Teorema de Stewart

En geometría , el teorema de Stewart establece una relación entre las longitudes de los lados y la longitud de una ceviana en un triángulo. Su nombre honra al matemático escocés Matthew Stewart , quien publicó el teorema en 1746. ^{[ 1 ]}

Sean a , b , c las longitudes de los lados de un triángulo. Sea d la longitud de una ceviana al lado de longitud a . Si la ceviana divide el lado de longitud a en dos segmentos de longitud m y n , con m adyacente a c y n adyacente a b , entonces el teorema de Stewart establece que $${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$$

Una regla mnemotécnica común que utilizan los estudiantes para memorizar esta ecuación (después de reorganizar los términos) es: $${\displaystyle {\underset {{\text{Un }}hombre{\text{y su }}padre}{hombre\ +\ papá}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{pusieron una }}bomba{\text{en el }}fregadero.}{bmb\ +\ cnc}}}$$

El teorema puede escribirse de forma más simétrica utilizando longitudes de segmentos con signo. Es decir, se toma la longitud AB como positiva o negativa según si A está a la izquierda o a la derecha de B en alguna orientación fija de la línea. En esta formulación, el teorema establece que si A, B, C son puntos colineales y P es cualquier punto, entonces

${\displaystyle \left({\overline {PA}}^{2}\cdot {\overline {BC}}\right)+\left({\overline {PB}}^{2}\cdot {\overline {CA}}\right)+\left({\overline {PC}}^{2}\cdot {\overline {AB}}\right)+\left({\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}\right)=0.}$^{[ 2 ]}

En el caso especial en que la ceviana es una mediana (es decir, divide el lado opuesto en dos segmentos de igual longitud), el resultado se conoce como el teorema de Apolonio .

El teorema puede demostrarse como una aplicación de la ley de los cosenos . ^{[ 3 ]}

Sea θ el ángulo entre m y d y θ' el ángulo entre n y d . Entonces θ' es el suplemento de θ , y por lo tanto cos θ' = −cos θ . Aplicando la ley de los cosenos en los dos triángulos pequeños usando los ángulos θ y θ' se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta ,\\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Multiplicando la primera ecuación por n y la tercera ecuación por m y sumándolas se elimina cos θ . Se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}}$$ que es la ecuación requerida.

Alternativamente, el teorema se puede demostrar trazando una perpendicular desde el vértice del triángulo hasta la base y utilizando el teorema de Pitágoras para expresar las distancias b , c , d en función de la altura. Los miembros izquierdo y derecho de la ecuación se reducen entonces algebraicamente a la misma expresión. ^{[ 2 ]}

Según Hutton y Gregory (1843 , p. 220) , Stewart publicó el resultado en 1746 cuando era candidato a reemplazar a Colin Maclaurin como profesor de matemáticas en la Universidad de Edimburgo. Coxeter y Greitzer (1967 , p. 6) afirman que Arquímedes probablemente conocía el resultado alrededor del año 300 a. C. Continúan diciendo (erróneamente) que la primera demostración conocida fue proporcionada por R. Simson en 1751. Hutton y Gregory (1843) afirman que el resultado fue utilizado por Simson en 1748 y por Simpson en 1752, y su primera aparición en Europa fue dada por Lazare Carnot en 1803.

• Geometría del punto de masa

• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , New Mathematical Library #19, The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-619-0
• Hutton, C.; Gregory, O. (1843), Un curso de matemáticas , vol.  II, Longman, Orme & Co.
• Russell, John Wellesley (1905), "Capítulo 1 §3: Teorema de Stewart", Geometría pura , Clarendon Press, OCLC 5259132 

• IS Amarasinghe, Soluciones al problema 43.3 : Teorema de Stewart ( Una nueva demostración del teorema de Stewart utilizando el teorema de Ptolomeo ), Mathematical Spectrum , vol. 43(03) , págs.  138-139, 2011.
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometría por su historia , Springer, pág.  112, ISBN 978-3-642-29162-3

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Stewart" . MathWorld .
• El teorema de Stewart en PlanetMath .