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Estadística

La distribución normal , una densidad de probabilidad muy común , se utiliza ampliamente en estadística inferencial . Los diagramas de dispersión y los gráficos de líneas se uti...

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La distribución normal , una densidad de probabilidad muy común , se utiliza ampliamente en estadística inferencial .
Los diagramas de dispersión y los gráficos de líneas se utilizan en estadística descriptiva para mostrar las relaciones observadas entre diferentes variables, en este caso utilizando el conjunto de datos de la flor Iris .

La estadística (del alemán : Statistik , orig. «descripción de un estado , un país» [ 1 ] ) es la disciplina que se ocupa de la recopilación, organización, análisis, interpretación y presentación de datos . [ 2 ] Al aplicar la estadística a un problema científico, industrial o social, es habitual comenzar con una población estadística o un modelo estadístico que se vaya a estudiar. Las poblaciones pueden ser grupos diversos de personas u objetos, como «todas las personas que viven en un país» o «cada átomo que compone un cristal». La estadística se ocupa de todos los aspectos de los datos, incluida la planificación de la recopilación de datos en términos del diseño de encuestas y experimentos . [ 3 ] La estadística está profundamente relacionada con disciplinas como la física, la química, la geografía, la geopolítica y, especialmente, las matemáticas.

Cuando no es posible recopilar datos censales (que incluyan a todos los miembros de la población objetivo), los estadísticos obtienen datos mediante el desarrollo de diseños experimentales específicos y muestras de encuestas . El muestreo aleatorio garantiza que las inferencias y conclusiones puedan extrapolarse razonablemente de la muestra a la población en su conjunto. Un estudio experimental implica tomar mediciones del sistema en estudio, manipularlo y luego tomar mediciones adicionales siguiendo el mismo procedimiento para determinar si la manipulación ha modificado los valores de las mediciones. En cambio, un estudio observacional no implica manipulación experimental.

En el análisis de datos se utilizan dos métodos estadísticos principales : la estadística descriptiva , que resume los datos de una muestra utilizando índices como la media o la desviación estándar , y la estadística inferencial , que extrae conclusiones de datos sujetos a variación aleatoria (por ejemplo, errores de observación, variación del muestreo). [ 4 ] La estadística descriptiva se centra principalmente en dos conjuntos de propiedades de una distribución (muestra o población): la tendencia central (o ubicación ) busca caracterizar el valor central o típico de la distribución, mientras que la dispersión (o variabilidad ) caracteriza el grado en que los miembros de la distribución se desvían de su centro y entre sí. Las inferencias realizadas mediante estadística matemática emplean el marco de la teoría de la probabilidad , que se ocupa del análisis de fenómenos aleatorios.

Un procedimiento estadístico estándar implica la recopilación de datos que conducen a una prueba de la relación entre dos conjuntos de datos estadísticos, o entre un conjunto de datos y datos sintéticos extraídos de un modelo idealizado. Se propone una hipótesis sobre la relación estadística entre los dos conjuntos de datos, una alternativa a una hipótesis nula idealizada de que no existe relación entre ellos. El rechazo o la refutación de la hipótesis nula se realiza mediante pruebas estadísticas que cuantifican el sentido en que la hipótesis nula puede demostrarse falsa, dados los datos utilizados en la prueba. Al trabajar con una hipótesis nula, se reconocen dos formas básicas de error: errores de tipo I (la hipótesis nula se rechaza cuando en realidad es verdadera, lo que da lugar a un "falso positivo") y errores de tipo II (la hipótesis nula no se rechaza cuando en realidad es falsa, lo que da lugar a un "falso negativo"). Se han asociado múltiples problemas con este marco, que van desde la obtención de un tamaño de muestra suficiente hasta la especificación de una hipótesis nula adecuada. [ 4 ]

Los procesos de medición estadística también son propensos a errores en los datos que generan. Muchos de estos errores se clasifican como aleatorios (ruido) o sistemáticos ( sesgo ), pero también pueden ocurrir otros tipos de errores (por ejemplo, errores garrafales, como cuando un analista informa unidades incorrectas). La presencia de datos faltantes o censura puede dar lugar a estimaciones sesgadas, y se han desarrollado técnicas específicas para abordar estos problemas.

Introducción

"La estadística es tanto la ciencia de la incertidumbre como la tecnología de extraer información de los datos." - incluido en la Enciclopedia Internacional de Ciencias Estadísticas. [ 5 ]

La estadística es la disciplina que se ocupa de los datos , hechos y cifras a partir de los cuales se infiere información significativa. Los datos pueden representar un valor numérico, en forma de datos cuantitativos, o una etiqueta, como en el caso de los datos cualitativos. Los datos pueden recopilarse, presentarse y resumirse mediante dos métodos denominados estadística descriptiva. Dos resúmenes elementales de datos, denominados en singular estadístico, son la media y la desviación estándar. Por otro lado, la estadística inferencial interpreta los datos de una muestra de población para inferir afirmaciones y predicciones sobre dicha población. [ 6 ] [ 7 ] [ 5 ]

La estadística se considera un cuerpo de ciencia [ 8 ] o una rama de las matemáticas [ 9 ] . Se basa en la probabilidad, una rama de las matemáticas que estudia los eventos aleatorios. La estadística se considera la ciencia de la incertidumbre. Esto surge de las formas de lidiar con el error de medición y muestreo, así como de abordar las incertidumbres en el modelado. Aunque la probabilidad y la estadística alguna vez se consideraron una sola disciplina, son conceptualmente distintas entre sí. La primera se basa en deducir respuestas a situaciones específicas a partir de una teoría general de la probabilidad, mientras que la estadística induce afirmaciones sobre una población a partir de un conjunto de datos. La estadística sirve para cerrar la brecha entre la probabilidad y los campos matemáticos aplicados [ 10 ] [ 5 ] [ 11 ].

