner , Heisenberg, Pauli y Enrico Fermi descubrieron que las partículas materiales también podían verse como estados excitados de campos cuánticos. Así como los fotones son estados excitados del campo electromagnético cuantizado, cada tipo de partícula tenía su campo cuántico correspondiente: un campo de electrones, un campo de protones, etc. Con suficiente energía, ahora sería posible crear partículas materiales. Partiendo de esta idea, Fermi propuso en 1932 una explicación para la desintegración beta conocida como la interacción de Fermi . Los núcleos atómicos no contienen electrones propiamente dichos , pero en el proceso de desintegración, se crea un electrón a partir del campo electrónico circundante, de forma análoga al fotón creado a partir del campo electromagnético circundante en la desintegración radiactiva de un átomo excitado. ^{[ 3 ] : 22–23}

En 1929, Dirac y otros se dieron cuenta de que los estados de energía negativa implícitos en la ecuación de Dirac podían eliminarse asumiendo la existencia de partículas con la misma masa que los electrones pero con carga eléctrica opuesta. Esto no solo aseguró la estabilidad de los átomos, sino que también fue la primera propuesta de la existencia de antimateria . De hecho, la evidencia de positrones fue descubierta en 1932 por Carl David Anderson en rayos cósmicos . Con suficiente energía, como al absorber un fotón, se podía crear un par electrón-positrón, un proceso llamado producción de pares ; el proceso inverso, la aniquilación, también podía ocurrir con la emisión de un fotón. Esto demostró que el número de partículas no tiene por qué ser fijo durante una interacción. Históricamente, sin embargo, los positrones fueron pensados ​​inicialmente como "agujeros" en un mar infinito de electrones, en lugar de un nuevo tipo de partícula, y esta teoría se denominó teoría del agujero de Dirac . ^{[ 6 ] : 72 [ 3 ] : 23} La QFT incorporó naturalmente las antipartículas en su formalismo. ^{[ 3 ] : 24}

Robert Oppenheimer demostró en 1930 que los cálculos perturbativos de orden superior en QED siempre resultaban en cantidades infinitas, como la autoenergía del electrón y la energía del punto cero del vacío de los campos del electrón y del fotón, ^{[ 6 ]} lo que sugiere que los métodos computacionales de la época no podían tratar adecuadamente las interacciones que involucran fotones con momentos extremadamente altos. ^{[ 3 ] : 25} No fue hasta 20 años después que se desarrolló un enfoque sistemático para eliminar tales infinitos.

Entre 1934 y 1938, Ernst Stueckelberg publicó una serie de artículos que establecieron una formulación de la teoría cuántica de campos (TQC) invariante bajo transformaciones relativistas. En 1947, Stueckelberg también desarrolló de forma independiente un procedimiento completo de renormalización. Estos logros no fueron comprendidos ni reconocidos por la comunidad teórica. ^{[ 6 ]}

Ante estas infinitudes, John Archibald Wheeler y Heisenberg propusieron, en 1937 y 1943 respectivamente, reemplazar la problemática teoría cuántica de campos (TCC) con la llamada teoría de la matriz S. Dado que los detalles específicos de las interacciones microscópicas son inaccesibles a las observaciones, la teoría solo debería intentar describir las relaciones entre un pequeño número de observables ( por ejemplo , la energía de un átomo) en una interacción, en lugar de ocuparse de las minucias microscópicas de la interacción. En 1945, Richard Feynman y Wheeler sugirieron audazmente abandonar la TCC por completo y propusieron la acción a distancia como mecanismo de las interacciones de partículas. ^{[ 3 ] : 26}

En 1947, Willis Lamb y Robert Retherford midieron la minúscula diferencia en los niveles de energía ² S _1/2 y ² P _1/2 del átomo de hidrógeno, también llamada desplazamiento de Lamb . Al ignorar la contribución de los fotones cuya energía excede la masa del electrón, Hans Bethe estimó con éxito el valor numérico del desplazamiento de Lamb. ^{[ 6 ] [ 3 ] : 28} Posteriormente, Norman Myles Kroll , Lamb, James Bruce French y Victor Weisskopf confirmaron nuevamente este valor utilizando un enfoque en el que los infinitos se cancelaban entre sí para dar como resultado cantidades finitas. Sin embargo, este método era torpe y poco fiable y no podía generalizarse a otros cálculos. ^{[ 6 ]}

El avance definitivo se produjo alrededor de 1950, cuando Julian Schwinger , Richard Feynman , Freeman Dyson y Shinichiro Tomonaga desarrollaron un método más robusto para eliminar los infinitos . La idea principal consiste en reemplazar los valores calculados de masa y carga, por infinitos que sean, por sus valores medidos finitos. Este procedimiento computacional sistemático se conoce como renormalización y puede aplicarse a cualquier orden en la teoría de perturbaciones. ^{[ 6 ]} Como dijo Tomonaga en su discurso de aceptación del Premio Nobel:

