El problema cónico de Steiner

En geometría enumerativa , el problema de las cónicas de Steiner consiste en hallar el número de cónicas suaves tangentes a cinco cónicas dadas en el plano en posición general . Si el problema se considera en el plano proyectivo complejo CP ² , la solución correcta es 3264. ^{[ 1 ]} El problema recibe su nombre de Jakob Steiner, quien lo planteó por primera vez y dio una solución incorrecta en 1848. ^{[ 2 ]}

Steiner afirmó que el número de cónicas tangentes a 5 dadas las cónicas en posición general es 7776  =  6 ⁵ , pero más tarde se dio cuenta de que esto era erróneo. ^{[ 3 ]} El número correcto 3264 fue hallado alrededor de 1859 por Ernest de Jonquières, quien no publicó debido a la reputación de Steiner, y por Chasles usando su teoría de características, ^{[ 4 ]} y por Berner en 1865. Sin embargo, estos resultados, como muchos otros en la teoría clásica de la intersección , no parecen haber recibido demostraciones completas hasta el trabajo de Fulton y MacPherson alrededor de 1978. ^{[ 5 ]}

El espacio de cónicas (posiblemente degeneradas) en el plano proyectivo complejo CP ² puede identificarse con el espacio proyectivo complejo CP ⁵ (ya que cada cónica se define mediante un polinomio homogéneo de grado 2 en tres variables, con 6 coeficientes complejos, y multiplicar dicho polinomio por un número complejo distinto de cero no altera la cónica). Steiner observó que las cónicas tangentes a una cónica dada forman una hipersuperficie de grado 6 en CP ⁵ . Por lo tanto, las cónicas tangentes a 5 cónicas dadas corresponden a los puntos de intersección de 5 hipersuperficies de grado 6, y por el teorema de Bézout el número de puntos de intersección de 5 hipersuperficies genéricas de grado 6 es 6 ⁵  =  7776, que fue la solución incorrecta de Steiner. La razón por la que esto es erróneo es que las cinco hipersuperficies de grado 6 no están en posición general y tienen una intersección común en la superficie de Veronese , correspondiente al conjunto de líneas dobles en el plano, todas las cuales tienen puntos de intersección dobles con las 5 cónicas. En particular, la intersección de estas 5 hipersuperficies ni siquiera es 0-dimensional, sino que tiene una componente 2-dimensional. Por lo tanto, para encontrar la respuesta correcta, hay que eliminar de alguna manera el plano de cónicas degeneradas espurias de este cálculo. ^{[ 6 ]}

Una forma de eliminar las cónicas degeneradas es hacer explotar CP ⁵ a lo largo de la superficie de Veronese. ^{[ 7 ]} El anillo de Chow de la explosión es generado por H y E , donde H es la transformada total de un hiperplano y E es el divisor excepcional . La transformada total de una hipersuperficie de grado 6 es 6 H , y Steiner calculó (6 H ) ⁵ = 6 ⁵ P como H ⁵ = P (donde P es la clase de un punto en el anillo de Chow). Sin embargo, el número de cónicas no es (6 H ) ⁵ sino (6 H −2 E ) ⁵ porque la transformada estricta de la hipersuperficie de cónicas tangentes a una cónica dada es 6 H −2 E .

Supongamos que L = 2 H − E es la transformada estricta de las cónicas tangentes a una línea dada. Entonces, los números de intersección de H y L están dados por H ⁵ =1 P , H ⁴ L =2 P , H ³ L ² =4 P , H ² L ³ =4 P , H ¹ L ⁴ =2 P , L ⁵ =1 P . Entonces tenemos (6 H −2 E ) ⁵ = (2 H +2 L ) ⁵ = 3264 P .

Fulton y MacPherson dieron una descripción precisa de lo que significa exactamente "posición general" (aunque sus dos proposiciones al respecto no son del todo correctas y se corrigen en una nota en la página 29 de su artículo). ^{[ 8 ]} Si las cinco cónicas tienen las propiedades que

• No existe ninguna línea tal que cada una de las 5 cónicas sea tangente a ella o pase por uno de dos puntos fijos en ella (de lo contrario, habría una "línea doble con 2 puntos marcados" tangente a las 5 cónicas).
• Ninguna de las tres cónicas pasa por ningún punto (de lo contrario, habría una "doble línea con 2 puntos marcados" tangente a las 5 cónicas que pasaría por este punto de triple intersección).
• Ninguna de las cónicas es tangente a otra.
• Ninguna de las cinco cónicas es tangente a una línea.
• Un par de líneas, cada una tangente a dos de las cónicas, no se intersecan en la quinta cónica (de lo contrario, este par sería una cónica degenerada tangente a las 5 cónicas).

Entonces, el número total de cónicas C tangentes a las 5 (contadas con multiplicidades) es 3264. Aquí, la multiplicidad viene dada por el producto sobre las 5 cónicas C _i de (4 − número de puntos de intersección de C y C _i ). En particular, si C interseca cada una de las cinco cónicas en exactamente 3 puntos (un punto doble de tangencia y otros dos), entonces la multiplicidad es 1, y si esta condición siempre se cumple, entonces hay exactamente 3264 cónicas tangentes a las 5 cónicas dadas.

En otros cuerpos algebraicamente cerrados, la respuesta es similar, a menos que el cuerpo tenga característica 2, en cuyo caso el número de cónicas es 51 en lugar de 3264.

• Ghys, Étienne, TROIS MILLE DEUX CENT SOIXANTE-QUATRE… Comentario Jean-Yves a récemment précisé un théorème de géométrie (en francés)
• Welschinger, Jean-Yves (2006), "ÉNUMÉRATION DE FRACTIONS RATIONNELLES RÉELLES" , Images des Mathématiques