Algunos consideran la estadística como una ciencia matemática distinta , más que como una rama de las matemáticas. Si bien muchas investigaciones científicas utilizan datos, la estadística generalmente se ocupa del uso de datos en el contexto de la incertidumbre y la toma de decisiones ante la incertidumbre. [ 12 ] [ 13 ] La estadística está indexada en el 62, una subclase de teoría de la probabilidad y procesos estocásticos, en la Clasificación de Materias Matemáticas. [ 14 ] La estadística matemática está cubierta en el rango 276-280 de la subclase QA (ciencia > matemáticas) en la Clasificación de la Biblioteca del Congreso. [ 15 ]

The word statistics ultimately comes from the Latin word Status, meaning "situation" or "condition" in society, which in late Latin adopted the meaning "state". Derived from this, political scientist Gottfried Achenwall, coined the German word statistik (a summary of how things stand). In 1770, the term entered the English language through German and referred to the study of political arrangements. The term gained its modern meaning in the 1790s in John Sinclair's works.[16][17] In modern German, the term statistik is synonymous with mathematical statistics. The term statistic, in singular form, is used to describe a function that returns its value of the same name.[18]

Statistical data

Data collection

Sampling

When census data cannot be collected, statisticians collect sample data by developing specific experiment designs and survey samples. Statistics itself also provides tools for prediction and forecasting through statistical models.

To use a sample as a guide to an entire population, it is important that it truly represents the overall population. Representative sampling ensures that inferences and conclusions can safely be extended from the sample to the population as a whole. A major problem lies in determining the extent to which the chosen sample is actually representative. Statistics offers methods to estimate and correct for any bias in the sample and data collection procedures. There are also methods of experimental design that can lessen these issues at the outset of a study, strengthening its ability to discern truths about the population.

Sampling theory is part of the mathematical discipline of probability theory. Probability is used in mathematical statistics to study the sampling distributions of sample statistics and, more generally, the properties of statistical procedures. The use of any statistical method is valid only when the system or population under consideration satisfies the assumptions of the method. The difference in point of view between classic probability theory and sampling theory is, roughly, that probability theory starts with the given parameters of a total population to deduce probabilities that pertain to samples. Statistical inference, however, moves in the opposite direction—inductively inferring from samples to the parameters of a larger or total population.

Experimental and observational studies

A common goal for a statistical research project is to investigate causality, and in particular to draw a conclusion on the effect of changes in the values of predictors or independent variables on dependent variables. There are two major types of causal statistical studies: experimental studies and observational studies. In both types of studies, the effect of differences of an independent variable (or variables) on the behavior of the dependent variable are observed. The difference between the two types lies in how the study is actually conducted. Each can be very effective. An experimental study involves taking measurements of the system under study, manipulating the system, and then taking additional measurements with different levels using the same procedure to determine if the manipulation has modified the values of the measurements. In contrast, an observational study does not involve experimental manipulation. Instead, data are gathered and correlations between predictors and response are investigated. While the tools of data analysis work best on data from randomized studies, they are also applied to other kinds of data—like natural experiments and observational studies[19]—for which a statistician would use a modified, more structured estimation method (e.g., difference in differences estimation and instrumental variables, among many others) that produce consistent estimators.

Experiments

The basic steps of a statistical experiment are:

  1. Planning the research, including finding the number of replicates of the study, using the following information: preliminary estimates regarding the size of treatment effects, alternative hypotheses, and the estimated experimental variability. Consideration of the selection of experimental subjects and the ethics of research is necessary. Statisticians recommend that experiments compare (at least) one new treatment with a standard treatment or control, to allow an unbiased estimate of the difference in treatment effects.
  2. Design of experiments, using blocking to reduce the influence of confounding variables, and randomized assignment of treatments to subjects to allow unbiased estimates of treatment effects and experimental error. At this stage, the experimenters and statisticians write the experimental protocol that will guide the performance of the experiment and which specifies the primary analysis of the experimental data.
  3. Performing the experiment following the experimental protocol and analyzing the data following the experimental protocol.
  4. Further examining the data set in secondary analyses, to suggest new hypotheses for future study.
  5. Documenting and presenting the results of the study.

Experiments on human behavior have special concerns. The famous Hawthorne study examined changes to the working environment at the Hawthorne plant of the Western Electric Company. The researchers were interested in determining whether increased illumination would increase the productivity of the assembly line workers. The researchers first measured the productivity in the plant, then modified the illumination in an area of the plant and checked if the changes in illumination affected productivity. It turned out that productivity indeed improved (under the experimental conditions). However, the study is heavily criticized today for errors in experimental procedures, specifically for the lack of a control group and blindness. The Hawthorne effect refers to finding that an outcome (in this case, worker productivity) changed due to observation itself. Those in the Hawthorne study became more productive not because the lighting was changed but because they were being observed.[20]

Observational study

An example of an observational study is one that explores the association between smoking and lung cancer. This type of study typically uses a survey to collect observations about the area of interest and then performs statistical analysis. In this case, the researchers would collect observations of both smokers and non-smokers, perhaps through a cohort study, and then look for the number of cases of lung cancer in each group.[21] A case-control study is another type of observational study in which people with and without the outcome of interest (e.g. lung cancer) are invited to participate and their exposure histories are collected.

Types of data

Se han realizado varios intentos para crear una taxonomía de niveles de medición . El psicofísico Stanley Smith Stevens definió escalas nominales, ordinales, de intervalo y de razón. Las mediciones nominales no tienen un orden jerárquico significativo entre los valores y permiten cualquier transformación uno a uno (inyectiva). Las mediciones ordinales tienen diferencias imprecisas entre valores consecutivos, pero tienen un orden significativo para esos valores y permiten cualquier transformación que preserve el orden. Las mediciones de intervalo tienen distancias significativas definidas entre mediciones, pero el valor cero es arbitrario (como en el caso de las mediciones de longitud y temperatura en grados Celsius o Fahrenheit ) y permiten cualquier transformación lineal. Las mediciones de razón tienen tanto un valor cero significativo como las distancias entre diferentes mediciones definidas y permiten cualquier transformación de reescalado.