Dado que las partes de la masa y carga modificadas debido a las reacciones de campo [se vuelven infinitas], es imposible calcularlas mediante la teoría. Sin embargo, la masa y carga observadas en los experimentos no son la masa y carga originales, sino la masa y carga modificadas por las reacciones de campo, y son finitas. Por otro lado, la masa y carga que aparecen en la teoría son… los valores modificados por las reacciones de campo. Dado que esto es así, y en particular dado que la teoría es incapaz de calcular la masa y carga modificadas, podemos adoptar el procedimiento de sustituir los valores experimentales por ellos fenomenológicamente  … Este procedimiento se denomina renormalización de la masa y la carga  … Después de cálculos largos y laboriosos, menos hábiles que los de Schwinger, obtuvimos un resultado  … que coincidía con el de los estadounidenses. ^{[ 9 ]}

Al aplicar el procedimiento de renormalización, finalmente se realizaron cálculos para explicar el momento magnético anómalo del electrón (la desviación del factor g del electrón respecto a 2) y la polarización del vacío . Estos resultados coincidieron notablemente con las mediciones experimentales, marcando así el fin de una «guerra contra los infinitos». ^{[ 6 ]}

Al mismo tiempo, Feynman introdujo la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica y los diagramas de Feynman . ^{[ 8 ] : 2} Estos últimos pueden utilizarse para organizar visual e intuitivamente y para ayudar a calcular términos en la expansión perturbativa. Cada diagrama puede interpretarse como trayectorias de partículas en una interacción, donde cada vértice y línea tiene una expresión matemática correspondiente, y el producto de estas expresiones da la amplitud de dispersión de la interacción representada por el diagrama. ^{[ 1 ] : 5}

Fue con la invención del procedimiento de renormalización y los diagramas de Feynman que la teoría cuántica de campos (TQC) finalmente surgió como un marco teórico completo. ^{[ 8 ] : 2}

Dado el tremendo éxito de la electrodinámica cuántica (QED), muchos teóricos creyeron, en los pocos años posteriores a 1949, que la teoría cuántica de campos (QFT) pronto podría proporcionar una comprensión de todos los fenómenos microscópicos, no solo las interacciones entre fotones, electrones y positrones. Contrariamente a este optimismo, la QFT entró en otro período de depresión que duró casi dos décadas. ^{[ 3 ] : 30}

El primer obstáculo fue la aplicabilidad limitada del procedimiento de renormalización. En los cálculos perturbativos de QED, todas las cantidades infinitas podían eliminarse redefiniendo un número pequeño (finito) de cantidades físicas (a saber, la masa y la carga del electrón). Dyson demostró en 1949 que esto solo es posible para una pequeña clase de teorías llamadas "teorías renormalizables", de las cuales QED es un ejemplo. Sin embargo, la mayoría de las teorías, incluida la teoría de Fermi de la interacción débil , son "no renormalizables". Cualquier cálculo perturbativo en estas teorías más allá del primer orden daría como resultado infinitos que no podrían eliminarse redefiniendo un número finito de cantidades físicas. ^{[ 3 ] : 30}

El segundo problema principal surgió de la validez limitada del método del diagrama de Feynman, que se basa en un desarrollo en serie en la teoría de perturbaciones. Para que la serie converja y los cálculos de bajo orden sean una buena aproximación, la constante de acoplamiento , en la que se desarrolla la serie, debe ser un número suficientemente pequeño. La constante de acoplamiento en QED es la constante de estructura fina α ≈ 1/137 , que es lo suficientemente pequeña como para que solo sea necesario considerar los diagramas de Feynman más simples y de menor orden en cálculos realistas. En contraste, la constante de acoplamiento en la interacción fuerte es aproximadamente del orden de uno, lo que hace que los diagramas de Feynman complejos y de orden superior sean tan importantes como los simples. Por lo tanto, no había forma de obtener predicciones cuantitativas fiables para la interacción fuerte utilizando métodos de QFT perturbativos. ^{[ 3 ] : 31}

Ante estas dificultades, muchos teóricos comenzaron a alejarse de la teoría cuántica de campos (TQC). Algunos se centraron en los principios de simetría y las leyes de conservación , mientras que otros retomaron la antigua teoría de la matriz S de Wheeler y Heisenberg. La TQC se utilizó heurísticamente como principios rectores, pero no como base para cálculos cuantitativos. ^{[ 3 ] : 31}

