Colector de Stein

En matemáticas, en la teoría de varias variables complejas y variedades complejas , una variedad de Stein es una subvariedad cerrada y compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas . De manera más intrínseca, se puede definir como una variedad compleja que admite una incrustación holomorfa propia en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$para algunos${\displaystyle n}$Fueron introducidos por Karl Stein ( 1951 ) , quien les dio su nombre . Un espacio de Stein es similar a una variedad de Stein, pero puede tener singularidades. Los espacios de Stein son el equivalente a las variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica. 

Suponer${\displaystyle X}$es una variedad compleja de dimensión compleja${\displaystyle n}$y dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$denotemos el anillo de funciones holomorfas en${\displaystyle X.}$Nosotros llamamos${\displaystyle X}$una variedad de Stein si se cumplen las dos condiciones siguientes ^{[ 1 ]} :

• ${\displaystyle X}$es holomorfamente convexa, es decir, para cada subconjunto compacto${\displaystyle K\subset X}$, la llamada envoltura holomorfa (o envoltura de holomorfia) de${\displaystyle K}$,${\displaystyle {\widehat {K}}:=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

es también un subconjunto compacto de${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle X}$es holomorfamente separable, es decir, si${\displaystyle x\neq y}$son dos puntos distintos en${\displaystyle X}$, entonces existe${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$de tal manera que${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Sea X una superficie de Riemann conexa y no compacta . Un teorema profundo de Heinrich Behnke y Stein (1948) afirma que X es una variedad de Stein ^{[ 2 ]} .

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo fibrado vectorial holomorfo , y en particular todo fibrado lineal holomorfo, en esta superficie de Riemann X es trivial. En particular, todo fibrado lineal es trivial. Esto está relacionado con la solución del segundo problema de Cousin .

• El espacio complejo estándar${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es una variedad de Stein.

• Cada dominio de holomorfía en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es una variedad de Stein.
• Cada dominio Fatou-Bieberbach en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es una variedad de Stein.

• Toda subvariedad compleja cerrada de una variedad de Stein es también una variedad de Stein.

• El teorema de incrustación para variedades de Stein establece lo siguiente: Toda variedad de Stein${\displaystyle X}$de dimensión compleja${\displaystyle n}$se puede incrustar en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$mediante una aplicación propia biholomorfa .

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada del espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiente (porque la incrustación es biholomorfa).

• Toda variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un complejo CW n -dimensional.

• En una dimensión compleja, la condición de Stein se puede simplificar: una superficie de Riemann conexa es una variedad de Stein si y solo si no es compacta. Esto se puede demostrar utilizando una versión del teorema de Runge para superficies de Riemann, propuesta por Behnke y Stein.

• Cada Stein múltiple${\displaystyle X}$es holomórficamente propagable, es decir, para cada punto${\displaystyle x\in X}$, hay${\displaystyle n}$funciones holomorfas definidas en todas las${\displaystyle X}$que forman un sistema de coordenadas local cuando se restringe a algún vecindario abierto de${\displaystyle x}$.

• Ser una variedad de Stein es equivalente a ser una variedad fuertemente pseudoconvexa (compleja) . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), es decir, una función real suave.${\displaystyle \psi }$en${\displaystyle X}$(que puede asumirse que es una función Morse ) con${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$, de tal manera que los subconjuntos${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$son compactos en${\displaystyle X}$para cada número real${\displaystyle c}$Este resultado, debido a Grauert ^{[ 3 ]} y generalizado a espacios de Stein por Narasimhan ^{[ 4 ]} , se suele llamar la solución al problema de Levi ^{[ 5 ],} que recibe su nombre de Eugenio Levi (1911). La función${\displaystyle \psi }$invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con frontera llamadas dominios de Stein . Un dominio de Stein es la preimagen${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$Por lo tanto, algunos autores denominan a dichas variedades variedades estrictamente pseudoconvexas.