Dado que las variables que solo se ajustan a mediciones nominales u ordinales no pueden medirse numéricamente de forma razonable, a veces se agrupan como variables categóricas , mientras que las mediciones de razón e intervalo se agrupan como variables cuantitativas , que pueden ser discretas o continuas debido a su naturaleza numérica. Estas distinciones suelen estar vagamente correlacionadas con el tipo de datos en informática, de modo que las variables categóricas dicotómicas pueden representarse con el tipo de datos booleano , las variables categóricas politómicas con enteros asignados arbitrariamente en el tipo de datos integral , y las variables continuas con el tipo de datos real que implica aritmética de punto flotante . Pero la correspondencia entre los tipos de datos informáticos y los tipos de datos estadísticos depende de la categorización de estos últimos que se esté implementando.

Se han propuesto otras categorizaciones. Por ejemplo, Mosteller y Tukey (1977) [ 22 ] distinguieron grados, rangos, fracciones contadas, recuentos, cantidades y saldos. Nelder (1990) [ 23 ] describió recuentos continuos, razones continuas, razones de recuento y modos categóricos de datos. (Véase también: Chrisman (1998), [ 24 ] van den Berg (1991). [ 25 ] )

The issue of whether it is appropriate to apply different kinds of statistical methods to data obtained from different kinds of measurement procedures is complicated by issues concerning the transformation of variables and the precise interpretation of research questions. "The relationship between the data and what they describe merely reflects the fact that certain kinds of statistical statements may have truth values that are not invariant under some transformations. Whether a transformation is sensible to contemplate depends on the question one is trying to answer."[26]:82

Methods

Descriptive statistics

A descriptive statistic (in the count noun sense) is a summary statistic that quantitatively describes or summarizes features of a collection of information,[27] while descriptive statistics in the mass noun sense is the process of using and analyzing those statistics. Descriptive statistics is distinguished from inferential statistics (or inductive statistics), in that descriptive statistics aims to summarize a sample, rather than use the data to learn about the population that the sample of data is thought to represent.[28]

Inferential statistics

Statistical inference is the process of using data analysis to deduce properties of an underlying probability distribution.[29] Inferential statistical analysis infers properties of a population, for example by testing hypotheses and deriving estimates. It is assumed that the observed data set is sampled from a larger population. Inferential statistics can be contrasted with descriptive statistics. Descriptive statistics is solely concerned with properties of the observed data, and it does not rest on the assumption that the data come from a larger population.[30]

Terminology and theory of inferential statistics

Statistics, estimators and pivotal quantities

Consideremos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) con una distribución de probabilidad dada : la teoría estándar de inferencia y estimación estadística define una muestra aleatoria como el vector aleatorio dado por el vector columna de estas variables IID. [ 31 ] La población que se examina se describe mediante una distribución de probabilidad que puede tener parámetros desconocidos.

Un estadístico es una variable aleatoria que depende de la muestra aleatoria, pero no de parámetros desconocidos . Sin embargo, la distribución de probabilidad del estadístico puede tener parámetros desconocidos. Consideremos ahora una función del parámetro desconocido: un estimador es un estadístico que se utiliza para estimar dicha función. Entre los estimadores más comunes se encuentran la media muestral , la varianza muestral insesgada y la covarianza muestral .

Una variable aleatoria que depende de la muestra aleatoria y del parámetro desconocido, pero cuya distribución de probabilidad no depende de dicho parámetro, se denomina variable pivote o valor pivote. Algunos ejemplos de valores pivote ampliamente utilizados son la puntuación z , la estadística chi cuadrado y la prueba t de Student .

Entre dos estimadores de un parámetro dado, se dice que el que presenta un menor error cuadrático medio es más eficiente . Además, se dice que un estimador es insesgado si su valor esperado es igual al valor verdadero del parámetro desconocido que se está estimando, y asintóticamente insesgado si su valor esperado converge en el límite al valor verdadero de dicho parámetro.

Otras propiedades deseables para los estimadores incluyen: estimadores UMVUE que tengan la varianza más baja para todos los valores posibles del parámetro a estimar (esta suele ser una propiedad más fácil de verificar que la eficiencia) y estimadores consistentes que convergen en probabilidad al valor verdadero de dicho parámetro.

Esto aún deja pendiente la cuestión de cómo obtener estimadores en una situación dada y llevar a cabo el cálculo; se han propuesto varios métodos: el método de los momentos , el método de máxima verosimilitud , el método de mínimos cuadrados y el método más reciente de estimación de ecuaciones .

Hipótesis nula e hipótesis alternativa

La interpretación de la información estadística a menudo implica el desarrollo de una hipótesis nula, que generalmente (aunque no necesariamente) establece que no existe relación entre las variables o que no se produjo ningún cambio a lo largo del tiempo. [ 32 ] [ 33 ] La hipótesis alternativa es la que contradice la hipótesis nula.

La mejor ilustración para un principiante es el dilema que se presenta en un juicio penal . La hipótesis nula, H₀ , afirma que el acusado es inocente, mientras que la hipótesis alternativa, H₁ , afirma que el acusado es culpable . La acusación surge de la sospecha de culpabilidad. H₀ ( el statu quo ) se opone a H₁ y se mantiene a menos que H₁ esté respaldada por evidencia "más allá de toda duda razonable". Sin embargo, "no rechazar H₀ " en este caso no implica inocencia, sino simplemente que la evidencia fue insuficiente para condenar. Por lo tanto, el jurado no necesariamente acepta H₀ , sino que no la rechaza . Si bien no se puede "probar" una hipótesis nula, se puede evaluar su probabilidad de ser verdadera mediante una prueba de potencia , que evalúa los errores de tipo II . La hipótesis nula no se puede probar como verdadera porque se asume que lo es al realizar la prueba.