Schwinger, sin embargo, tomó un camino diferente. Durante más de una década, él y sus estudiantes habían sido casi los únicos exponentes de la teoría de campos, ^{[ 10 ] : 454} pero en 1951 ^{[ 11 ] [ 12 ]} encontró una manera de sortear el problema de los infinitos con un nuevo método que utilizaba fuentes externas como corrientes acopladas a campos de gauge . ^{[ 13 ]} Motivado por los hallazgos anteriores, Schwinger continuó desarrollando este enfoque para generalizar "cuánticamente" el proceso clásico de acoplar fuerzas externas a los parámetros del espacio de configuración conocidos como multiplicadores de Lagrange. Resumió su teoría de fuentes en 1966 ^{[ 14 ]} luego amplió las aplicaciones de la teoría a la electrodinámica cuántica en su conjunto de tres volúmenes titulado: Partículas, Fuentes y Campos. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Los avances en la física del pión, en los que el nuevo punto de vista se aplicó con mayor éxito, lo convencieron de las grandes ventajas de simplicidad matemática y claridad conceptual que su uso confería. ^{[ 15 ]}

En la teoría de fuentes no hay divergencias ni renormalización. Puede considerarse la herramienta de cálculo de la teoría de campos, pero es más general. ^{[ 18 ]} Utilizando la teoría de fuentes, Schwinger pudo calcular el momento magnético anómalo del electrón, algo que ya había hecho en 1947, pero esta vez sin las «comentarios distractores» sobre cantidades infinitas. ^{[ 10 ] : 467}

Schwinger también aplicó la teoría de fuentes a su teoría cuántica de campos de la gravedad y pudo reproducir los cuatro resultados clásicos de Einstein: el desplazamiento al rojo gravitacional, la desviación y la ralentización de la luz por la gravedad y la precesión del perihelio de Mercurio. ^{[ 19 ]} El descuido de la teoría de fuentes por parte de la comunidad física fue una gran decepción para Schwinger:

La falta de reconocimiento de estos hechos por parte de los demás era deprimente, pero comprensible.

En 1954, Yang Chen-Ning y Robert Mills generalizaron la simetría local de la QED, dando lugar a teorías de gauge no abelianas (también conocidas como teorías de Yang-Mills), que se basan en grupos de simetría local más complejos . ^{[ 20 ] : 5} En la QED, las partículas cargadas (eléctricamente) interactúan mediante el intercambio de fotones, mientras que en la teoría de gauge no abeliana, las partículas que portan un nuevo tipo de " carga " interactúan mediante el intercambio de bosones de gauge sin masa . A diferencia de los fotones, estos bosones de gauge portan carga. ^{[ 3 ] : 32 [ 21 ]}

En 1960, Sheldon Glashow desarrolló una teoría de gauge no abeliana que unificó las interacciones electromagnéticas y débiles. En 1964, Abdus Salam y John Clive Ward llegaron a la misma teoría por un camino diferente. Sin embargo, esta teoría no era renormalizable. ^{[ 22 ]}

Peter Higgs , Robert Brout , François Englert , Gerald Guralnik , Carl Hagen y Tom Kibble propusieron en sus famosos artículos de Physical Review Letters que la simetría de gauge en las teorías de Yang-Mills podría romperse mediante un mecanismo llamado ruptura espontánea de simetría , a través del cual los bosones de gauge originalmente sin masa podrían adquirir masa. ^{[ 20 ] : 5–6}

Al combinar la teoría anterior de Glashow, Salam y Ward con la idea de la ruptura espontánea de simetría, Steven Weinberg escribió en 1967 una teoría que describe las interacciones electrodébiles entre todos los leptones y los efectos del bosón de Higgs . Su teoría fue inicialmente ignorada en gran medida, ^{[ 22 ] [ 20 ] : 6} hasta que fue rescatada en 1971 por la prueba de Gerard 't Hooft de que las teorías de gauge no abelianas son renormalizables. La teoría electrodébil de Weinberg y Salam fue extendida de leptones a quarks en 1970 por Glashow, John Iliopoulos y Luciano Maiani , marcando su finalización. ^{[ 22 ]}

Harald Fritzsch , Murray Gell-Mann y Heinrich Leutwyler descubrieron en 1971 que ciertos fenómenos relacionados con la interacción fuerte también podían explicarse mediante la teoría de gauge no abeliana. Así nació la cromodinámica cuántica (QCD). En 1973, David Gross , Frank Wilczek y Hugh David Politzer demostraron que las teorías de gauge no abelianas son " asintóticamente libres ", lo que significa que, bajo renormalización, la constante de acoplamiento de la interacción fuerte disminuye a medida que aumenta la energía de interacción. (Se habían realizado descubrimientos similares en numerosas ocasiones, pero habían sido ignorados en gran medida). ^{[ 20 ] : 11} Por lo tanto, al menos en interacciones de alta energía, la constante de acoplamiento en QCD se vuelve suficientemente pequeña como para justificar una expansión en serie perturbativa, lo que permite realizar predicciones cuantitativas para la interacción fuerte. ^{[ 3 ] : 32}

