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Mecánica estadística

En física , la mecánica estadística es un marco matemático que aplica métodos estadísticos y la teoría de la probabilidad a grandes conjuntos de entidades microscópicas. A veces...

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En física , la mecánica estadística es un marco matemático que aplica métodos estadísticos y la teoría de la probabilidad a grandes conjuntos de entidades microscópicas. A veces llamada física estadística o termodinámica estadística , sus aplicaciones incluyen muchos problemas en una amplia variedad de campos como la biología , [ 1 ] la neurociencia , [ 2 ] la informática , [ 3 ] [ 4 ] la teoría de la información [ 5 ] y la sociología . [ 6 ] Su propósito principal es aclarar las propiedades de la materia en conjunto, en términos de leyes físicas que rigen el movimiento atómico. [ 7 ] [ 8 ]

La mecánica estadística surgió del desarrollo de la termodinámica clásica , un campo en el que logró explicar con éxito propiedades físicas macroscópicas —como la temperatura , la presión y la capacidad calorífica— en términos de parámetros microscópicos que fluctúan alrededor de valores promedio y se caracterizan por distribuciones de probabilidad . [ 9 ] : 1–4

Si bien la termodinámica clásica se ocupa principalmente del equilibrio termodinámico , la mecánica estadística se ha aplicado en la mecánica estadística de no equilibrio a los problemas de modelado microscópico de la velocidad de procesos irreversibles impulsados ​​por desequilibrios. [ 9 ] : 3 Ejemplos de tales procesos incluyen reacciones químicas y flujos de partículas y calor. El teorema de fluctuación-disipación es el conocimiento básico que se obtiene al aplicar la mecánica estadística de no equilibrio para estudiar la situación de no equilibrio más simple de un flujo de corriente en estado estacionario en un sistema de muchas partículas. [ 9 ] : 572–573

Historia

Ludwig Boltzmann, quien dedicó gran parte de su vida al estudio de la mecánica estadística, se suicidó en 1906. Paul Ehrenfest, continuando su labor, falleció de forma similar en 1933. Ahora nos toca a nosotros estudiar mecánica estadística.

— David L. Goodstein, Estados de la materia [ 10 ]

En 1738, el físico y matemático suizo Daniel Bernoulli publicó Hydrodynamica, obra que sentó las bases de la teoría cinética de los gases . En este trabajo, Bernoulli postuló el argumento, aún vigente, de que los gases están compuestos por un gran número de moléculas que se mueven en todas direcciones, que su impacto sobre una superficie provoca la presión que sentimos y que lo que percibimos como calor es simplemente la energía cinética de su movimiento. [ 11 ]

Generalmente se atribuye la fundación del campo de la mecánica estadística a tres físicos:

En 1859, tras leer un artículo sobre la difusión de moléculas de Rudolf Clausius , el físico escocés Maxwell formuló la distribución de Maxwell de velocidades moleculares, que proporcionaba la proporción de moléculas con una determinada velocidad en un rango específico. [ 12 ] [ 13 ] Esta fue la primera ley estadística en física. [ 14 ] Maxwell también dio el primer argumento mecánico de que las colisiones moleculares implican una igualación de temperaturas y, por lo tanto, una tendencia hacia el equilibrio. [ 15 ] Cinco años después, en 1864, Boltzmann, un joven estudiante en Viena, encontró el artículo de Maxwell y dedicó gran parte de su vida a desarrollar aún más el tema.

La mecánica estadística se inició en la década de 1870 con el trabajo de Boltzmann, gran parte del cual se publicó colectivamente en sus Lecciones sobre la teoría de los gases de 1896. [ 16 ] Los trabajos originales de Boltzmann sobre la interpretación estadística de la termodinámica, el teorema H , la teoría del transporte , el equilibrio térmico , la ecuación de estado de los gases y temas similares, ocupan alrededor de 2000 páginas en las actas de la Academia de Viena y otras sociedades. Boltzmann introdujo el concepto de un conjunto estadístico de equilibrio y también investigó por primera vez la mecánica estadística de no equilibrio, con su teorema H.

