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Ecuación diferencial parcial estocástica

Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas ( EDPE ) generalizan las ecuaciones diferenciales parciales mediante términos de fuerza aleatorios y coeficientes, del mismo ...

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Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas ( EDPE ) generalizan las ecuaciones diferenciales parciales mediante términos de fuerza aleatorios y coeficientes, del mismo modo que las ecuaciones diferenciales estocásticas ordinarias generalizan las ecuaciones diferenciales ordinarias .

Tienen relevancia para la teoría cuántica de campos , la mecánica estadística y el modelado espacial . [ 1 ] [ 2 ]

Ejemplos

Una de las SPDE más estudiadas es la ecuación estocástica del calor , [ 3 ] que puede escribirse formalmente como

∂ttú=Δtú+ξ,{\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}

dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el laplaciano yξ{\displaystyle \xi }denota ruido blanco espacio-temporal . Otros ejemplos también incluyen versiones estocásticas de ecuaciones lineales famosas, como la ecuación de onda [ 4 ] y la ecuación de Schrödinger . [ 5 ]

Discusión

Una dificultad radica en su falta de regularidad. En un espacio unidimensional, las soluciones de la ecuación estocástica del calor son solo aproximadamente 1/2 Hölder continuas en el espacio y 1/4 Hölder continuas en el tiempo. Para dimensiones dos o superiores, las soluciones ni siquiera son funciones, sino que pueden interpretarse como distribuciones aleatorias .

Para ecuaciones lineales, normalmente se puede encontrar una solución suave mediante técnicas de semigrupos . [ 6 ]

Sin embargo, comienzan a surgir problemas al considerar ecuaciones no lineales. Por ejemplo

∂ttú=Δtú+PAG(tú)+ξ,{\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}

dóndePAG{\displaystyle P}es un polinomio. En este caso, ni siquiera está claro cómo se debe interpretar la ecuación. Dicha ecuación tampoco tendrá una solución con valores de función en dimensión mayor que uno, y por lo tanto, no tendrá significado puntual. Es bien sabido que el espacio de distribuciones no tiene estructura de producto. Este es el problema central de dicha teoría. Esto lleva a la necesidad de alguna forma de renormalización .

Un primer intento de sortear estos problemas para ciertas ecuaciones específicas fue el llamado truco de da Prato-Debussche, que consistía en estudiar dichas ecuaciones no lineales como perturbaciones de ecuaciones lineales. [ 7 ] Sin embargo, esto solo puede utilizarse en contextos muy restrictivos, ya que depende tanto del factor no lineal como de la regularidad del término de ruido impulsor. En los últimos años, el campo se ha expandido drásticamente y ahora existe una amplia gama de herramientas para garantizar la existencia local de diversas SPDE subcríticas . [ 8 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Prévôt, Claudia; Röckner, Michael (2007). Un curso conciso sobre ecuaciones diferenciales parciales estocásticas . Notas de clase en matemáticas. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6.
  2. ^ Krainski, Elías T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, finlandés; Rue, Håvard (2018). Modelado espacial avanzado con ecuaciones diferenciales parciales estocásticas utilizando R e INLA . Boca Ratón, FL: Chapman y Hall/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6.
  3. ↑ Edwards, SF; Wilkinson, DR (1982-05-08). "The Surface Statistics of a Granular Aggregate" . Proc. R. Soc. Lond. A. 381 ( 1780): 17–31 . Bibcode : 1982RSPSA.381...17E . doi : 10.1098/rspa.1982.0056 . JSTOR 2397363 . 
  4. ↑ Dalang, Robert C.; Frangos, NE (1998). "La ecuación de onda estocástica en dos dimensiones espaciales" . The Annals of Probability . 26 (1): 187– 212. doi : 10.1214/aop/1022855416 . ISSN 0091-1798 . JSTOR 2652898 .  
  5. ↑ Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. (1997-11-24). "La ecuación de Schrödinger estocástica no markoviana para sistemas abiertos" . Physics Letters A. 235 ( 6): 569– 573. arXiv : quant-ph/9706050 . Bibcode : 1997PhLA..235..569D . doi : 10.1016/S0375-9601(97)00717-2 . ISSN 0375-9601 . 
  6. ^ Walsh, John B. (1986). "Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas". En Carmona, René; Kesten, Harry; Walsh, John B.; Hennequin, PL (eds.). École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984 . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1180. Springer Berlín Heidelberg. págs. 265– 439. doi : 10.1007/bfb0074920 . ISBN   978-3-540-39781-6.
  7. ↑ Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud (2003). "Soluciones fuertes para las ecuaciones de cuantización estocástica". Annals of Probability . 31 (4): 1900– 1916. JSTOR 3481533 . 
  8. ↑ Corwin, Ivan; Shen, Hao (2020). "Algunos avances recientes en ecuaciones diferenciales parciales estocásticas singulares" . Bull. Amer. Math. Soc . 57 (3): 409– 454. doi : 10.1090/bull/1670 .

Lecturas adicionales

  • Bain, A.; Crisan, D. (2009). Fundamentos del filtrado estocástico . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Vol.  60. Nueva York: Springer. ISBN 978-0387768953.
  • Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010). Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas: un enfoque funcional de modelado de ruido blanco . Universitext (2.ª  ed.). Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-0-387-89488-1 . ISBN 978-0-387-89487-4.
  • Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. (2011). "Un vínculo explícito entre campos gaussianos y campos aleatorios de Markov gaussianos: el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas" . Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology . 73 (4): 423– 498. doi : 10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x . hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN 1369-7412 . 
  • Xiu, D. (2010). Métodos numéricos para cálculos estocásticos: un enfoque de método espectral . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14212-8.
  • "Minicurso sobre ecuaciones diferenciales parciales estocásticas" (PDF) . 2006.
  • Hairer, Martin (2009). "Una introducción a las EDP estocásticas". arXiv : 0907.4178 [ math.PR ].