Estos avances teóricos propiciaron un renacimiento en la teoría cuántica de campos (TQC). La teoría completa, que incluye la teoría electrodébil y la cromodinámica, se conoce hoy como el Modelo Estándar de partículas elementales. ^{[ 23 ]} El Modelo Estándar describe con éxito todas las interacciones fundamentales excepto la gravedad , y muchas de sus predicciones han sido confirmadas experimentalmente de manera notable en las décadas posteriores. ^{[ 8 ] : 3} El bosón de Higgs , fundamental para el mecanismo de ruptura espontánea de simetría, fue finalmente detectado en 2012 en el CERN , lo que marcó la verificación completa de la existencia de todos los constituyentes del Modelo Estándar. ^{[ 24 ]}

En la década de 1970 se desarrollaron métodos no perturbativos en teorías de gauge no abelianas. El monopolo de 't Hooft-Polyakov fue descubierto teóricamente por 't Hooft y Alexander Polyakov , los tubos de flujo por Holger Bech Nielsen y Poul Olesen , y los instantones por Polyakov y sus coautores. Estos objetos son inaccesibles mediante la teoría de perturbaciones. ^{[ 8 ] : 4}

La supersimetría también apareció en el mismo período. La primera teoría cuántica de campos supersimétrica en cuatro dimensiones fue construida por Yuri Golfand y Evgeny Likhtman en 1970, pero su resultado no logró despertar un interés generalizado debido al Telón de Acero . Las teorías de supersimetría solo despegaron en la comunidad teórica después del trabajo de Julius Wess y Bruno Zumino en 1973, ^{[ 8 ] : 7} pero hasta la fecha no han sido ampliamente aceptadas como parte del Modelo Estándar debido a la falta de evidencia experimental. ^{[ 25 ]}

Entre las cuatro interacciones fundamentales, la gravedad sigue siendo la única que carece de una descripción consistente de la teoría cuántica de campos (TQC). Varios intentos de una teoría de la gravedad cuántica llevaron al desarrollo de la teoría de cuerdas , ^{[ 8 ] : 6} que es en sí misma un tipo de TQC bidimensional con simetría conforme . ^{[ 26 ]} Joël Scherk y John Schwarz propusieron por primera vez en 1974 que la teoría de cuerdas podría ser la teoría cuántica de la gravedad. ^{[ 27 ]}

Aunque la teoría cuántica de campos surgió del estudio de las interacciones entre partículas elementales, se ha aplicado con éxito a otros sistemas físicos, en particular a sistemas de muchos cuerpos en la física de la materia condensada .

Históricamente, el mecanismo de Higgs de ruptura espontánea de simetría fue resultado de la aplicación de la teoría de superconductores a partículas elementales por parte de Yoichiro Nambu , mientras que el concepto de renormalización surgió del estudio de transiciones de fase de segundo orden en la materia. ^{[ 28 ]}

Poco después de la introducción de los fotones, Einstein realizó el procedimiento de cuantización en vibraciones de un cristal, dando lugar a la primera cuasipartícula : los fonones . Lev Landau afirmó que las excitaciones de baja energía en muchos sistemas de materia condensada podían describirse en términos de interacciones entre un conjunto de cuasipartículas. El método del diagrama de Feynman de la teoría cuántica de campos (TQC) resultó ser idóneo para el análisis de diversos fenómenos en sistemas de materia condensada. ^{[ 29 ]}

La teoría de gauge se utiliza para describir la cuantización del flujo magnético en superconductores, la resistividad en el efecto Hall cuántico , así como la relación entre frecuencia y voltaje en el efecto Josephson ^{de CA. [ 29} ]

Un campo clásico es una función de coordenadas espaciales y temporales. ^{[ 30 ]} Ejemplos de ello son el campo gravitatorio g ( x , t ) en la gravedad newtoniana y el campo eléctrico E ( x , t ) y el campo magnético B ( x , t ) en el electromagnetismo clásico . Un campo clásico puede considerarse como una magnitud numérica asignada a cada punto del espacio que cambia con el tiempo. Por lo tanto, posee infinitos grados de libertad . ^{[ 30 ] [ 31 ]}

Muchos fenómenos que exhiben propiedades cuánticas no pueden explicarse únicamente mediante campos clásicos. Fenómenos como el efecto fotoeléctrico se explican mejor mediante partículas discretas ( fotones ), en lugar de un campo espacialmente continuo. El objetivo de la teoría cuántica de campos es describir diversos fenómenos cuánticos utilizando un concepto modificado de campos.

La cuantización canónica y las integrales de trayectoria son dos formulaciones comunes de la QFT. ^{[ 32 ] : 61} Para motivar los fundamentos de la QFT, sigue una descripción general de la teoría clásica de campos.

