Producto Wick

En teoría de la probabilidad , el producto de Wick , que recibe su nombre del físico italiano Gian-Carlo Wick , es una forma particular de definir un producto ajustado de un conjunto de variables aleatorias . En el producto de orden más bajo, el ajuste consiste en restar el valor medio , obteniendo un resultado con media cero. Para los productos de orden superior, el ajuste implica restar los productos de orden inferior (ordinarios) de las variables aleatorias, de forma simétrica, obteniendo también un resultado con media cero. El producto de Wick es una función polinómica de las variables aleatorias, sus valores esperados y los valores esperados de sus productos.

La definición del producto de Wick conduce inmediatamente a la potencia de Wick de una variable aleatoria, lo que permite definir análogos de otras funciones de variables aleatorias sustituyendo las potencias ordinarias en un desarrollo en serie de potencias por las potencias de Wick. Las potencias de Wick de variables aleatorias comunes pueden expresarse en términos de funciones especiales como los polinomios de Bernoulli o los polinomios de Hermite .

Supongamos que X ₁ , ..., X _k son variables aleatorias con momentos finitos . El producto de Wick

$${\displaystyle \langle X_{1},\dots,X_{k}\rangle \,}$$

es una especie de producto definido recursivamente de la siguiente manera:

$${\displaystyle \langle \rangle =1\,}$$

(es decir, el producto vacío —el producto de ninguna variable aleatoria— es 1). Para k ≥ 1 , imponemos el requisito

$${\displaystyle {\partial \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i},X_{i+1},\dots ,X_{k}\rangle ,}$$

dónde${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}}$significa que X _i está ausente, junto con la restricción de que el promedio es cero,

$${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}\langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle {\bigr ]}=0.\,}$$

De forma equivalente, el producto de Wick se puede definir escribiendo el monomio X ₁ , ..., X _k como un "polinomio de Wick":

$${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}=\!\!\sum _{S\subseteq \left\{1,\dots ,k\right\}}\!\!\operatorname {E} \left[\textstyle \prod _{i\notin S}X_{i}\right]\cdot \langle X_{i}:i\in S\rangle ,}$$

dónde${\displaystyle \langle X_{i}:i\in S\rangle }$indica el producto Wick${\displaystyle \langle X_ {i_ {1}}, \ puntos, X_ {i_ {m}} \ rangle}$si${\displaystyle S=\left\{i_{1},\dots ,i_{m}\right\}.}$Es fácil ver que esto satisface la definición inductiva.

Resulta que

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle =&\ X-\operatorname {E} [X],\\[4pt]\langle X,Y\rangle =&\ XY-\operatorname {E} [Y]\cdot X-\operatorname {E} [X]\cdot Y+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])-\operatorname {E} [XY],\\[4pt]\langle X,Y,Z\rangle =&\ XYZ\\&-\operatorname {E} [Y]\cdot XZ\\&-\operatorname {E} [Z]\cdot XY\\&-\operatorname {E} [X]\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} [Y])(\operatorname {E} [Z])\cdot X\\&+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Z])\cdot Y\\&+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])\cdot Z\\&-\operatorname {E} [XZ]\cdot Y\\&-\operatorname {E} [XY]\cdot Z\\&-\operatorname {E} [YZ]\cdot X\\&-\operatorname {E} [XYZ]\\&+2\operatorname {E} [XY]\operatorname {E} [Z]\\&+2\operatorname {E} [XZ]\operatorname {E} [Y]\\&+2\operatorname {E} [YZ]\operatorname {E} [X]\\&-6(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])(\operatorname {E} [Z]).\end{aligned}}}$$

En la notación convencional entre los físicos, el producto de Wick se suele denotar de la siguiente manera:

$${\displaystyle :X_{1},\dots ,X_{k}:\,}$$

y la notación de corchetes angulares

$${\displaystyle \langle X\rangle \,}$$

se utiliza para denotar el valor esperado de la variable aleatoria X.

La enésima potencia de Wick de una variable aleatoria X es el producto de Wick .

$${\displaystyle X'^{n}=\langle X,\dots,X\rangle \,}$$

con n factores.

La sucesión de polinomios P _​​n tal que

$${\displaystyle P_{n}(X)=\langle X,\dots,X\rangle =X'^{n}\,}$$

forman una secuencia de Appell , es decir, satisfacen la identidad

$${\displaystyle P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,}$$

para n = 0, 1, 2, ... y P ₀ ( x ) es una constante distinta de cero.

Por ejemplo, se puede demostrar que si X se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 1] , entonces

$${\displaystyle X'^{n}=B_{n}(X)\,}$$

donde B _n es el polinomio de Bernoulli de grado n . De manera similar, si X se distribuye normalmente con varianza 1, entonces

$${\displaystyle X'^{n}=He_{n}(X)\,}$$

donde He _n es el n- ésimo polinomio de Hermite del probabilista .

$${\displaystyle (aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{ni}X^{'i}Y^{'{ni}}}$$

$${\displaystyle \langle \operatorname {exp} (aX)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}}$$

• Wick Product Springer Enciclopedia de Matemáticas
• Florin Avram y Murad Taqqu , (1987) "Teoremas de límite no centrales y polinomios de Appell", Annals of Probability , volumen 15, número 2, páginas 767-775 , 1987.
• Hida, T. y Ikeda, N. (1967) «Análisis en el espacio de Hilbert con núcleo reproductor derivado de la integral de Wiener múltiple». Actas del Quinto Simposio de Berkeley sobre Estadística Matemática y Probabilidad (Berkeley, California, 1965/66). Vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, Parte 1, págs.  117-143. Univ. California Press
• Wick, GC (1950) "La evaluación de la matriz de colisión". Physical Rev. 80 (2), 268 – 272.