Evolución de Schramm-Loewner

En teoría de la probabilidad , la evolución de Schramm-Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner ( SLE _κ ), es una familia de curvas planas aleatorias que se ha demostrado que son el límite de escala de una variedad de modelos de red bidimensionales en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio U en el plano complejo , da una familia de curvas aleatorias en U , donde κ controla cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de SLE: SLE cordal , que da una familia de curvas aleatorias desde dos puntos fijos de frontera, y SLE radial , que da una familia de curvas aleatorias desde un punto fijo de frontera hasta un punto fijo interior. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de Markov de dominio .

Fue descubierto por Oded Schramm ( 2000 ) como un límite de escala conjeturado del árbol de expansión uniforme planar (UST) y los procesos probabilísticos de caminata aleatoria con bucles borrados planar (LERW), y desarrollado por él junto con Greg Lawler y Wendelin Werner en una serie de artículos conjuntos. 

Además de UST y LERW, se conjetura o se demuestra que la evolución de Schramm-Loewner describe el límite de escala de varios procesos estocásticos en el plano, como la percolación crítica , el modelo de Ising crítico , el modelo de doble dímero , los paseos autoevitantes y otros modelos críticos de mecánica estadística que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias que no se autointersecan en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y una cierta propiedad de Markov inherente a dichos procesos estocásticos permiten codificar estas curvas planas en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner). De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planos pueden traducirse en ejercicios de cálculo de Itô . De hecho, varias predicciones matemáticamente no rigurosas realizadas por físicos que utilizan la teoría de campos conformes se han demostrado utilizando esta estrategia.

Si${\displaystyle D}$es un dominio complejo abierto y simplemente conexo que no es igual a${\displaystyle \mathbb {C} }$, y${\displaystyle \gamma }$es una curva simple en${\displaystyle D}$comenzando en el límite (una función continua con${\displaystyle \gamma (0)}$en el límite de${\displaystyle D}$y${\displaystyle \gamma ((0,\infty ))}$un subconjunto de${\displaystyle D}$), luego para cada uno${\displaystyle t\geq 0}$, el complemento${\displaystyle D_{t}=D\smallsetminus \gamma ([0,t])}$ de${\displaystyle \gamma ([0,t])}$está simplemente conectado y, por lo tanto , conformemente isomorfo a${\displaystyle D}$por el teorema de mapeo de Riemann . Si${\displaystyle f_{t}}$es un isomorfismo normalizado adecuado de${\displaystyle D}$a${\displaystyle D_{t}}$, entonces satisface una ecuación diferencial hallada por Loewner (1923 , p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente utilizar la función inversa.${\displaystyle g_{t}}$de${\displaystyle f_{t}}$, que es una aplicación conforme de${\displaystyle D_{t}}$a${\displaystyle D}$.

En la ecuación de Loewner,${\displaystyle z\in D}$,${\displaystyle t\geq 0}$y los valores límite en el tiempo${\displaystyle t=0}$son${\displaystyle f_{0}(z)=z}$o ${\displaystyle g_{0}(z)=z}$La ecuación depende de una función impulsora .${\displaystyle \zeta (t)}$tomando valores en el límite de${\displaystyle D}$. Si${\displaystyle D}$ es el disco unitario y la curva${\displaystyle \gamma }$Si se parametriza mediante "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$ o ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

Cuando${\displaystyle D}$es el semiplano superior la ecuación de Loewner difiere de esto por cambios de variable y es

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}}$ o ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

La función de conducción${\displaystyle \zeta }$y la curva${\displaystyle \gamma }$están relacionados por

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ or }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

dónde${\displaystyle f_{t}}$y${\displaystyle g_{t}}$se extienden por continuidad.

La evolución de Schramm-Loewner es la curva aleatoria γ dada por la ecuación de Loewner como en la sección anterior, para la función impulsora.

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

donde B ( t ) es el movimiento browniano en el límite de D , escalado por algún κ real . En otras palabras, la evolución de Schramm-Loewner es una medida de probabilidad en curvas planas, dada como la imagen de la medida de Wiener bajo este mapa.

En general, la curva γ no tiene por qué ser simple, y el dominio D _t no es el complemento de γ ([0, t ]) en D , sino que es en cambio el componente no acotado del complemento.

Existen dos versiones de SLE, que utilizan dos familias de curvas, cada una de las cuales depende de un parámetro real no negativo κ :

• SLE cordal _κ , que está relacionado con curvas que conectan dos puntos en el límite de un dominio (generalmente el semiplano superior, con los puntos siendo 0 e infinito).
• SLE radial _κ , que está relacionado con las curvas que unen un punto en el límite de un dominio con un punto en el interior (a menudo curvas que unen 1 y 0 en el disco unitario).

La SLE depende de la elección del movimiento browniano en el límite del dominio, y existen varias variaciones según el tipo de movimiento browniano utilizado: por ejemplo, puede comenzar en un punto fijo, en un punto distribuido uniformemente en el círculo unitario, o puede tener una deriva inherente, etc. El parámetro κ controla la tasa de difusión del movimiento browniano, y el comportamiento de la SLE depende críticamente de su valor.

Los dos dominios más utilizados en la evolución de Schramm-Loewner son el semiplano superior y el disco unitario. Si bien la ecuación diferencial de Loewner en estos dos casos parece diferente, son equivalentes salvo por cambios de variables, ya que el disco unitario y el semiplano superior son conformemente equivalentes. Sin embargo, esta equivalencia conforme no preserva el movimiento browniano en sus fronteras, que es el que impulsa la evolución de Schramm-Loewner.