El campo clásico más simple es un campo escalar real : un número real en cada punto del espacio que cambia con el tiempo. Se denota como ϕ ( x , t ) , donde x es el vector de posición y t es el tiempo. Supongamos que el lagrangiano del campo,${\displaystyle L}$, es $${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es la densidad lagrangiana,${\displaystyle {\dot {\phi }}}$es la derivada temporal del campo, ∇ es el operador gradiente y m es un parámetro real (la "masa" del campo). Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange al lagrangiano: ^{[ 1 ] : 16}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$$ Obtenemos las ecuaciones de movimiento para el campo, que describen la forma en que varía en el tiempo y el espacio: $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}$$ Esto se conoce como la ecuación de Klein-Gordon . ^{[ 1 ] : 17}

La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación de onda , por lo que sus soluciones pueden expresarse como una suma de modos normales (obtenidos mediante la transformada de Fourier ) de la siguiente manera: $${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}$$ donde a es un número complejo (normalizado por convención), * denota la conjugación compleja y ω _p es la frecuencia del modo normal: $${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$$ Así, cada modo normal correspondiente a un único p puede considerarse como un oscilador armónico clásico con frecuencia ω _p . ^{[ 1 ] : 21,26}

El procedimiento de cuantización del campo clásico anterior a un campo de operador cuántico es análogo a la promoción de un oscilador armónico clásico a un oscilador armónico cuántico .

El desplazamiento de un oscilador armónico clásico se describe mediante $${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}$$ donde a es un número complejo (normalizado por convención) y ω es la frecuencia del oscilador. Cabe destacar que x representa el desplazamiento de una partícula en movimiento armónico simple desde la posición de equilibrio, y no debe confundirse con la coordenada espacial x de un campo cuántico.

Para un oscilador armónico cuántico, x ( t ) se convierte en un operador lineal.${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$: $${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}$$ Los números complejos a y a ^* se reemplazan por el operador de aniquilación.${\displaystyle {\hat {a}}}$y el operador de creación${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$, respectivamente, donde † denota la conjugación hermitiana . La relación de conmutación entre las dos es $${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$$ El hamiltoniano del oscilador armónico simple se puede escribir como $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$$ El estado de vacío${\displaystyle |0\rangle }$, que es el estado de energía más bajo, se define por $${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$$ y tiene energía${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$ Uno puede comprobar fácilmente que${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },}$lo cual implica que${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$aumenta la energía del oscilador armónico simple mediante${\displaystyle \hbar \omega }$Por ejemplo, el estado${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle }$es un autoestado de energía${\displaystyle 3\hbar \omega /2}$Cualquier estado de autoestado de energía de un oscilador armónico simple se puede obtener a partir de${\displaystyle |0\rangle }$aplicando sucesivamente el operador de creación${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$: ^{[ 1 ] : 20} y cualquier estado del sistema puede expresarse como una combinación lineal de los estados $${\displaystyle |n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .}$$

Un procedimiento similar puede aplicarse al campo escalar real ϕ , elevándolo a un operador de campo cuántico.${\displaystyle {\sombrero {\phi }}}$, mientras que el operador de aniquilación${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}$, el operador de creación${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$y la frecuencia angular${\displaystyle \omega _ {\mathbf {p} }}$son ahora para un p en particular : $${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}$$ Sus relaciones de conmutación son: ^{[ 1 ] : 21}$${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,}$$ donde δ es la función delta de Dirac . El estado de vacío${\displaystyle |0\rangle }$se define por $${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$$ Cualquier estado cuántico del campo se puede obtener a partir de${\displaystyle |0\rangle }$mediante la aplicación sucesiva de operadores de creación${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$(o mediante una combinación lineal de dichos estados), por ejemplo ^{[ 1 ] : 22}$${\displaystyle \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .}$$

Mientras que el espacio de estados de un oscilador armónico cuántico simple contiene todos los estados de energía discretos de una partícula oscilante, el espacio de estados de un campo cuántico contiene los niveles de energía discretos de un número arbitrario de partículas. Este último espacio se conoce como espacio de Fock , lo que explica que el número de partículas no sea fijo en los sistemas cuánticos relativistas. ^{[ 33 ]} El proceso de cuantizar un número arbitrario de partículas en lugar de una sola partícula también se denomina a menudo segunda cuantización . ^{[ 1 ] : 19}

El procedimiento anterior es una aplicación directa de la mecánica cuántica no relativista y puede usarse para cuantizar campos escalares (complejos), campos de Dirac , ^{[ 1 ] : 52} campos vectoriales ( por ejemplo , el campo electromagnético) e incluso cuerdas . ^{[ 34 ]} Sin embargo, los operadores de creación y aniquilación solo están bien definidos en las teorías más simples que no contienen interacciones (la llamada teoría libre). En el caso del campo escalar real, la existencia de estos operadores fue una consecuencia de la descomposición de las soluciones de las ecuaciones clásicas de movimiento en una suma de modos normales. Para realizar cálculos en cualquier teoría de interacción realista, sería necesaria la teoría de perturbaciones .