Error

Partiendo de una hipótesis nula , se reconocen dos grandes categorías de error:

  • Errores de tipo I en los que la hipótesis nula se rechaza erróneamente, dando lugar a un "falso positivo".
  • Los errores de tipo II ocurren cuando no se rechaza la hipótesis nula y se pasa por alto una diferencia real entre las poblaciones, lo que da como resultado un "falso negativo".

La desviación estándar se refiere al grado en que las observaciones individuales de una muestra difieren de un valor central, como la media de la muestra o de la población, mientras que el error estándar se refiere a una estimación de la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población.

Un error estadístico es la diferencia entre una observación y su valor esperado . Un residuo es la diferencia entre una observación y el valor que el estimador del valor esperado asigna a una muestra determinada (también llamado predicción).

El error cuadrático medio se utiliza para obtener estimadores eficientes , una clase de estimadores ampliamente utilizada. La raíz del error cuadrático medio es simplemente la raíz cuadrada del error cuadrático medio.

Ajuste por mínimos cuadrados: en rojo los puntos a ajustar, en azul la línea ajustada.

Muchos métodos estadísticos buscan minimizar la suma de los cuadrados residuales , y estos se denominan " métodos de mínimos cuadrados ", en contraste con el método de mínimas desviaciones absolutas . Este último otorga igual peso a los errores pequeños y grandes, mientras que el primero otorga mayor peso a los errores grandes. La suma de los cuadrados residuales también es diferenciable , lo que proporciona una propiedad útil para realizar regresiones . Los mínimos cuadrados aplicados a la regresión lineal se denominan método de mínimos cuadrados ordinarios , y los mínimos cuadrados aplicados a la regresión no lineal se denominan mínimos cuadrados no lineales . Asimismo, en un modelo de regresión lineal, la parte no determinista del modelo se denomina término de error, perturbación o, simplemente, ruido. Tanto la regresión lineal como la no lineal se abordan en los mínimos cuadrados polinomiales , que también describen la varianza en una predicción de la variable dependiente (eje y) como una función de la variable independiente (eje x) y las desviaciones (errores, ruido, perturbaciones) de la curva estimada (ajustada).

Los procesos de medición que generan datos estadísticos también están sujetos a errores. Muchos de estos errores se clasifican como aleatorios (ruido) o sistemáticos ( sesgo ), pero otros tipos de errores (por ejemplo, errores garrafales, como cuando un analista informa unidades incorrectas) también pueden ser importantes. La presencia de datos faltantes o censura puede dar lugar a estimaciones sesgadas , y se han desarrollado técnicas específicas para abordar estos problemas. [ 34 ]

Estimación por intervalos
Intervalos de confianza : la línea roja representa el valor real de la media en este ejemplo, mientras que las líneas azules son intervalos de confianza aleatorios para 100 realizaciones.

Most studies only sample part of a population, so results do not fully represent the whole population. Any estimates obtained from the sample only approximate the population value. Confidence intervals allow statisticians to express how closely the sample estimate matches the true value in the whole population. Often they are expressed as 95% confidence intervals. Formally, a 95% confidence interval for a value is a range where, if the sampling and analysis were repeated under the same conditions (yielding a different dataset), the interval would include the true (population) value in 95% of all possible cases. This does not imply that the probability that the true value is in the confidence interval is 95%. From the frequentist perspective, such a claim does not even make sense, as the true value is not a random variable. Either the true value is or is not within the given interval. However, it is true that, before any data are sampled and given a plan for how to construct the confidence interval, the probability is 95% that the yet-to-be-calculated interval will cover the true value: at this point, the limits of the interval are yet-to-be-observed random variables. One approach that does yield an interval that can be interpreted as having a given probability of containing the true value is to use a credible interval from Bayesian statistics: this approach depends on a different way of interpreting what is meant by "probability", that is as a Bayesian probability.

In principle, confidence intervals can be symmetrical or asymmetrical. An interval can be asymmetrical because it works as a lower or upper bound for a parameter (left-sided interval or right sided interval), but it can also be asymmetrical if a two-sided interval is built violating symmetry around the estimate. Sometimes the bounds of a confidence interval are reached asymptotically, and these are used to approximate the true bounds.

Significance

Statistics rarely give a simple Yes/No type answer to the question under analysis. Interpretation often comes down to the level of statistical significance applied to the numbers and often refers to the probability of a value accurately rejecting the null hypothesis (sometimes referred to as the p-value).

In this graph the black line is probability distribution for the test statistic, the critical region is the set of values to the right of the observed data point (observed value of the test statistic) and the p-value is represented by the green area.

El enfoque estándar [ 31 ] consiste en contrastar una hipótesis nula con una hipótesis alternativa. Una región crítica es el conjunto de valores del estimador que lleva a refutar la hipótesis nula. Por lo tanto, la probabilidad de error de tipo I es la probabilidad de que el estimador pertenezca a la región crítica dado que la hipótesis nula es verdadera ( significación estadística ), y la probabilidad de error de tipo II es la probabilidad de que el estimador no pertenezca a la región crítica dado que la hipótesis alternativa es verdadera. La potencia estadística de una prueba es la probabilidad de que rechace correctamente la hipótesis nula cuando esta es falsa.

Referirse a la significación estadística no implica necesariamente que el resultado general sea significativo en términos prácticos. Por ejemplo, en un estudio amplio sobre un fármaco, puede demostrarse que este tiene un efecto beneficioso estadísticamente significativo, pero muy pequeño, de modo que es improbable que ayude al paciente de forma perceptible.