Portada del libro de texto de Gibbs sobre mecánica estadística.

El término "mecánica estadística" fue acuñado por el físico matemático estadounidense Gibbs en 1884. [ 17 ] Según Gibbs, el término "estadístico", en el contexto de la mecánica, es decir, la mecánica estadística, fue utilizado por primera vez por Maxwell en 1871:

"Al tratar con masas de materia, mientras no percibamos las moléculas individuales, nos vemos obligados a adoptar lo que he descrito como el método estadístico de cálculo, y a abandonar el método dinámico estricto, en el que seguimos cada movimiento mediante el cálculo."

— J. Clerk Maxwell [ 18 ]

«Mecánica probabilística» podría parecer hoy un término más apropiado, pero «mecánica estadística» está firmemente arraigada. [ 19 ] Poco antes de su muerte, Gibbs publicó en 1902 Principios elementales de mecánica estadística , un libro que formalizó la mecánica estadística como un enfoque completamente general para abordar todos los sistemas mecánicos, macroscópicos o microscópicos, gaseosos o no gaseosos. [ 20 ] Los métodos de Gibbs se derivaron inicialmente en el marco de la mecánica clásica . Sin embargo, eran de tal generalidad que se adaptaron fácilmente a la mecánica cuántica posterior y aún hoy forman la base de la mecánica estadística. [ 21 ]

Principios: mecánica y conjuntos

En física, generalmente se examinan dos tipos de mecánica: la mecánica clásica y la mecánica cuántica . [ 9 ] : Cap. 1 Para ambos tipos de mecánica, el enfoque matemático estándar consiste en considerar dos conceptos:

Utilizando estos dos conceptos, el estado en cualquier otro momento, pasado o futuro, puede calcularse en principio. [ 9 ] : 7 Sin embargo, existe una desconexión entre estas leyes y las experiencias de la vida cotidiana, [ 22 ] : 1 ya que no consideramos necesario (y en mecánica cuántica, no es teóricamente posible) conocer con exactitud a nivel microscópico las posiciones y velocidades simultáneas de cada molécula mientras realizamos procesos a escala humana (por ejemplo, al llevar a cabo una reacción química). La mecánica estadística llena esta desconexión entre las leyes de la mecánica y la experiencia práctica del conocimiento incompleto, al añadir cierta incertidumbre sobre en qué estado se encuentra el sistema. [ 9 ] : Cap. 1

Mientras que la mecánica ordinaria solo considera el comportamiento de un único estado, la mecánica estadística introduce el conjunto estadístico , que es una gran colección de copias virtuales e independientes del sistema en diversos estados. El conjunto estadístico es una distribución de probabilidad sobre todos los estados posibles del sistema. En la mecánica estadística clásica, el conjunto es una distribución de probabilidad sobre puntos de fase (a diferencia de un único punto de fase en la mecánica ordinaria), generalmente representada como una distribución en un espacio de fase con ejes de coordenadas canónicas . En la mecánica estadística cuántica, el conjunto es una distribución de probabilidad sobre estados puros y puede resumirse de forma compacta como una matriz de densidad . [ 22 ] : 13

Como es habitual en las probabilidades, el conjunto puede interpretarse de diferentes maneras: [ 20 ]

  • Un conjunto puede tomarse para representar los diversos estados posibles en los que podría encontrarse un solo sistema ( probabilidad epistémica , una forma de conocimiento), o
  • Los miembros del conjunto pueden entenderse como los estados de los sistemas en experimentos repetidos en sistemas independientes que han sido preparados de manera similar pero imperfectamente controlada ( probabilidad empírica ), en el límite de un número infinito de ensayos.