El lagrangiano de cualquier campo cuántico en la naturaleza contendría términos de interacción además de los términos de la teoría libre. Por ejemplo, se podría introducir un término de interacción cuártica en el lagrangiano del campo escalar real: ^{[ 1 ] : 77}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$$ donde μ es un índice espaciotemporal,${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$etc. La suma sobre el índice μ se ha omitido siguiendo la notación de Einstein . Si el parámetro λ es suficientemente pequeño, entonces la teoría de interacción descrita por el lagrangiano anterior puede considerarse como una pequeña perturbación de la teoría libre.

La formulación de integral de trayectoria de la QFT se ocupa del cálculo directo de la amplitud de dispersión de un determinado proceso de interacción, en lugar del establecimiento de operadores y espacios de estados. Para calcular la amplitud de probabilidad de que un sistema evolucione desde algún estado inicial${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$en el instante t = 0 a algún estado final${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$En t = T , el tiempo total T se divide en N pequeños intervalos. La amplitud total es el producto de la amplitud de evolución dentro de cada intervalo, integrada sobre todos los estados intermedios. Sea H el hamiltoniano ( es decir, el generador de la evolución temporal ), entonces ^{[ 32 ] : 10}$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$$ Tomando el límite N → ∞ , el producto de integrales anterior se convierte en la integral de trayectoria de Feynman: ^{[ 1 ] : 282 [ 32 ] : 12}$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$$ donde L es el lagrangiano que involucra a ϕ y sus derivadas con respecto a las coordenadas espaciales y temporales, obtenido a partir del hamiltoniano H mediante la transformación de Legendre . Las condiciones iniciales y finales de la integral de trayectoria son respectivamente $${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$$ En otras palabras, la amplitud total es la suma de las amplitudes de todas las trayectorias posibles entre los estados inicial y final, donde la amplitud de una trayectoria viene dada por la exponencial en el integrando.

En los cálculos, a menudo uno se encuentra con expresiones como$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$$en la teoría libre o interactiva, respectivamente. Aquí,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son cuadrivectores de posición ,${\displaystyle T}$es el operador de ordenación temporal que reorganiza sus operandos de manera que los componentes de tiempo${\displaystyle x^{0}}$y${\displaystyle y^{0}}$aumentan de derecha a izquierda, y${\displaystyle |\Omega \rangle }$es el estado fundamental (estado de vacío) de la teoría de interacción, diferente del estado fundamental libre${\displaystyle |0\rangle }$Esta expresión representa la amplitud de probabilidad de que el campo se propague de y a x , y recibe varios nombres, como propagador de dos puntos, función de correlación de dos puntos , función de Green de dos puntos o simplemente función de dos puntos. ^{[ 1 ] : 82}

La función libre de dos puntos, también conocida como propagador de Feynman , se puede encontrar para el campo escalar real mediante cuantización canónica o integrales de trayectoria como ^{[ 1 ] : 31,288 [ 32 ] : 23}$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$$ En una teoría interactiva, donde el lagrangiano o hamiltoniano contiene términos${\displaystyle L_{I}(t)}$o${\displaystyle H_{I}(t)}$Para describir las interacciones, la función de dos puntos es más difícil de definir. Sin embargo, tanto mediante la formulación de cuantización canónica como mediante la formulación de integral de trayectoria, es posible expresarla a través de una serie de perturbaciones infinitas de la función de dos puntos libre .

En la cuantización canónica, la función de correlación de dos puntos se puede escribir como: ^{[ 1 ] : 87}$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}$$ donde ε es un número infinitesimal y ϕ _I es el operador de campo bajo la teoría libre. Aquí, la exponencial debe entenderse como su expansión en serie de potencias . Por ejemplo, en${\displaystyle \phi ^{4}}$-teoría, el término interactuante del hamiltoniano es${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$, ^{[ 1 ] : 84} y la expansión del correlador de dos puntos en términos de${\displaystyle \lambda }$se convierte$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}$$Esta expansión perturbativa expresa la función de dos puntos interactuante en términos de cantidades${\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }$que se evalúan en la teoría libre .

En la formulación de integral de trayectoria, la función de correlación de dos puntos se puede escribir ^{[ 1 ] : 284}$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es la densidad lagrangiana. Como en el párrafo anterior, la exponencial se puede expandir como una serie en λ , reduciendo la función de dos puntos interactuante a cantidades en la teoría libre.

El teorema de Wick reduce aún más cualquier función de correlación de n puntos en la teoría libre a una suma de productos de funciones de correlación de dos puntos. Por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$$ Dado que las funciones de correlación interactuantes pueden expresarse en términos de funciones de correlación libres, solo es necesario evaluar estas últimas para calcular todas las cantidades físicas en la teoría interactuante (perturbativa). ^{[ 1 ] : 90} Esto convierte al propagador de Feynman en una de las cantidades más importantes en la teoría cuántica de campos.