Si bien en principio el nivel de significancia estadística aceptable puede ser objeto de debate, el nivel de significancia es el mayor valor p que permite rechazar la hipótesis nula. Esta prueba es lógicamente equivalente a decir que el valor p es la probabilidad, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera, de observar un resultado al menos tan extremo como el estadístico de prueba . Por lo tanto, cuanto menor sea el nivel de significancia, menor será la probabilidad de cometer un error de tipo I.

Este marco suele estar asociado a algunos problemas (véase la crítica a las pruebas de hipótesis ):

  • Una diferencia estadísticamente muy significativa puede carecer de relevancia práctica, pero es posible formular pruebas adecuadas para tener esto en cuenta. Una solución consiste en ir más allá de informar únicamente el nivel de significancia e incluir el valor p al informar si se rechaza o se acepta una hipótesis. Sin embargo, el valor p no indica la magnitud ni la importancia del efecto observado y, además, puede parecer que exagera la importancia de pequeñas diferencias en estudios de gran tamaño. Un enfoque mejor y cada vez más común es informar los intervalos de confianza . Si bien estos se obtienen a partir de los mismos cálculos que los de las pruebas de hipótesis o los valores p , describen tanto la magnitud del efecto como la incertidumbre que lo rodea.
  • Falacia del condicional transpuesto, también conocida como falacia del fiscal : las críticas surgen porque el enfoque de prueba de hipótesis obliga a favorecer una hipótesis (la hipótesis nula ), ya que lo que se evalúa es la probabilidad del resultado observado dada la hipótesis nula y no la probabilidad de la hipótesis nula dado el resultado observado. Una alternativa a este enfoque la ofrece la inferencia bayesiana , aunque requiere establecer una probabilidad previa . [ 35 ]
  • Rechazar la hipótesis nula no prueba automáticamente la hipótesis alternativa.
  • Como todo en estadística inferencial, depende del tamaño de la muestra y, por lo tanto, con distribuciones de cola pesada, los valores p pueden calcularse erróneamente.
Ejemplos

Algunos de los tests y procedimientos estadísticos más conocidos son:

estadística bayesiana

Un paradigma alternativo al popular paradigma frecuentista es utilizar el teorema de Bayes para actualizar la probabilidad previa de las hipótesis en consideración basándose en la probabilidad relativa de la evidencia recopilada para obtener una probabilidad posterior .

Por ejemplo, supongamos que 1 de cada 1000 mujeres en una población tiene cáncer de mama. Supongamos que todas (100%) de las personas con cáncer obtendrán un resultado positivo en la prueba (detección de cáncer), mientras que el 5% de las personas sin cáncer de mama también obtendrán un resultado positivo ( falsa detección de cáncer ); es decir, la prueba tiene una tasa de falsos positivos del 5%.

Supongamos que una mujer de esta población tuvo una mamografía positiva. Según la ley de Bayes, la probabilidad de que realmente tenga cáncer se obtiene multiplicando la probabilidad previa de tener cáncer (alrededor de 1:1000) por la razón de verosimilitud 20:1 (ya que una paciente con cáncer tiene 20 veces más probabilidades de obtener un resultado positivo que una paciente sana) para obtener la probabilidad posterior 20:1000 = 1:50, que es alrededor del 2%. Muchos consideran que esta probabilidad es contraintuitivamente baja debido a que se ignora la baja tasa base de cáncer . Por ejemplo, en un estudio, solo el 18% de los médicos dieron la respuesta correcta, con el 45% de ellos dando una probabilidad de cáncer del 95%, y la probabilidad promedio fue del 56% (sobreestimando por un factor de 30). [ 36 ]

El concepto de utilizar la razón de verosimilitud también se puede observar de forma destacada en las pruebas de diagnóstico médico .

Para fines de modelado estadístico, los modelos bayesianos tienden a ser jerárquicos . Por ejemplo, se podría modelar cada canal de YouTube como si tuviera visualizaciones de video distribuidas como una distribución normal con media y varianza dependientes del canal.norte(μi,σi){\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _ {i}, \sigma _ {i})}, mientras que se modelan las medias de los canales como provenientes de una distribución normal que representa la distribución del número promedio de visualizaciones de vídeo por canal, y las varianzas como provenientes de otra distribución.

Los métodos bayesianos se han visto favorecidos por el aumento de la capacidad de cálculo disponible para calcular la probabilidad posterior utilizando técnicas de aproximación numérica como el método de Monte Carlo de cadenas de Markov .

Análisis exploratorio de datos

El análisis exploratorio de datos ( AED ) es un método para analizar conjuntos de datos y resumir sus características principales, a menudo mediante métodos visuales. Se puede utilizar o no un modelo estadístico , pero principalmente el AED busca descubrir qué nos revelan los datos más allá del modelado formal o la comprobación de hipótesis.

estadística matemática

La estadística matemática es la aplicación de las matemáticas a la estadística. Las técnicas matemáticas utilizadas para ello incluyen el análisis matemático , el álgebra lineal , el análisis estocástico , las ecuaciones diferenciales y la teoría de la probabilidad basada en la teoría de la medida . [ 1 ] [ 7 ] Todos los análisis estadísticos utilizan al menos algunas matemáticas, por lo que la estadística matemática puede considerarse un componente fundamental de la estadística general. [ 8 ]

Historia

El Ars Conjectandi de Bernoulli fue la primera obra que abordó la teoría de la probabilidad tal como se entiende actualmente.