Estos dos significados son equivalentes para muchos propósitos y se usarán indistintamente en este artículo. [ 11 ]

Sin embargo, independientemente de cómo se interprete la probabilidad, cada estado del conjunto evoluciona con el tiempo según la ecuación de movimiento. Por lo tanto, el conjunto en sí (la distribución de probabilidad sobre los estados) [ 23 ] : 16 también evoluciona, a medida que los sistemas virtuales del conjunto se mueven a través de diferentes estados. La evolución del conjunto viene dada por la ecuación de Liouville (mecánica clásica) o la ecuación de von Neumann (mecánica cuántica). Estas ecuaciones pueden derivarse aplicando la ecuación mecánica de movimiento por separado a cada sistema virtual contenido en el conjunto, conservando la probabilidad de cada sistema virtual a lo largo del tiempo a medida que evoluciona. [ 23 ] : 43 [ 22 ] : 14

Una clase especial de conjuntos son aquellos que no evolucionan con el tiempo. Estos conjuntos se conocen como conjuntos de equilibrio y su condición se conoce como equilibrio estadístico . [ 9 ] : Cap. 3 El equilibrio estadístico se produce si, para cada estado del conjunto, este también contiene todos sus estados futuros y pasados ​​con probabilidades iguales a la probabilidad de estar en ese estado. (Por el contrario, el equilibrio mecánico es un estado con un equilibrio de fuerzas que ha dejado de evolucionar). El estudio de los conjuntos de equilibrio de sistemas aislados es el foco de la termodinámica estadística. La mecánica estadística de no equilibrio aborda el caso más general de conjuntos que cambian con el tiempo y/o conjuntos de sistemas no aislados. [ 24 ]

Termodinámica estadística

El objetivo principal de la termodinámica estadística (también conocida como mecánica estadística de equilibrio) es derivar la termodinámica clásica de los materiales en función de las propiedades de sus partículas constituyentes y las interacciones entre ellas. En otras palabras, la termodinámica estadística establece una conexión entre las propiedades macroscópicas de los materiales en equilibrio termodinámico y los comportamientos y movimientos microscópicos que ocurren en su interior.

Mientras que la mecánica estadística propiamente dicha implica dinámica, aquí la atención se centra en el equilibrio estadístico (estado estacionario). El equilibrio estadístico no significa que las partículas hayan dejado de moverse ( equilibrio mecánico ), sino simplemente que el conjunto no está evolucionando.

postulado fundamental

Una condición suficiente (pero no necesaria) para el equilibrio estadístico con un sistema aislado es que la distribución de probabilidad sea función únicamente de propiedades conservadas (energía total, número total de partículas, etc.). [ 20 ] Existen muchos conjuntos de equilibrio diferentes que pueden considerarse, y solo algunos de ellos corresponden a la termodinámica. [ 20 ] Se necesitan postulados adicionales para justificar por qué el conjunto para un sistema dado debe tener una forma u otra.

Un enfoque común que se encuentra en muchos libros de texto es tomar el postulado de probabilidad a priori igual . [ 21 ] Este postulado establece que

Para un sistema aislado con una energía y una composición conocidas con exactitud, el sistema puede encontrarse con igual probabilidad en cualquier microestado compatible con ese conocimiento.

El postulado de igualdad de probabilidad a priori proporciona, por lo tanto, una motivación para el conjunto microcanónico que se describe a continuación. Existen varios argumentos a favor del postulado de igualdad de probabilidad a priori:

  • Hipótesis ergódica : Un sistema ergódico es aquel que evoluciona con el tiempo para explorar todos los estados accesibles: aquellos con la misma energía y composición. En un sistema ergódico, el conjunto microcanónico es el único conjunto de equilibrio posible con energía fija. Este enfoque tiene una aplicabilidad limitada, ya que la mayoría de los sistemas no son ergódicos.
  • Principio de indiferencia : En ausencia de información adicional, solo podemos asignar probabilidades iguales a cada situación compatible.
  • Entropía de información máxima : Una versión más elaborada del principio de indiferencia establece que el conjunto correcto es aquel que es compatible con la información conocida y que tiene la mayor entropía de Gibbs ( entropía de información ). [ 25 ]

