Primera prima de popa

Un primo de Stern , llamado así por Moritz Abraham Stern , es un número primo que no es la suma de un primo menor y el doble del cuadrado de un entero distinto de cero . Es decir, si para un primo q no existe ningún primo menor p y un entero distinto de cero b tal que q  =  p  + 2 b ² , entonces q es un primo de Stern. Los primos de Stern conocidos son

2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977, 1187, 1493 (secuencia A042978 en la OEIS ).

Así, por ejemplo, si tratamos de restar de 137 los primeros cuadrados duplicados en orden, obtenemos {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9}, ninguno de los cuales es primo. Eso significa que 137 es un primo de Stern. Por otro lado, 139 no es un primo de Stern, ya que podemos expresarlo como 137 + 2(1 ² ), o 131 + 2(2 ² ), etc.

De hecho, muchos primos tienen más de una representación de este tipo. Dado un primo gemelo , el primo más grande del par tiene una representación de Goldbach (es decir, una representación como la suma de dos primos) de p  + 2(1 ² ). Si ese primo es el más grande de un cuarteto de primos , p + 8, entonces p  + 2(2 ² ) también es válido. La OEIS de Sloane : A007697 enumera números impares con al menos n representaciones de Goldbach. Leonhard Euler observó que a medida que los números se hacen más grandes, tienen más representaciones de la forma , lo que sugiere que puede haber un número más grande sin tales representaciones; es decir, la lista anterior de primos de Stern podría no solo ser finita, sino completa. Según Jud McCranie, estos son los únicos primos de Stern entre los primeros 100000 primos. Todos los primos de Stern conocidos tienen representaciones de Waring más eficientes de lo que sugerirían sus representaciones de Goldbach. ${\displaystyle p+2b^{2}}$

También existen números de Stern compuestos impares: los únicos conocidos son 5777 y 5993. Goldbach una vez conjeturó incorrectamente que todos los números de Stern son primos. (Ver OEIS : A060003 para los números de Stern impares)

Christian Goldbach conjeturó en una carta a Leonhard Euler que todo entero impar tiene la forma p  + 2 b ² para el entero b y el primo p . Laurent Hodges cree que Stern se interesó en el problema después de leer un libro de correspondencia de Goldbach. En ese momento, 1 se consideraba un primo, por lo que 3 no se consideraba un primo de Stern dada la representación 1 + 2(1 ² ). El resto de la lista permanece igual bajo cualquiera de las dos definiciones.

• Hodges, Laurent (1993). "Una conjetura de Goldbach menos conocida". Revista de Matemáticas . 66 (1): 45–47. doi :10.2307/2690477.