Las funciones de correlación en la teoría de interacción se pueden escribir como una serie de perturbaciones. Cada término de la serie es un producto de propagadores de Feynman en la teoría libre y se puede representar visualmente mediante un diagrama de Feynman . Por ejemplo, el término λ ¹ en la función de correlación de dos puntos en la teoría ϕ ^{4 es}$${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$$ Después de aplicar el teorema de Wick, uno de los términos es $${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}$$ Este término se puede obtener a partir del diagrama de Feynman.

.

El diagrama consta de

• vértices externos conectados por una arista y representados por puntos (aquí etiquetados${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$).
• vértices internos conectados por cuatro aristas y representados por puntos (aquí etiquetados${\displaystyle z}$).
• aristas que conectan los vértices y que están representadas por líneas.

Cada vértice corresponde a un único${\displaystyle \phi }$factor de campo en el punto correspondiente del espaciotiempo, mientras que los bordes corresponden a los propagadores entre los puntos del espaciotiempo. El término en la serie de perturbación correspondiente al diagrama se obtiene escribiendo la expresión que se deduce de las llamadas reglas de Feynman:

1. Para cada vértice interno${\displaystyle z_{i}}$, escribe un factor${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$.
2. Por cada arista que conecta dos vértices${\displaystyle z_{i}}$y${\displaystyle z_{j}}$, escribe un factor${\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}$.
3. Dividir por el factor de simetría del diagrama.

Con el factor de simetría${\displaystyle 2}$Siguiendo estas reglas se obtiene exactamente la expresión anterior. Mediante la transformada de Fourier del propagador, las reglas de Feynman pueden reformularse del espacio de posiciones al espacio de momentos. ^{[ 1 ] : 91–94}

Para calcular la función de correlación de n puntos hasta el orden k , enumere todos los diagramas de Feynman válidos con n puntos externos y k o menos vértices, y luego use las reglas de Feynman para obtener la expresión para cada término. Para ser precisos, $${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$$ es igual a la suma de (expresiones correspondientes a) todos los diagramas conectados con n puntos externos. (Los diagramas conectados son aquellos en los que cada vértice está conectado a un punto externo mediante líneas. Los componentes que están totalmente desconectados de las líneas externas a veces se denominan "burbujas de vacío"). En la teoría de interacción ϕ ⁴ discutida anteriormente, cada vértice debe tener cuatro patas. ^{[ 1 ] : 98}

En aplicaciones prácticas, la amplitud de dispersión de una interacción determinada o la tasa de desintegración de una partícula se pueden calcular a partir de la matriz S , que a su vez se puede obtener mediante el método del diagrama de Feynman. ^{[ 1 ] : 102–115}

Los diagramas de Feynman desprovistos de "bucles" se denominan diagramas de nivel de árbol, que describen los procesos de interacción de orden más bajo; aquellos que contienen n bucles se denominan diagramas de n bucles, que describen contribuciones de orden superior, o correcciones radiativas, a la interacción. ^{[ 32 ] : 44} Las líneas cuyos puntos finales son vértices pueden considerarse como la propagación de partículas virtuales . ^{[ 1 ] : 31}

Las reglas de Feynman pueden utilizarse para evaluar directamente diagramas de árbol. Sin embargo, el cálculo ingenuo de diagramas de bucle como el que se muestra arriba dará como resultado integrales de momento divergentes, lo que parece implicar que casi todos los términos de la expansión perturbativa son infinitos. El procedimiento de renormalización es un proceso sistemático para eliminar dichos infinitos.

Los parámetros que aparecen en el lagrangiano, como la masa m y la constante de acoplamiento λ , carecen de significado físico: m , λ y la intensidad del campo ϕ no son cantidades medibles experimentalmente y se denominan aquí masa desnuda, constante de acoplamiento desnuda y campo desnudo, respectivamente. La masa física y la constante de acoplamiento se miden en algún proceso de interacción y, por lo general, difieren de las cantidades desnudas. Al calcular cantidades físicas a partir de este proceso de interacción, se puede limitar el dominio de las integrales de momento divergentes a un valor inferior a un límite de momento Λ , obtener expresiones para las cantidades físicas y, a continuación, tomar el límite Λ → ∞ . Este es un ejemplo de regularización , una clase de métodos para tratar las divergencias en la teoría cuántica de campos (TQC), donde Λ es el regulador.