También se han propuesto otros postulados fundamentales para la mecánica estadística. [ 11 ] [ 26 ] [ 27 ] Por ejemplo, estudios recientes muestran que la teoría de la mecánica estadística puede construirse sin el postulado de probabilidad a priori igual. [ 26 ] [ 27 ] Un formalismo de este tipo se basa en la relación termodinámica fundamental junto con el siguiente conjunto de postulados: [ 26 ]

  1. La función de densidad de probabilidad es proporcional a alguna función de los parámetros del conjunto y las variables aleatorias.
  2. Las funciones de estado termodinámico se describen mediante promedios de conjunto de variables aleatorias.
  3. La entropía definida por la fórmula de entropía de Gibbs coincide con la entropía definida en la termodinámica clásica .

donde el tercer postulado puede ser reemplazado por lo siguiente: [ 27 ]

  1. A temperatura infinita, todos los microestados tienen la misma probabilidad.

Tres conjuntos termodinámicos

Existen tres conjuntos de equilibrio con una forma simple que pueden definirse para cualquier sistema aislado confinado dentro de un volumen finito. [ 20 ] Estos son los conjuntos más frecuentemente discutidos en termodinámica estadística. En el límite macroscópico (definido más adelante), todos corresponden a la termodinámica clásica.

Conjunto microcanónico
Describe un sistema con una energía dada con precisión y una composición fija (número exacto de partículas). El conjunto microcanónico contiene, con igual probabilidad, cada estado posible que sea consistente con dicha energía y composición.
Conjunto canónico
Describe un sistema de composición fija que se encuentra en equilibrio térmico con un baño térmico de temperatura precisa . El conjunto canónico contiene estados de energía variable pero composición idéntica; a los diferentes estados del conjunto se les asignan diferentes probabilidades dependiendo de su energía total.
Gran conjunto canónico
Describe un sistema de composición variable (con número incierto de partículas) en equilibrio térmico y químico con un reservorio termodinámico. Este reservorio posee una temperatura precisa y potenciales químicos precisos para distintos tipos de partículas. El ensamble gran canónico contiene estados de energía y número de partículas variables; a los diferentes estados del ensamble se les asignan distintas probabilidades en función de su energía total y su número total de partículas.

Para sistemas que contienen muchas partículas (el límite termodinámico ), los tres conjuntos mencionados anteriormente tienden a presentar un comportamiento idéntico. Por lo tanto, es simplemente una cuestión de conveniencia matemática qué conjunto se utiliza. [ 9 ] : 227 El teorema de Gibbs sobre la equivalencia de conjuntos [ 28 ] se desarrolló en la teoría del fenómeno de concentración de la medida , [ 29 ] que tiene aplicaciones en muchas áreas de la ciencia, desde el análisis funcional hasta los métodos de inteligencia artificial y la tecnología de macrodatos . [ 30 ]

Entre los casos importantes en los que los conjuntos termodinámicos no dan resultados idénticos se incluyen:

  • Sistemas microscópicos.
  • Sistemas de gran tamaño en una transición de fase.
  • Sistemas de gran tamaño con interacciones de largo alcance.

En estos casos, debe elegirse el conjunto termodinámico correcto, ya que existen diferencias observables entre estos conjuntos no solo en la magnitud de las fluctuaciones, sino también en cantidades promedio como la distribución de partículas. El conjunto correcto es aquel que corresponde a la forma en que el sistema ha sido preparado y caracterizado; en otras palabras, el conjunto que refleja el conocimiento sobre ese sistema. [ 21 ]

Métodos de cálculo

Una vez determinada la función de partición para un conjunto de estados de un sistema dado, este se considera "resuelto", ya que todas las observables termodinámicas macroscópicas pueden derivarse de él mediante derivadas parciales. Sin embargo, calcular la función de partición de un conjunto termodinámico suele ser un desafío considerable, puesto que requiere realizar una suma o integración sobre cada microestado posible del sistema. Si bien ciertos modelos idealizados permiten obtener soluciones analíticas exactas, la mayoría de los sistemas de muchos cuerpos realistas son demasiado complejos para tal tratamiento. Por consiguiente, se emplean diversas técnicas de aproximación —como la teoría de campo medio, las expansiones perturbativas o las simulaciones de Monte Carlo— para estimar la función de partición y calcular los valores promedio de las magnitudes físicas.

