Conductor (teoría del campo de clases)

En la teoría algebraica de números , el conductor de una extensión abeliana finita de campos locales o globales proporciona una medida cuantitativa de la ramificación en la extensión. La definición del conductor está relacionada con el mapa de Artin .

Conductor local

Sea L / K una extensión abeliana finita de campos locales no arquimedianos . El conductor de L / K , denotado ${\mathfrak {f}}(L/K)$ es el entero no negativo más pequeño n tal que el grupo de unidades superior

U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}

está contenido en N _{L / K} ( L ^× ), donde N _{L / K} es el mapa de norma de campo y ${\mathfrak {m}}_{K}$ es el ideal maximal de K. ^{[ 1} ] Equivalentemente, n es el entero más pequeño tal que el mapa ^de Artin local es trivial en $U_{K}^{(n)}$ . A veces, el conductor se define como ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ donde n es como se indicó anteriormente. ^{[ 2 ]}

El conductor de una extensión mide la ramificación. Cualitativamente, la extensión no está ramificada si y solo si el conductor es cero, ^{[ 3 ]} y está dócilmente ramificada si y solo si el conductor es 1. ^{[ 4 ]} Más precisamente, el conductor calcula la no trivialidad de los grupos de ramificación superior : si s es el mayor entero para el cual el grupo de ramificación superior de " menor numeración " G _s no es trivial, entonces ${\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _ {L/K}(s)+1$ , donde η _{L / K} es la función que traduce de "numeración inferior" a " numeración superior " de grupos de ramificación superior. ^{[ 5 ]}

El conductor de L / K también está relacionado con los conductores de Artin de caracteres del grupo de Galois Gal( L / K ). Específicamente, ^{[ 6 ]}

{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}

donde χ varía sobre todos los caracteres complejos multiplicativos de Gal( L / K ), ${\mathfrak {f}}_{\chi}$ es el conductor de Artin de χ, y mcm es el mínimo común múltiplo .

Campos más generales

El conductor puede definirse de la misma manera para L / K una extensión de Galois finita no necesariamente abeliana de campos locales. ^{[ 7 ]} Sin embargo, solo depende de L ^ab / K , la extensión abeliana máxima de K en L , debido al "teorema de limitación de la norma", que establece que, en esta situación, ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).

Además, el conductor puede definirse cuando se permite que L y K sean ligeramente más generales que locales, es decir, si son campos valuados completos con campo residual cuasifinito . ^{[ 10 ]}

campos arquimedianos

Principalmente por el bien de los conductores globales, el conductor de la extensión trivial R / R se define como 0, y el conductor de la extensión C / R se define como 1. ^{[ 11 ]}

Director de orquesta global

Campos de números algebraicos

El conductor de una extensión abeliana L / K de cuerpos numéricos puede definirse, de forma similar al caso local, utilizando el mapa de Artin. Específicamente, sea θ : I ^m → Gal( L / K ) el mapa de Artin global donde el módulo m es un módulo definitorio para L / K ; decimos que la reciprocidad de Artin se cumple para m si θ se factoriza a través del grupo de clases de rayos módulo m . Definimos el conductor de L / K , denotado ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , ser el máximo común divisor de todos los módulos para los que se cumple la reciprocidad; de hecho, la reciprocidad se cumple para ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , por lo tanto, es el módulo más pequeño de este tipo. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Ejemplo

Tomando como base el cuerpo de los números racionales, el teorema de Kronecker-Weber establece que un cuerpo de números algebraicos K es abeliano sobre Q si y solo si es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico. $\mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)$ , dónde $\zeta _{n}$ denota una raíz n- ésima primitiva de la unidad. ^{[ 15 ]} Si n es el entero más pequeño para el cual esto se cumple, el conductor de K es entonces n si K está fijado por conjugación compleja y $n\infty$ de lo contrario.
Sea L / K $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ donde d es un entero libre de cuadrados . Entonces, ^{[ 16 ]}
${\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}$

dónde

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

es el discriminante de

\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}

.

Relación con los conductores locales y sus ramificaciones

El conductor global es el producto de conductores locales: ^{[ 17 ]}

{\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.

Como consecuencia, un primo finito se ramifica en L / K si, y solo si, divide a ${\mathfrak {f}}(L/K)$ . ^{[ 18 ]} Un número primo infinito v aparece en el conductor si, y solo si, v es real y se vuelve complejo en L .

Notas

↑ Serre 1967 , §4.2
↑ Como en Neukirch 1999 , definición V.1.6
↑ Neukirch 1999 , propuesta V.1.7
↑ Milne 2008 , I.1.9
↑ Serre 1967 , §4.2, proposición 1
↑ Artin y Tate 2009 , corolario del teorema XI.14, pág. 100
↑ Como en Serre 1967 , §4.2
↑ Serre 1967 , §2.5, proposición 4
↑ Milne 2008 , teorema III.3.5
↑ Como en Artin & Tate 2009 , §XI.4 . Esta es la situación en la que funciona el formalismo de la teoría de campos de clases locales .
↑ Cohen 2000 , definición 3.4.1
↑ Milne 2008 , observación V.3.8
↑ Janusz 1973 , págs. 158, 168-169
↑ Algunos autores omiten los lugares infinitos del director, por ejemplo Neukirch 1999 , §VI.6
↑ Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría moderna de números . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (Segunda ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
↑ Milne 2008 , ejemplo V.3.11
↑ Para la parte finita Neukirch 1999 , proposición VI.6.5 , y para la parte infinita Cohen 2000 , definición 3.4.1
↑ Neukirch 1999 , corolario VI.6.6

Referencias

Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], Teoría de campos de clases , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155
Cohen, Henri (2000), Temas avanzados en teoría computacional de números , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 193, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
Janusz, Gerald (1973), Campos numéricos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001
Milne, James (2008), Teoría de campos de clases ( ed. v4.0) , consultado el 22 de febrero de 2010.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Serre, Jean-Pierre (1967), «Teoría local de cuerpos de clases», en Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números, Actas de una conferencia didáctica en la Universidad de Sussex, Brighton, 1965 , Londres: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701

[1] Serre 1967 , §4.2

[2] Como en Neukirch 1999 , definición V.1.6

[3] Neukirch 1999 , propuesta V.1.7

[4] Milne 2008 , I.1.9

[5] Serre 1967 , §4.2, proposición 1

[6] Artin y Tate 2009 , corolario del teorema XI.14, pág. 100

[7] Como en Serre 1967 , §4.2

[8] Serre 1967 , §2.5, proposición 4

[9] Milne 2008 , teorema III.3.5

[10] Como en Artin & Tate 2009 , §XI.4 . Esta es la situación en la que funciona el formalismo de la teoría de campos de clases locales .

[11] Cohen 2000 , definición 3.4.1

[12] Milne 2008 , observación V.3.8

[13] Janusz 1973 , págs. 158, 168-169

[14] Algunos autores omiten los lugares infinitos del director, por ejemplo Neukirch 1999 , §VI.6

[15] Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría moderna de números . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (Segunda ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .

[16] Milne 2008 , ejemplo V.3.11

[17] Para la parte finita Neukirch 1999 , proposición VI.6.5 , y para la parte infinita Cohen 2000 , definición 3.4.1

[18] Neukirch 1999 , corolario VI.6.6

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