Las discusiones formales sobre inferencia se remontan a los matemáticos y criptógrafos de la Edad de Oro islámica, entre los siglos VIII y XIII. Al-Khalil (717-786) escribió el Libro de los Mensajes Criptográficos , que contiene uno de los primeros usos de permutaciones y combinaciones para enumerar todas las posibles palabras árabes con y sin vocales. [ 37 ] El Manuscrito sobre el Descifrado de Mensajes Criptográficos de Al-Kindi proporcionó una descripción detallada de cómo usar el análisis de frecuencia para descifrar mensajes cifrados , ofreciendo un ejemplo temprano de inferencia estadística para la decodificación . Ibn Adlan (1187-1268) posteriormente hizo una importante contribución sobre el uso del tamaño de la muestra en el análisis de frecuencia. [ 37 ]

Aunque el término estadística fue introducido por el erudito italiano Girolamo Ghilini en 1589 en referencia a una recopilación de hechos e información sobre un estado, fue el alemán Gottfried Achenwall en 1749 quien comenzó a utilizar el término como una recopilación de información cuantitativa, en el uso moderno de esta ciencia. [ 38 ] [ 39 ] El escrito más antiguo que contiene estadísticas en Europa data de 1663, con la publicación de Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality de John Graunt . [ 40 ]

Las primeras aplicaciones del pensamiento estadístico giraban en torno a la necesidad de los estados de basar sus políticas en datos demográficos y económicos, de ahí su etimología estadística . El alcance de la disciplina de la estadística se amplió a principios del siglo XIX para incluir la recopilación y el análisis de datos en general. Hoy en día, la estadística se utiliza ampliamente en el gobierno, las empresas y las ciencias naturales y sociales.

Carl Friedrich Gauss realizó importantes contribuciones a los métodos probabilísticos que condujeron al desarrollo de la estadística.

Los fundamentos matemáticos de la estadística se desarrollaron a partir de discusiones sobre juegos de azar entre matemáticos como Gerolamo Cardano , Blaise Pascal , Pierre de Fermat y Christiaan Huygens . Aunque la idea de probabilidad ya se había examinado en el derecho y la filosofía antiguos y medievales (como en la obra de Juan Caramuel ), la teoría de la probabilidad como disciplina matemática solo tomó forma a finales del siglo XVII, particularmente en la obra póstuma de Jacob Bernoulli, Ars Conjectandi . [ 41 ] Este fue el primer libro donde el ámbito de los juegos de azar y el ámbito de lo probable (que abarcaba la opinión, la evidencia y el argumento) se combinaron y se sometieron al análisis matemático. [ 42 ] El método de mínimos cuadrados fue descrito por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1805, aunque Carl Friedrich Gauss presumiblemente lo utilizó una década antes, en 1795. [ 43 ]

Karl Pearson , uno de los fundadores de la estadística matemática.

Entre las décadas de 1830 y 1850, se fundaron en Europa y América oficinas estadísticas y sociedades estadísticas nacionales, y a mediados del siglo XIX surgió la idea de establecer contactos organizados entre estadísticos de diferentes países, aunque ya existían contactos informales. [ 44 ] En aquella época, el término «estadística» se refería principalmente a asuntos de Estado, y a los estadísticos británicos se les solía llamar «estatistas». [ 45 ]

El científico belga Adolphe Quetelet (1796-1874) introdujo la noción del "hombre promedio" ( l'homme moyen ) como un medio para comprender fenómenos sociales complejos como las tasas de criminalidad , las tasas de matrimonio y las tasas de suicidio . [ 46 ] En 1853, Quetelet organizó en Bruselas el Primer Congreso Internacional de Estadística con el fin de unificar la medición en la investigación estadística. [ 47 ]

El campo moderno de la estadística surgió a finales del siglo XIX y principios del XX en tres etapas. [ 48 ] La primera ola, a principios del siglo XX, fue liderada por el trabajo de Francis Galton y Karl Pearson , quienes transformaron la estadística en una disciplina matemática rigurosa utilizada para el análisis, no solo en la ciencia, sino también en la industria y la política. Las contribuciones de Galton incluyeron la introducción de los conceptos de desviación estándar , correlación , análisis de regresión y la aplicación de estos métodos al estudio de la variedad de características humanas: altura, peso y longitud de las pestañas, entre otras. [ 49 ] Pearson desarrolló el coeficiente de correlación producto-momento de Pearson , definido como un producto-momento, [ 50 ] el método de momentos para el ajuste de distribuciones a muestras y la distribución de Pearson , entre muchas otras cosas. [ 51 ] Galton y Pearson fundaron Biometrika como la primera revista de estadística matemática y bioestadística (entonces llamada biometría ), y este último fundó el primer departamento universitario de estadística del mundo en el University College London . [ 52 ]

La segunda ola de las décadas de 1910 y 1920 fue iniciada por William Sealy Gosset y alcanzó su punto culminante con las ideas de Ronald Fisher , quien escribió los libros de texto que definirían la disciplina académica en universidades de todo el mundo. Las publicaciones más importantes de Fisher fueron su artículo fundamental de 1918, The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance (el primero en utilizar el término estadístico " varianza" ), su obra clásica de 1925, Statistical Methods for Research Workers , y su libro de 1935 , The Design of Experiments , [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ] donde desarrolló modelos rigurosos de diseño de experimentos . Fue el creador de los conceptos de suficiencia , estadística auxiliar , discriminador lineal de Fisher e información de Fisher . [ 56 ] También acuñó el término hipótesis nula durante el experimento de la dama que degustaba té , la cual "nunca se prueba ni se establece, sino que posiblemente se refuta en el curso de la experimentación". [ 57 ] [ 58 ] En su libro de 1930 , La teoría genética de la selección natural , aplicó estadísticas a varios conceptos biológicos como el principio de Fisher [ 59 ] (que AWF Edwards llamó "probablemente el argumento más célebre en biología evolutiva ") y el efecto desbocado de Fisher , [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] un concepto en la selección sexual sobre un efecto desbocado de retroalimentación positiva encontrado en la evolución .