Exacto

Existen algunos casos que permiten soluciones exactas.

  • Para sistemas microscópicos muy pequeños, los conjuntos se pueden calcular directamente enumerando todos los estados posibles del sistema (utilizando la diagonalización exacta en mecánica cuántica o la integral sobre todo el espacio de fases en mecánica clásica).
  • Algunos sistemas grandes constan de muchos sistemas microscópicos separables, y cada uno de los subsistemas puede analizarse de forma independiente. Cabe destacar que los gases idealizados de partículas no interactuantes poseen esta propiedad, lo que permite derivaciones exactas de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , Fermi-Dirac y Bose-Einstein . [ 21 ]
  • Se han resuelto algunos sistemas grandes con interacción. Mediante el uso de técnicas matemáticas sutiles, se han encontrado soluciones exactas para algunos modelos de juguete . [ 31 ] Algunos ejemplos incluyen el ansatz de Bethe , el modelo de Ising de red cuadrada en campo cero, el modelo de hexágono duro .

Montecarlo

Aunque algunos problemas de física estadística pueden resolverse analíticamente mediante aproximaciones y expansiones, la mayoría de las investigaciones actuales aprovechan la gran capacidad de procesamiento de las computadoras modernas para simular o aproximar soluciones. Un enfoque común para los problemas estadísticos es utilizar una simulación de Monte Carlo para comprender mejor las propiedades de un sistema complejo . Los métodos de Monte Carlo son importantes en física computacional , fisicoquímica y campos relacionados, y tienen diversas aplicaciones, incluyendo la física médica , donde se utilizan para modelar el transporte de radiación en cálculos de dosimetría de radiación. [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

El método de Monte Carlo examina solo algunos de los posibles estados del sistema, elegidos aleatoriamente (con una ponderación justa). Siempre que estos estados constituyan una muestra representativa del conjunto total de estados del sistema, se obtiene la función característica aproximada. A medida que se incluyen más muestras aleatorias, los errores se reducen a un nivel arbitrariamente bajo.

Otro

Mecánica estadística del no equilibrio

Muchos fenómenos físicos implican procesos cuasi-termodinámicos fuera de equilibrio, por ejemplo:

Todos estos procesos ocurren a lo largo del tiempo con tasas características. Estas tasas son importantes en ingeniería. El campo de la mecánica estadística de no equilibrio se ocupa de comprender estos procesos de no equilibrio a nivel microscópico. (La termodinámica estadística solo puede utilizarse para calcular el resultado final, una vez eliminados los desequilibrios externos y alcanzado el equilibrio del sistema).

En principio, la mecánica estadística de no equilibrio podría ser matemáticamente exacta: los conjuntos de un sistema aislado evolucionan con el tiempo según ecuaciones deterministas como la ecuación de Liouville o su equivalente cuántico, la ecuación de von Neumann . Estas ecuaciones son el resultado de aplicar las ecuaciones mecánicas del movimiento de forma independiente a cada estado del conjunto. Estas ecuaciones de evolución del conjunto heredan gran parte de la complejidad del movimiento mecánico subyacente, por lo que es muy difícil obtener soluciones exactas. Además, las ecuaciones de evolución del conjunto son totalmente reversibles y no destruyen información (la entropía de Gibbs del conjunto se conserva). Para avanzar en la modelización de procesos irreversibles, es necesario considerar factores adicionales además de la probabilidad y la mecánica reversible.

La mecánica del no equilibrio constituye, por lo tanto, un área activa de investigación teórica, ya que se sigue explorando el rango de validez de estas suposiciones adicionales. En las siguientes subsecciones se describen algunos enfoques.