De Castro et al. ^{[ 1 ]} observaron que el problema de percolación bidimensional puede verse como si ocurriera en un paisaje con correlaciones de altura-altura de largo alcance determinadas por el exponente de Hurst H, y el perímetro exterior del grupo de percolación para superficies correlacionadas resulta ser estadísticamente equivalente a las curvas SLE para H∈[-1,0].

Sin embargo, de Castro et al. no proporcionan una expresión explícita para κ en términos de H. En el trabajo de Ivan Gordeev y Elizabeth Sosnovskaya (Orlova), ^{[ 2 ]} se muestra que la dependencia del parámetro SLE κ del exponente de Hurst H se puede derivar fácilmente:

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}4-{8 \over 3}H,&{\text{for }}H\in [-{3 \over 4},0]\\6,&{\text{for }}H\in [-1,-{3 \over 4}]\end{cases}}.}$

• Para 0  ≤ κ < 4 la curva γ( t ) es simple (con probabilidad 1).   
• Para 4  < κ < 8 la curva γ( t ) se interseca a sí misma y cada punto está contenido en un bucle, pero la curva no llena el espacio (con probabilidad 1).   
• Para κ  ≥  8 la curva γ( t ) es de relleno espacial (con probabilidad 1).
• κ  =  2 corresponde al paseo aleatorio sin bucles , o equivalentemente, a las ramas del árbol de expansión uniforme.
• Para κ  =  8/3, SLE _κ tiene la propiedad de restricción y se conjetura que es el límite de escala de caminatas aleatorias autoevitantes . Una versión de esto es el límite exterior del movimiento browniano .
• κ  =  3 es el límite de interfaces para el modelo de Ising .
• κ  =  4 corresponde a la trayectoria del explorador armónico y a las líneas de contorno del campo libre gaussiano .
• Interfaz de percolación: Crea un rombo formado por hexágonos de igual tamaño en el plano. Colorea su lado superior e izquierdo de negro, y el lado inferior y derecho de blanco. Luego, colorea los demás hexágonos de blanco o negro independientemente con igual probabilidad de 1/2. Existe un límite entre el negro y el blanco, que va desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. El límite de escala de este límite es κ  =  6.
• Para κ  =  6, SLE _κ posee la propiedad de localidad. Esto surge en el límite de escala de la percolación crítica en la red triangular y, conjeturadamente, en otras redes.
• κ  =  8 corresponde al camino que separa el árbol de expansión uniforme de su árbol dual.

Cuando SLE corresponde a alguna teoría de campos conformes, el parámetro κ está relacionado con la carga central c de la teoría de campos conformes mediante

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Cada valor de c  <  1 corresponde a dos valores de κ , un valor κ entre 0 y 4, y un valor "dual" 16/ κ mayor que 4. (véase Bauer y Bernard (2002a) Bauer y Bernard (2002b) )

Beffara (2008) demostró que la dimensión de Hausdorff de los caminos (con probabilidad 1) es igual a min(2,  1  + κ /8). 

La probabilidad de que SLE cordal _κ γ esté a la izquierda del punto fijo${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$fue calculado por Schramm (2001a) ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right)}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función Gamma y${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$es la función hipergeométrica . Esta se derivó utilizando la propiedad de martingala de

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$

y el lema de Itô para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial para${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$

Para κ = 4, el lado derecho es${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$, que se utilizó en la construcción del explorador armónico, ^{[ 4 ]} y para κ = 6, obtenemos la fórmula de Cardy, que fue utilizada por Smirnov para demostrar la invariancia conforme en la percolación . ^{[ 5 ]}

Lawler, Schramm y Werner (2001b) utilizaron SLE ₆ para demostrar la conjetura de Mandelbrot (1982) de que el límite del movimiento browniano planar tiene dimensión fractal 4/3.

Stanislav Smirnov demostró que la percolación crítica en la red triangular está relacionada con SLE _6. ^{[ 6} ] En combinación con trabajos anteriores de Harry Kesten , ^{[ 7 ]} esto condujo a la determinación de muchos de los exponentes críticos para ^la percolación. ^{[ 8 ]} Este avance, a su vez, permitió un análisis más profundo de muchos aspectos de este modelo. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Lawler, Schramm y Werner demostraron que el paseo aleatorio sin bucles converge a SLE _2. ^{[ 11 ]} Esto permitió derivar muchas propiedades cuantitativas del paseo aleatorio sin bucles (algunas de las cuales fueron derivadas previamente por Richard Kenyon ^{[ 12 ]} ). Se demostró que la curva de Peano aleatoria relacionada, que describe el árbol de expansión uniforme, converge a SLE _8. ^{[ 11 ]}

Rohde y Schramm demostraron que κ está relacionado con la dimensión fractal de una curva mediante la siguiente relación.

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

En este repositorio de GitHub se presentan programas informáticos (Matlab) para simular las curvas planas de la evolución de Schramm-Loewner.

• Lawler; Schramm; Werner (2001), Tutorial: SLE , Lawrence Hall of Science , Universidad de California, Berkeley{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace ) (vídeo de la conferencia de MSRI)
• Schramm, Oded (2001), Límites de escalamiento invariantes conformes y SLE , MSRI(Diapositivas de una presentación.)