• En relación con el punto anterior, otra definición equivalente y más topológica en dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie de Stein es una superficie compleja X con una función de Morse de valor real f en X tal que, lejos de los puntos críticos de f , el campo de tangencias complejas a la preimagen${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$es una estructura de contacto que induce una orientación en X _c que coincide con la orientación usual como el límite de${\displaystyle f^{-1}(-\infty,c).}$Eso es,${\displaystyle f^{-1}(-\infty,c)}$es un relleno de Stein de X _c .

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de dichas variedades, en particular aquellas que capturan la propiedad de tener "muchas" funciones holomorfas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de haces . El impulso inicial fue tener una descripción de las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica .

En el conjunto de analogías GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines .

Las variedades de Stein son, en cierto sentido, duales a las variedades elípticas del análisis complejo, las cuales admiten en sí mismas "muchas" funciones holomorfas de los números complejos. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y solo si es fibrante en el sentido de la llamada "teoría de la homotopía holomorfa".

Toda variedad compacta y lisa de dimensión 2 n , que solo tiene asas de índice ≤ n , tiene una estructura de Stein siempre que n > 2, y cuando n = 2 se cumple lo mismo siempre que las 2-asas estén unidas con ciertos marcos (marco menor que el marco de Thurston-Bennequin ). ^{[ 6 ] [ 7 ]} Toda 4-variedad lisa cerrada es una unión de dos 4-variedades de Stein pegadas a lo largo de su frontera común. ^{[ 8 ]}     

Si X es una variedad de Stein, entonces, al incrustarse en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Y dado que la curvatura biseccional holomorfa disminuye en las subvariedades, X tiene una métrica de Kähler de curvatura biseccional holomorfa no positiva. Se sabe que lo contrario es falso: existen ejemplos de variedades proyectivas compactas simplemente conexas (y por lo tanto no de Stein) que admiten una métrica de curvatura biseccional holomorfa no positiva ^{[ 9 ]} . Existe un resultado más débil, debido a Wu en 1967, que afirma que cualquier variedad de Kähler completa simplemente conexa de curvatura seccional no positiva es una variedad de Stein. ^{[ 10 ]}

• Andrist, Rafael (2010). "Espacios de Stein caracterizados por sus endomorfismos" . Transactions of the American Mathematical Society . 363 (5): 2341– 2355. arXiv : 0809.3919 . doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID 14903691 . 
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann surfaces , Graduate Text in Mathematics, vol.  81, Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7(incluyendo una demostración de los teoremas de Behnke-Stein y Grauert-Röhrl)
• Forstnerič, Franc (2011). Colectores Stein y mapeos holomorfos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas. vol.  56.doi : 10.1007 /978-3-642-22250-4 . ISBN 978-3-642-22249-8.
• Hörmander, Lars (1990), Introducción al análisis complejo en varias variables , North-Holland Mathematical Library, vol.  7, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR 1045639 (incluyendo una demostración del teorema de incrustación)
• Gompf, Robert E. (1998), "Construcción de superficies de Stein mediante cuerpos con asas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 148 (2), The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2: 619– 693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005 , ISSN 0003-486X , JSTOR 121005 , MR 1668563 , S2CID 17709531    (definiciones y construcciones de dominios de Stein y variedades en dimensión 4)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Teoría de los espacios de Stein , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  236, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, MR 0580152 
• Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha (2010). "Variedades de Kähler localmente conformes con potencial". Mathematische Annalen . 348 : 25–33 . doi : 10.1007/s00208-009-0463-0 . S2CID 10734808 . 
• Iss'Sa, Hej (1966). "Sobre el campo de funciones meromorfas de una variedad de Stein". Annals of Mathematics . 83 (1): 34– 46. doi : 10.2307/1970468 . JSTOR 1970468 . 
• Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ana. (en alemán), 123 : 201– 222, doi : 10.1007/bf02054949 , MR 0043219 , S2CID 122647212  
• Zhang, Jing (2008). "Variedades algebraicas de Stein". Mathematical Research Letters . 15 (4): 801– 814. arXiv : math/0610886 . doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n4.a16 . MR 2424914 .