Métodos estocásticos

Un enfoque para la mecánica estadística de no equilibrio consiste en incorporar un comportamiento estocástico (aleatorio) al sistema. El comportamiento estocástico destruye la información contenida en el conjunto. Si bien esto es técnicamente inexacto (salvo en situaciones hipotéticas que involucren agujeros negros , un sistema no puede, por sí mismo, causar la pérdida de información), la aleatoriedad se añade para reflejar que la información de interés se transforma con el tiempo en correlaciones sutiles dentro del sistema, o en correlaciones entre el sistema y el entorno. Estas correlaciones aparecen como influencias caóticas o pseudoaleatorias sobre las variables de interés. Al reemplazar estas correlaciones con aleatoriedad propiamente dicha, los cálculos se simplifican considerablemente.

  • Ecuación de transporte de Boltzmann : Una forma temprana de mecánica estocástica apareció incluso antes de que se acuñara el término "mecánica estadística", en estudios de teoría cinética . James Clerk Maxwell había demostrado que las colisiones moleculares conducirían a un movimiento aparentemente caótico dentro de un gas. Ludwig Boltzmann demostró posteriormente que, al considerar este caos molecular como una aleatorización completa, los movimientos de las partículas en un gas seguirían una sencilla ecuación de transporte de Boltzmann que restauraría rápidamente el gas a un estado de equilibrio (véase el teorema H ). La ecuación de transporte de Boltzmann y los enfoques relacionados son herramientas importantes en la mecánica estadística de no equilibrio debido a su extrema simplicidad. Estas aproximaciones funcionan bien en sistemas donde la información "interesante" se mezcla inmediatamente (después de una sola colisión) en correlaciones sutiles, lo que esencialmente las restringe a gases enrarecidos. Se ha encontrado que la ecuación de transporte de Boltzmann es muy útil en simulaciones de transporte de electrones en semiconductores ligeramente dopados (en transistores ), donde los electrones son análogos a un gas enrarecido. Una técnica cuántica relacionada con el tema es la aproximación de fase aleatoria .
  • Jerarquía BBGKY : En líquidos y gases densos, no es válido descartar inmediatamente las correlaciones entre partículas tras una sola colisión. La jerarquía BBGKY (jerarquía de Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon) proporciona un método para derivar ecuaciones de tipo Boltzmann, extendiéndolas además del caso de gases diluidos para incluir correlaciones tras varias colisiones.
  • Formalismo de Keldysh (también conocido como NEGF: funciones de Green de no equilibrio): El formalismo de Keldysh ofrece un enfoque cuántico para incluir la dinámica estocástica. Este enfoque se utiliza frecuentemente en cálculos de transporte cuántico electrónico .
  • Ecuación estocástica de Liouville .

Métodos cercanos al equilibrio

Otra clase importante de modelos de mecánica estadística fuera del equilibrio se ocupa de sistemas que se ven perturbados solo ligeramente respecto al equilibrio. Con perturbaciones muy pequeñas, la respuesta puede analizarse mediante la teoría de respuesta lineal . Un resultado notable, formalizado por el teorema de fluctuación-disipación , es que la respuesta de un sistema cerca del equilibrio está precisamente relacionada con las fluctuaciones que ocurren cuando el sistema está en equilibrio total. En esencia, un sistema que se encuentra ligeramente alejado del equilibrio —ya sea por fuerzas externas o por fluctuaciones— se relaja hacia el equilibrio de la misma manera, puesto que el sistema no puede distinguir la diferencia ni "saber" cómo llegó a estar alejado del equilibrio. [ 35 ] : 664

Esto proporciona una vía indirecta para obtener valores como la conductividad óhmica y la conductividad térmica mediante la extracción de resultados de la mecánica estadística de equilibrio. Dado que la mecánica estadística de equilibrio está bien definida matemáticamente y (en algunos casos) es más fácil de calcular, la relación fluctuación-disipación puede ser un atajo conveniente para los cálculos en mecánica estadística cercana al equilibrio.