El enfoque ilustrado anteriormente se denomina teoría de perturbación básica, ya que los cálculos involucran únicamente las cantidades básicas, como la masa y la constante de acoplamiento. Un enfoque diferente, denominado teoría de perturbación renormalizada, consiste en utilizar cantidades físicamente significativas desde el principio. En el caso de la teoría ϕ ⁴ , primero se redefine la intensidad del campo: $${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$$ donde ϕ es el campo desnudo, ϕ _r es el campo renormalizado y Z es una constante por determinar. La densidad lagrangiana se convierte en: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$$ donde m _r y λ _r son la masa y la constante de acoplamiento renormalizadas y medibles experimentalmente, respectivamente, y $${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$$ son constantes por determinar. Los tres primeros términos son la densidad ^lagrangiana ϕ₄ escrita en términos de las cantidades renormalizadas, mientras que los tres últimos términos se denominan "contratérminos". Dado que el lagrangiano ahora contiene más términos, los diagramas de Feynman deben incluir elementos adicionales, cada uno con sus propias reglas de Feynman. El procedimiento se describe a continuación. Primero, seleccione un esquema de regularización (como la regularización de corte introducida anteriormente o la regularización dimensional ); llame al regulador Λ . Calcule los diagramas _de Feynman, en los que los términos divergentes dependerán de Λ . Luego, defina δZ , δm y δλ de manera que los diagramas de Feynman para los contratérminos cancelen exactamente los términos divergentes en los diagramas de Feynman normales cuando se toma el límite _{Λ →} ∞ . De esta manera, se obtienen cantidades finitas significativas. ^{[ 1 ] : 323–326}

Solo es posible eliminar todos los infinitos para obtener un resultado finito en teorías renormalizables, mientras que en teorías no renormalizables los infinitos no pueden eliminarse mediante la redefinición de un pequeño número de parámetros. El Modelo Estándar de partículas elementales es una teoría cuántica de campos renormalizable, ^{[ 1 ] : 719–727} mientras que la gravedad cuántica no es renormalizable. ^{[ 1 ] : 798 [ 32 ] : 421}

Los procedimientos de cuantización y renormalización descritos en las secciones anteriores se realizan para la teoría libre y la teoría ϕ ⁴ del campo escalar real. Un proceso similar puede llevarse a cabo para otros tipos de campos, incluyendo el campo escalar complejo , el campo vectorial y el campo de Dirac , así como para otros tipos de términos de interacción, incluyendo la interacción electromagnética y la interacción de Yukawa .

Como ejemplo, la electrodinámica cuántica contiene un campo de Dirac ψ que representa el campo electrónico y un campo vectorial A ^μ que representa el campo electromagnético ( campo fotónico ). (A pesar de su nombre, el "campo" electromagnético cuántico en realidad corresponde al cuadripotencial electromagnético clásico , en lugar de a los campos eléctrico y magnético clásicos). La densidad lagrangiana completa de la QED es: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$ donde γ ^μ son matrices de Dirac ,${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, y${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$es la intensidad del campo electromagnético . Los parámetros en esta teoría son la masa del electrón (desnuda) m y la carga elemental (desnuda) e . El primer y segundo término en la densidad lagrangiana corresponden al campo de Dirac libre y a los campos vectoriales libres, respectivamente. El último término describe la interacción entre los campos del electrón y del fotón, que se trata como una perturbación de las teorías libres. ^{[ 1 ] : 78}

En la imagen superior se muestra un ejemplo de diagrama de Feynman de nivel de árbol en electrodinámica cuántica (QED). Describe la aniquilación de un electrón y un positrón, que crean un fotón fuera de la capa de masas , y su posterior desintegración en un nuevo par electrón-positrón. El tiempo transcurre de izquierda a derecha. Las flechas que apuntan hacia adelante representan la propagación de los electrones, mientras que las que apuntan hacia atrás representan la propagación de los positrones. Una línea ondulada representa la propagación de un fotón. Cada vértice en los diagramas de Feynman de QED debe tener una rama de fermiones (positrón/electrón) entrante y saliente, así como una rama de fotones.

Utilizando la teoría de perturbaciones , el efecto total de un pequeño término de interacción puede aproximarse orden por orden mediante un desarrollo en serie en función del número de partículas virtuales que participan en la interacción. Cada término del desarrollo puede entenderse como una posible forma en que las partículas (físicas) interactúan entre sí a través de partículas virtuales, lo que se expresa visualmente mediante un diagrama de Feynman . La fuerza electromagnética entre dos electrones en QED se representa (hasta el primer orden en la teoría de perturbaciones) mediante la propagación de un fotón virtual. De manera similar, los bosones W y Z transportan la interacción débil, mientras que los gluones transportan la interacción fuerte. La interpretación de una interacción como una suma de estados intermedios que implican el intercambio de varias partículas virtuales solo tiene sentido en el marco de la teoría de perturbaciones. En contraste, los métodos no perturbativos en QFT tratan el lagrangiano interactuante como un todo sin ningún desarrollo en serie. En lugar de partículas que transportan interacciones, estos métodos han dado lugar a conceptos como el monopolo de 't Hooft-Polyakov , la pared de dominio , el tubo de flujo y el instantón . ^{[ 8 ]} Ejemplos de QFT que son completamente solubles no perturbativamente incluyen modelos mínimos de teoría de campos conformes ^{[ 52 ]} y el modelo de Thirring . ^{[ 53 ]}