La última oleada, que consistió principalmente en el perfeccionamiento y la expansión de desarrollos anteriores, surgió del trabajo colaborativo entre Egon Pearson y Jerzy Neyman en la década de 1930. Introdujeron los conceptos de error de " Tipo II ", potencia de una prueba e intervalos de confianza . En 1934, Jerzy Neyman demostró que el muestreo aleatorio estratificado era, en general, un mejor método de estimación que el muestreo intencional (por cuotas). [ 66 ]

Entre los primeros intentos de medir la actividad económica nacional se encuentran los de William Petty en el siglo XVII. En el siglo XX se desarrolló el Sistema Uniforme de Cuentas Nacionales . [ 67 ]

Hoy en día, los métodos estadísticos se aplican en todos los campos que implican la toma de decisiones, para realizar inferencias precisas a partir de un conjunto de datos recopilados y para tomar decisiones ante la incertidumbre basándose en la metodología estadística. El uso de ordenadores modernos ha agilizado los cálculos estadísticos a gran escala y también ha posibilitado nuevos métodos que resultan impracticables de realizar manualmente. La estadística sigue siendo un área de investigación activa, por ejemplo, en el problema de cómo analizar grandes volúmenes de datos . [ 68 ]

Aplicaciones

Estadística aplicada, estadística teórica y estadística matemática

La estadística aplicada, a veces denominada ciencia estadística, [ 69 ] comprende la estadística descriptiva y la aplicación de la estadística inferencial. [ 70 ] La estadística teórica se refiere a los argumentos lógicos que justifican los enfoques de la inferencia estadística , y también abarca la estadística matemática . La estadística matemática incluye no solo la manipulación de las distribuciones de probabilidad necesarias para obtener resultados relacionados con los métodos de estimación e inferencia, sino también diversos aspectos de la estadística computacional y el diseño de experimentos .

Los consultores estadísticos pueden ayudar a organizaciones y empresas que no cuentan con experiencia interna relevante para sus preguntas particulares.

Aprendizaje automático y minería de datos

Los modelos de aprendizaje automático son modelos estadísticos y probabilísticos que capturan patrones en los datos mediante el uso de algoritmos computacionales.

Estadística en el ámbito académico

La estadística es aplicable a una amplia variedad de disciplinas académicas , incluidas las ciencias naturales y sociales , el gobierno y los negocios. La estadística empresarial aplica métodos estadísticos en econometría , auditoría y producción y operaciones, incluyendo la mejora de servicios y la investigación de mercados. [ 71 ] Un estudio de dos revistas de biología tropical encontró que las 12 pruebas estadísticas más frecuentes son: análisis de varianza (ANOVA), prueba de chi-cuadrado , prueba t de Student , regresión lineal , coeficiente de correlación de Pearson , prueba U de Mann-Whitney , prueba de Kruskal-Wallis , índice de diversidad de Shannon , prueba de rango de Tukey , análisis de conglomerados , coeficiente de correlación de rangos de Spearman y análisis de componentes principales . [ 72 ]

Un curso típico de estadística abarca estadística descriptiva, probabilidad, distribuciones binomial y normal , prueba de hipótesis e intervalos de confianza, regresión lineal y correlación. [ 73 ] Los cursos modernos de estadística fundamental para estudiantes de pregrado se centran en la selección correcta de pruebas, la interpretación de resultados y el uso de software estadístico gratuito. [ 72 ]

Computación estadística

gretl , un ejemplo de paquete estadístico de código abierto

El rápido y sostenido aumento de la capacidad de cálculo a partir de la segunda mitad del siglo XX ha tenido un impacto sustancial en la práctica de la estadística. Los primeros modelos estadísticos pertenecían casi siempre a la clase de modelos lineales , pero las potentes computadoras, junto con algoritmos numéricos adecuados , provocaron un mayor interés en los modelos no lineales (como las redes neuronales ), así como la creación de nuevos tipos, como los modelos lineales generalizados y los modelos multinivel .

El aumento de la capacidad de procesamiento informático también ha propiciado la creciente popularidad de métodos computacionalmente intensivos basados ​​en el remuestreo , como las pruebas de permutación y el bootstrap , mientras que técnicas como el muestreo de Gibbs han facilitado el uso de modelos bayesianos . La revolución informática tiene implicaciones para el futuro de la estadística, con un nuevo énfasis en la estadística experimental y empírica. Actualmente, existe una gran cantidad de software estadístico, tanto de propósito general como especializado . Algunos ejemplos de software disponible capaz de realizar cálculos estadísticos complejos son programas como Mathematica , SAS , SPSS y R.

Estadísticas empresariales

En el ámbito empresarial, la estadística es una herramienta ampliamente utilizada para la gestión y la toma de decisiones . Se aplica particularmente en la gestión financiera , la gestión de marketing y la gestión de la producción , los servicios y las operaciones . [ 74 ] [ 75 ] La estadística también se utiliza ampliamente en la contabilidad de gestión y la auditoría . La disciplina de la ciencia de la gestión formaliza el uso de la estadística y otras ramas de las matemáticas en los negocios. ( La econometría es la aplicación de métodos estadísticos a datos económicos para dar contenido empírico a las relaciones económicas ).

Un curso típico de "Estadística Empresarial" está dirigido a estudiantes de administración de empresas y abarca [ 76 ] estadística descriptiva ( recopilación , descripción, análisis y resumen de datos), probabilidad (generalmente las distribuciones binomial y normal ), prueba de hipótesis e intervalos de confianza, regresión lineal y correlación; los cursos posteriores pueden incluir pronósticos , series temporales , árboles de decisión , regresión lineal múltiple y otros temas de análisis empresarial en general. Los programas de certificación profesional , como el CFA , suelen incluir temas de estadística.

