Método lagrangiano euleriano estocástico

En dinámica de fluidos computacional , el Método Estocástico Euleriano-Lagrangiano (SELM) ^{[ 1 ]} es un enfoque para capturar características esenciales de las interacciones fluido-estructura sujetas a fluctuaciones térmicas , introduciendo aproximaciones que facilitan el análisis y el desarrollo de métodos numéricos manejables. SELM es un enfoque híbrido que utiliza una descripción euleriana para los campos hidrodinámicos continuos y una descripción lagrangiana para las estructuras elásticas. Las fluctuaciones térmicas se introducen mediante campos de excitación estocásticos. También se introducen enfoques para los campos estocásticos de las EDP estocásticas para obtener métodos numéricos que tengan en cuenta los artefactos de discretización numérica para mantener principios estadísticos, como el equilibrio fluctuación-disipación y otras propiedades de la mecánica estadística . ^{[ 1 ]}

Las ecuaciones de fluido-estructura SELM que se utilizan habitualmente son:

${\displaystyle \rho {\frac {d{u}}{d{t}}}=\mu \,\Delta u-\nabla p+\Lambda [\Upsilon (V-\Gamma {u})]+\lambda +f_{\mathrm {thm} }(x,t)}$

${\displaystyle m{\frac {d{V}}{d{t}}}=-\Upsilon (V-\Gamma {u})-\nabla \Phi [X]+\xi +F_{\mathrm {thm} }}$

${\displaystyle {\frac {d{X}}{d{t}}}=V.}$

La presión p está determinada por la condición de incompresibilidad del fluido.

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.\,}$

El${\displaystyle \Gamma,\Lambda}$Los operadores acoplan los grados de libertad eulerianos y lagrangianos.${\displaystyle X,V}$denotan los vectores compuestos del conjunto completo de coordenadas lagrangianas para las estructuras.${\displaystyle \Phi }$es la energía potencial para una configuración de las estructuras.${\displaystyle f_{\mathrm {thm} },F_{\mathrm {thm} }}$son campos impulsores estocásticos que dan cuenta de las fluctuaciones térmicas.${\displaystyle \lambda ,\xi }$son multiplicadores de Lagrange que imponen restricciones, como deformaciones locales de cuerpos rígidos . Para asegurar que la disipación ocurra solo a través de la${\displaystyle \Upsilon }$acoplamiento y no como consecuencia de la interconversión por los operadores${\displaystyle \Gamma,\Lambda}$Se imponen las siguientes condiciones adjuntas

${\displaystyle \Gamma =\Lambda ^{T}.}$

Las fluctuaciones térmicas se introducen a través de campos aleatorios gaussianos con media cero y la estructura de covarianza.

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)f_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-\left(2k_{B}{T}\right)\left(\mu \Delta -\Lambda \Upsilon \Gamma \right)\delta (ts).}$

${\displaystyle \langle F_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =2k_{B}{T}\Upsilon \delta (ts).}$

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-2k_{B}{T}\Lambda \Upsilon \delta (ts).}$

Para obtener descripciones simplificadas y métodos numéricos eficientes, se han considerado aproximaciones en diversos regímenes físicos límite para eliminar la dinámica en escalas de tiempo pequeñas o grados de libertad inerciales. En diferentes regímenes límite, el marco SELM puede relacionarse con el método de frontera inmersa , la dinámica estokesiana acelerada y el método lagrangiano-euleriano arbitrario . Se ha demostrado que el enfoque SELM produce una dinámica estocástica fluido-estructura consistente con la mecánica estadística. En particular, se ha demostrado que la dinámica SELM satisface el balance detallado para el ensamble de Gibbs-Boltzmann . También se han introducido diferentes tipos de operadores de acoplamiento que permiten descripciones de estructuras que involucran coordenadas generalizadas y grados de libertad traslacionales o rotacionales adicionales. Para la discretización numérica de las SPDE SELM, también se introdujeron métodos generales para derivar campos estocásticos numéricos para SPDE que tienen en cuenta los artefactos de discretización para mantener principios estadísticos, como el equilibrio fluctuación-disipación y otras propiedades de la mecánica estadística. ^{[ 1 ]}

Los métodos SELM se han utilizado para simulaciones de fluidos viscoelásticos y materiales blandos, ^{[ 2 ]} inclusiones de partículas dentro de interfaces de fluidos curvas ^{[ 3 ] [ 4 ]} y otros sistemas microscópicos y dispositivos de ingeniería. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• Método de contorno inmerso
• dinámica estokesiana
• Método del volumen de fluido
• Método de conjunto de niveles
• Método de marcadores y células

• Mango-Selm  : Métodos estocásticos eulerianos, lagrangianos y de contorno inmerso, paquete de simulación 3D (interfaz Python, integración con LAMMPS MD), P. Atzberger, UCSB