Algunas de las herramientas teóricas utilizadas para establecer esta conexión incluyen:

métodos híbridos

Un enfoque avanzado utiliza una combinación de métodos estocásticos y teoría de respuesta lineal . Por ejemplo, un método para calcular los efectos de coherencia cuántica ( localización débil , fluctuaciones de conductancia ) en la conductancia de un sistema electrónico consiste en el uso de las relaciones de Green-Kubo, incluyendo la decoherencia estocástica debida a las interacciones entre varios electrones mediante el método de Keldysh. [ 36 ] [ 37 ]

Aplicaciones

El formalismo de conjuntos se puede utilizar para analizar sistemas mecánicos generales con incertidumbre en el conocimiento sobre el estado del sistema. Los conjuntos también se utilizan en:

La física estadística explica y describe cuantitativamente la superconductividad , la superfluidez , la turbulencia , los fenómenos colectivos en sólidos y plasma , y ​​las características estructurales de los líquidos . Es la base de la astrofísica moderna y del teorema del virial . En la física del estado sólido, la física estadística facilita el estudio de los cristales líquidos , las transiciones de fase y los fenómenos críticos . Muchos estudios experimentales de la materia se basan completamente en la descripción estadística de un sistema. Estos incluyen la dispersión de neutrones fríos , rayos X , luz visible , entre otros. La física estadística también desempeña un papel importante en la ciencia de los materiales, la física nuclear, la astrofísica, la química, la biología y la medicina (por ejemplo, en el estudio de la propagación de enfermedades infecciosas).

Las técnicas analíticas y computacionales derivadas de la física estadística de sistemas desordenados pueden extenderse a problemas a gran escala, incluido el aprendizaje automático, por ejemplo, para analizar el espacio de pesos de las redes neuronales profundas . [ 38 ] La física estadística está encontrando así aplicaciones en el área del diagnóstico médico . [ 39 ]

Mecánica estadística cuántica

La mecánica estadística cuántica es la mecánica estadística aplicada a sistemas mecánicos cuánticos . En mecánica cuántica, un conjunto estadístico (distribución de probabilidad sobre posibles estados cuánticos ) se describe mediante un operador de densidad S , que es un operador no negativo, autoadjunto y de clase traza de traza 1 en el espacio de Hilbert H que describe el sistema cuántico. Esto se puede demostrar mediante diversos formalismos matemáticos para la mecánica cuántica . Uno de estos formalismos lo proporciona la lógica cuántica .

Índice de temas de mecánica estadística

Física

teoría de la percolación

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Reif, F. (2009). Fundamentos de física estadística y térmica . Waveland Press. ISBN 978-1-4786-1005-2.
  • Müller-Kirsten, Harald J W. (2013). Fundamentos de física estadística (PDF) . doi : 10.1142/8709 . ISBN 978-981-4449-53-3.
  • Kadanoff, Leo P. "Física estadística y otros recursos" . Archivado del original el 12 de agosto de 2021. Recuperado el 18 de junio de 2023 .
  • Kadanoff, Leo P. (2000). Física estadística: estática, dinámica y renormalización . World Scientific. ISBN 978-981-02-3764-6.
  • Flamm, Dieter (1998). "Historia y perspectivas de la física estadística". arXiv : physics/9803005 .
  • Artículo sobre la filosofía de la mecánica estadística de Lawrence Sklar para la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  • Sklogwiki: Termodinámica, mecánica estadística y simulación computacional de materiales. Sklogwiki está especialmente orientado a líquidos y materia condensada blanda.
  • Termodinámica y mecánica estadística por Richard Fitzpatrick
  • Cohen, Doron (2011). "Lecture Notes in Statistical Mechanics and Mesoscopics". arXiv : 1107.0568 [ quant-ph ].
  • Vídeos de una serie de conferencias sobre mecánica estadística impartidas por Leonard Susskind en YouTube .
  • Vu-Quoc, L., Integral de configuración (mecánica estadística) , 2008. Este sitio wiki está caído; consulte este artículo en el archivo web del 28 de abril de 2012 .