Teorema de Stickelberger

En matemáticas , el teorema de Stickelberger es un resultado de la teoría algebraica de números que proporciona información sobre la estructura de módulos de Galois de los grupos de clases de cuerpos ciclotómicos . Un caso particular fue demostrado por primera vez por Ernst Kummer ( 1847 ), mientras que el resultado general se debe a Ludwig Stickelberger ( 1890 ). ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle K_{m}}$denotan el${\displaystyle m}$el campo ciclotómico , es decir, la extensión de los números racionales obtenida al adjuntar el${\displaystyle m}$las raíces de la unidad a${\displaystyle \mathbb {Q} }$(dónde${\displaystyle m\geq 2}$es un número entero). Es una extensión de Galois de${\displaystyle \mathbb {Q} }$con el grupo Galois${\displaystyle G_{m}}$isomorfo al grupo multiplicativo de enteros módulo m${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$. El elemento Stickelberger (de nivel${\displaystyle m}$o de${\displaystyle K_{m}}$) es un elemento en el anillo de grupo${\displaystyle \mathbb {Q} [G_{m}]}$y el ideal de Stickelberger (de nivel)${\displaystyle m}$o de${\displaystyle K_{m}}$) es un ideal en el anillo del grupo${\displaystyle \mathbb {Z} [G_ {m}]}$Se definen de la siguiente manera. Sea${\displaystyle \zeta _{m}}$denota un primitivo${\displaystyle m}$raíz enésima de la unidad. El isomorfismo de${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$a${\displaystyle G_{m}}$se da enviando un elemento${\displaystyle a}$a${\displaystyle \sigma _{a}}$definido por la relación $${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a}.}$$ El elemento Stickelberger de nivel${\displaystyle m}$se define como $${\displaystyle \theta (K_{m})={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\sum _{a=1}^{m}}}a\cdot \sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{m}].}$$ El ideal de Stickelberger de nivel${\displaystyle m}$, denotado${\displaystyle I(K_{m})}$, es el conjunto de múltiplos enteros de${\displaystyle \theta (K_{m})}$que tienen coeficientes enteros, es decir $${\displaystyle I(K_{m})=\theta (K_{m})\mathbb {Z} [G_{m}]\cap \mathbb {Z} [G_{m}].}$$

En términos más generales, si${\displaystyle F}$sea ​​cualquier campo numérico abeliano cuyo grupo de Galois sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$se denota${\displaystyle G_{F}}$, luego el elemento Stickelberger de${\displaystyle F}$y el ideal de Stickelberger de${\displaystyle F}$se puede definir. Por el teorema de Kronecker-Weber existe un entero${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle F}$está contenido en${\displaystyle K_{m}}$Fijar lo menos posible${\displaystyle m}$(esta es la (parte finita del) conductor de${\displaystyle F}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$). Existe un homomorfismo de grupo natural${\displaystyle G_{m}\to G_{F}}$dado por restricción, es decir si${\displaystyle \sigma _{\in }G_{m}}$, su imagen en${\displaystyle G_{F}}$es su restricción a${\displaystyle F}$denotado${\displaystyle \operatorname {res} _{m}\sigma }$. El elemento Stickelberger de${\displaystyle F}$entonces se define como $${\displaystyle \theta (F)={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\sum _{a=1}^{m}}}a\cdot \mathrm {res} _{m}\sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{F}].}$$ El ideal de Stickelberger de${\displaystyle F}$, denotado${\displaystyle I(F)}$, se define como en el caso de${\displaystyle K_{m}}$, es decir $${\displaystyle I(F)=\theta (F)\mathbb {Z} [G_{F}]\cap \mathbb {Z} [G_{F}].}$$

En el caso especial donde${\displaystyle F=K_{m}}$el ideal de Stickelberger${\displaystyle I(K_{m})}$es generado por${\displaystyle (a-\sigma _{a})\theta (K_{m})}$como${\displaystyle a}$varía a lo largo de${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$Esto no es cierto para lo general.${\displaystyle F}$. ^{[ 2 ]}

Teorema de Stickelberger ^{[ 4 ]} Sea${\displaystyle F}$sea ​​un cuerpo numérico abeliano. Entonces, el ideal de Stickelberger de${\displaystyle F}$aniquila al grupo de clase de${\displaystyle F}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \theta (F)}$en sí mismo no tiene por qué ser un aniquilador, pero cualquier múltiplo de él en${\displaystyle \mathbb {Z} [G_ {F}]}$es.

Explícitamente, el teorema dice que si${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} [G_{F}]}$es tal que $${\displaystyle \alpha \theta (F)=\sum _{\sigma \in G_{F}}a_{\sigma }\sigma \in \mathbb {Z} [G_{F}]}$$ y si${\displaystyle J}$es cualquier ideal fraccional de${\displaystyle F}$, entonces $${\displaystyle \prod _{\sigma \in G_{F}}\sigma \left(J^{a_{\sigma }}\right)}$$ es un ideal principal .

• Fórmula de Gross-Koblitz
• Teorema de Herbrand-Ribet
• Teorema de Thaine
• Jacobi sum
• suma de Gauss

• Cohen, Henri (2007). Teoría de números – Volumen I: Herramientas y ecuaciones diofánticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  239. Springer-Verlag . pp. 150–170 . ISBN  978-0-387-49922-2. Zbl 1119.11001 . 
• Boas Erez, Darstellungen von Gruppen in der Algebraischen Zahlentheorie: eine Einführung
• Fröhlich, A. (1977). «Stickelberger sin sumas de Gauss». En Fröhlich, A. (ed.). Campos numéricos algebraicos, Actas del Simposio de la Sociedad Matemática de Londres, Universidad de Durham , 1975. Academic Press. pp. 589–607 . ISBN  0-12-268960-7. Zbl 0376.12002 . 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría moderna de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  84 (2.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 . ISBN 978-1-4419-3094-1. MR 1070716 . 
• Kummer, Ernst (1847), "Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1847 (35): 327– 367, doi : 10.1515/crll.1847.35.327 , S2CID 123230326 
• Stickelberger, Ludwig (1890), "Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung" , Mathematische Annalen , 37 (3): 321– 367, doi : 10.1007/bf01721360 , JFM 22.0100.01 , MR 1510649 , S2CID 121239748   
• Washington, Lawrence (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  83 (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575 

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