Disciplinas especializadas

Las técnicas estadísticas se utilizan en una amplia gama de tipos de investigación científica y social, entre las que se incluyen: bioestadística , biología computacional , sociología computacional , biología de redes , ciencias sociales , sociología e investigación social . Algunos campos de investigación utilizan la estadística aplicada de forma tan extensa que cuentan con terminología especializada . Estas disciplinas incluyen:

Además, existen tipos específicos de análisis estadístico que también han desarrollado su propia terminología y metodología especializadas:

La estadística constituye una herramienta fundamental tanto en los negocios como en la industria manufacturera. Se utiliza para comprender la variabilidad de los sistemas de medición, controlar procesos (como en el control estadístico de procesos o SPC), resumir datos y tomar decisiones basadas en datos.

Mal uso

El mal uso de las estadísticas puede producir errores sutiles pero graves en la descripción e interpretación; sutiles en el sentido de que incluso los profesionales experimentados cometen tales errores, y graves en el sentido de que pueden conducir a errores de decisión devastadores. Por ejemplo, las políticas sociales, la práctica médica y la fiabilidad de estructuras como los puentes dependen del uso adecuado de las estadísticas.

Incluso cuando las técnicas estadísticas se aplican correctamente, los resultados pueden ser difíciles de interpretar para quienes carecen de experiencia. La significación estadística de una tendencia en los datos —que mide hasta qué punto una tendencia podría deberse a la variación aleatoria en la muestra— puede o no coincidir con una percepción intuitiva de su significación. El conjunto de habilidades estadísticas básicas (y el escepticismo) que las personas necesitan para manejar la información en su vida cotidiana de manera adecuada se denomina alfabetización estadística .

Existe la percepción general de que el conocimiento estadístico se utiliza con demasiada frecuencia de forma intencionada para interpretar únicamente los datos que favorecen al presentador. [ 77 ] La desconfianza y la incomprensión de la estadística se asocian con la cita: « Hay tres tipos de mentiras: mentiras, malditas mentiras y estadística ». El mal uso de la estadística puede ser tanto inadvertido como intencional, y el libro Cómo mentir con estadística , [ 77 ] de Darrell Huff , describe una serie de consideraciones. En un intento por esclarecer el uso y el mal uso de la estadística, se realizan revisiones de las técnicas estadísticas utilizadas en campos específicos (por ejemplo, Warne, Lazo, Ramos y Ritter (2012)). [ 78 ]

Las formas de evitar el mal uso de las estadísticas incluyen el uso de diagramas adecuados y la evitación de sesgos . [ 79 ] El mal uso puede ocurrir cuando las conclusiones se generalizan en exceso y se afirma que son representativas de más de lo que realmente son, a menudo por pasar por alto, deliberada o inconscientemente, el sesgo de muestreo. [ 80 ] Los gráficos de barras son posiblemente los diagramas más fáciles de usar y comprender, y se pueden hacer a mano o con programas informáticos sencillos. [ 79 ] La mayoría de las personas no buscan sesgos o errores, por lo que no los notan. Por lo tanto, las personas a menudo pueden creer que algo es cierto incluso si no está bien representado . [ 80 ] Para que los datos recopilados de las estadísticas sean creíbles y precisos, la muestra tomada debe ser representativa del todo. [ 81 ] Según Huff, "La confiabilidad de una muestra puede destruirse por [sesgo]... permítase cierto grado de escepticismo". [ 82 ]

Para ayudar a comprender las estadísticas, Huff propuso una serie de preguntas que debían hacerse en cada caso: [ 77 ]

  • ¿Quién lo dice? (¿Tienen algún interés personal en el asunto?)
  • ¿Cómo lo saben? (¿Tienen los recursos para conocer los hechos?)
  • ¿Qué falta? (¿Nos dan una visión completa?)
  • ¿Alguien cambió de tema? (¿Nos están dando la respuesta correcta al problema equivocado?)
  • ¿Tiene sentido? (¿Su conclusión es lógica y coherente con lo que ya sabemos?)

Interpretación errónea: correlación

El problema de la variable de confusión : X e Y pueden estar correlacionadas, no porque exista una relación causal entre ellas, sino porque ambas dependen de una tercera variable Z. Z se denomina factor de confusión .

El concepto de correlación es particularmente relevante por la posible confusión que puede generar. El análisis estadístico de un conjunto de datos a menudo revela que dos variables (propiedades) de la población en estudio tienden a variar juntas, como si estuvieran conectadas. Por ejemplo, un estudio sobre los ingresos anuales que también analiza la edad de fallecimiento podría encontrar que las personas pobres tienden a vivir menos que las personas adineradas. Se dice que las dos variables están correlacionadas; sin embargo, pueden o no ser la causa una de la otra. La correlación podría deberse, en cambio, a un tercer factor, previamente no considerado, denominado variable oculta o variable de confusión . [ 83 ] Por ejemplo, los ingresos más altos pueden tender a permitir más tiempo libre, lo que a su vez permite dedicar más tiempo al ejercicio. Es posible que este mayor nivel de actividad cause la mayor esperanza de vida observada en el grupo más adinerado. Por lo tanto, aumentar los niveles de ingresos no causa por sí solo que las personas vivan más tiempo. Más bien, una variable de confusión es la responsable del aumento.

Por esta razón, la correlación no implica causalidad : no se puede inferir una relación causal entre las dos variables solo a partir de su correlación. [ 84 ]

Véase también

Fundamentos y principales áreas de la estadística

Referencias

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Further reading

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  • (Versión electrónica): TIBCO Software Inc. (2020). Libro de texto de ciencia de datos .
  • Educación estadística en línea: un curso interactivo multimedia . Desarrollado por la Universidad Rice (desarrollador principal), la Universidad de Houston Clear Lake, la Universidad Tufts y la Fundación Nacional de Ciencias.
  • Recursos de computación estadística de UCLA (archivado el 17 de julio de 2006)
  • Filosofía de la estadística de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford