Ordenación estocástica

En teoría de la probabilidad y estadística , un orden estocástico cuantifica el concepto de que una variable aleatoria es "mayor" que otra. Estos suelen ser órdenes parciales , de modo que una variable aleatoria $A$ puede que no sea ni estocásticamente mayor que, menor que, ni igual a otra variable aleatoria. $B$ Existen muchos tipos de órdenes diferentes, que tienen distintas aplicaciones.

Orden estocástico habitual

Una variable aleatoria real $A$ es menor que una variable aleatoria $B$ en el "orden estocástico usual" si

\Pr(A>x)\leq \Pr(B>x){\text{ para todo }}x\in (-\infty ,\infty ),

dónde $\Pr(\cdot )$ denota la probabilidad de un evento. Esto a veces se denota $A\preceq B$ o $A\leq _{\mathrm {st} }B$ .

Si además $\Pr(A>x)<\Pr(B>x)$ para algunos $x$ , entonces $A$ es estocásticamente estrictamente menor que $B$ , a veces denotado $A\prec B$ En la teoría de la decisión , bajo esta circunstancia, se dice que $B$ es estocásticamente dominante de primer orden sobre A.

Caracterizaciones

Las siguientes reglas describen situaciones en las que una variable aleatoria es estocásticamente menor o igual que otra. También existen versiones estrictas de algunas de estas reglas.

$A\preceq B$ si y solo si para todas las funciones no decrecientes $u$ , $\operatorname {E} [u(A)]\leq \operatorname {E} [u(B)]$ .
Si $u$ es no decreciente y $A\preceq B$ entonces $u(A)\preceq u(B)$
Si $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ está aumentando en cada variable y $A_{i}$ y $B_{i}$ son conjuntos independientes de variables aleatorias con $A_{i}\preceq B_{i}$ para cada $i$ , entonces $u(A_{1},\dots ,A_{n})\preceq u(B_{1},\dots ,B_{n})$ y en particular $\sum _{i=1}^{n}A_{i}\preceq \sum _{i=1}^{n}B_{i}$ Además, el $i$ Las estadísticas de orden n satisfacen $A_{(i)}\preceq B_{(i)}$ .
Si dos secuencias de variables aleatorias $A_{i}$ y $B_{i}$ , con $A_{i}\preceq B_{i}$ a pesar de $i$ Si cada uno converge en distribución , entonces sus límites satisfacen $A\preceq B$ .
Si $A$ , $B$ y $C$ son variables aleatorias tales que $\sum _{c}\Pr(C=c)=1$ y $\Pr(A>u\mid C=c)\leq \Pr(B>u\mid C=c)$ a pesar de $u$ y $c$ de tal manera que $\Pr(C=c)>0$ , entonces $A\preceq B$ .

Otras propiedades

Si $A\preceq B$ y $\operatorname {E} [A]=\operatorname {E} [B]$ entonces $A\mathrel {\overset {d}{=}} B$ (las variables aleatorias tienen la misma distribución).

Dominancia estocástica

Las relaciones de dominancia estocástica son una familia de ordenaciones estocásticas utilizadas en la teoría de la decisión : ^{[ 1 ]}

Dominancia estocástica de orden cero: $A\prec _{(0)}B$ si y solo si $A\leq B$ para todas las realizaciones de estas variables aleatorias y $A<B$ al menos una realización.
Dominancia estocástica de primer orden: $A\prec _{(1)}B$ si y solo si $\Pr(A>x)\leq \Pr(B>x)$ a pesar de $x$ y existe $x$ de tal manera que $\Pr(A>x)<\Pr(B>x)$ .
Dominancia estocástica de segundo orden: $A\prec _{(2)}B$ si y solo si $\int _{-\infty }^{x}[\Pr(B>t)-\Pr(A>t)]\,dt\geq 0$ a pesar de $x$ , con una desigualdad estricta en algunos $x$ .

También existen nociones de orden superior de dominancia estocástica. Con las definiciones anteriores, tenemos $A\prec _{(i)}B\implies A\prec _{(i+1)}B$ .

Orden estocástico multivariado

Un $\mathbb {R} ^{d}$ variable aleatoria con valor - $A$ es menos de un $\mathbb {R} ^{d}$ variable aleatoria con valor - $B$ en el "orden estocástico usual" si

\operatorname {E} [f(A)]\leq \operatorname {E} [f(B)]{\text{ para todas las funciones crecientes y acotadas }}f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}

Existen otros tipos de órdenes estocásticos multivariados. Por ejemplo, el orden ortante superior e inferior, que son similares al orden estocástico unidimensional habitual. $A$ Se dice que es más pequeño que $B$ en orden ortónico superior si

\Pr(A>\mathbf {x} )\leq \Pr(B>\mathbf {x} ){\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}

y $A$ es más pequeño que $B$ en orden ortante inferior si ^{[ 2 ]}

\Pr(A\leq \mathbf {x} )\leq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}

Los tres tipos de orden también tienen representaciones integrales, es decir, para un orden particular. $A$ es más pequeño que $B$ si y solo si $\operatorname {E} [f(A)]\leq \operatorname {E} [f(B)]$ a pesar de $f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}$ en una clase de funciones ${\mathcal {G}}$ . ^{[ 3 ]} ${\mathcal {G}}$ Se le denomina entonces generador del orden correspondiente.

Otros órdenes de dominación

Los siguientes órdenes estocásticos son útiles en la teoría de la elección social aleatoria . Se utilizan para comparar los resultados de funciones de elección social aleatoria, con el fin de verificar su eficiencia u otros criterios deseables. ^{[ 4 ]} Los órdenes de dominancia que se muestran a continuación están ordenados del más conservador al menos conservador. Se ejemplifican con variables aleatorias sobre el soporte finito {30,20,10}.

Dominancia determinista , denotada $A\succeq _{\mathrm {dd} }B$ , significa que cada posible resultado de $A$ es al menos tan bueno como cualquier resultado posible de $B$ : para todo x < y , $\Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]=0$ . En otras palabras: $\Pr[A\geq B]=1$ . Por ejemplo, $0.6\times 30+0.4\times 20\succeq _{\mathrm {dd} }0.5\times 20+0.5\times 10$ .

Dominancia bilineal , denotada $A\succeq _{\mathrm {bd} }B$ , significa que, para cada resultado posible, la probabilidad de que $A$ produce el mejor y $B$ produce el peor es al menos tan grande como la probabilidad en sentido contrario: para todo x<y, $\Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]\leq \Pr[A=y]\cdot \Pr[B=x]$ Por ejemplo, $0.5\times 30+0.5\times 20\succeq _{\mathrm {bd} }0.33\times 30+0.33\times 20+0.34\times 10$ .

Dominancia estocástica (ya mencionada anteriormente), denotada $A\succeq _{\mathrm {sd} }B$ , significa que, para cada posible resultado x , la probabilidad de que $A$ produce al menos x es al menos tan grande como la probabilidad de que $B$ produce al menos x : para todo x, $\Pr[A\geq x]\geq \Pr[B\geq x]$ . Por ejemplo, $0.5\times 30+0.5\times 10\succeq _{\mathrm {sd} }0.5\times 20+0.5\times 10$ .

Dominancia de comparación por pares , denotada $A\succeq _{\mathrm {pc} }B$ , significa que la probabilidad de que $A$ produce un mejor resultado que $B$ es más grande que al revés: $\Pr[A\geq B]\geq \Pr[B\geq A]$ . Por ejemplo, $0.67\times 30+0.33\times 10\succeq _{\mathrm {pc} }1.0\times 20$ .

Dominancia lexicográfica descendente, denotada $A\succeq _{\mathrm {dl} }B$ , significa que $A$ tiene mayor probabilidad que $B$ de devolver el mejor resultado, o ambos $A$ y $B$ tienen la misma probabilidad de devolver el mejor resultado pero $A$ tiene mayor probabilidad que $B$ de devolver el segundo mejor resultado, etc. La dominancia lexicográfica ascendente se define de forma análoga basándose en la probabilidad de devolver los peores resultados. Véase dominancia lexicográfica .

Otros órdenes estocásticos

orden de tasa de riesgo

La tasa de riesgo de una variable aleatoria no negativa $X$ con función de distribución absolutamente continua $F$ y función de densidad $f$ se define como

r(t)={\frac {d}{dt}}(-\log(1-F(t)))={\frac {f(t)}{1-F(t)}}.

Dadas dos variables no negativas $X$ y $Y$ con distribución absolutamente continua $F$ y $G$ y con funciones de tasa de riesgo $r$ y $q$ , respectivamente, $X$ Se dice que es más pequeño que $Y$ en el orden de tasa de riesgo (denominado como $X\preceq _{\mathrm {hr} }Y$ ) si

r(t)\geq q(t)

a pesar de

t\geq 0

,

o equivalentemente si

{\frac {1-F(t)}{1-G(t)}}

está disminuyendo en

t

.

orden de razón de verosimilitud

Dejar $X$ y $Y$ dos variables aleatorias continuas (o discretas) con densidades (o densidades discretas) $f(t)$ y $g(t)$ , respectivamente, de modo que ${\frac {g(t)}{f(t)}}$ aumentos en $t$ sobre la unión de los apoyos de $X$ y $Y$ ; en este caso, $X$ es más pequeño que $Y$ en el orden de la razón de verosimilitud ( $X\preceq _{\mathrm {lr} }Y$ ).

Órdenes de variabilidad

Si dos variables tienen la misma media, aún se pueden comparar según la dispersión de sus distribuciones. Esto se refleja, en cierta medida, en la varianza , pero de forma más completa mediante una serie de órdenes estocásticos.

Orden convexo

El orden convexo es un tipo especial de orden de variabilidad. Bajo el orden convexo, $A$ es menor que $B$ si y solo si para toda convexa $u$ , $\operatorname {E} [u(A)]\leq \operatorname {E} [u(B)]$ .

orden de la transformada de Laplace

El orden de la transformada de Laplace compara tanto el tamaño como la variabilidad de dos variables aleatorias. De forma similar al orden convexo, el orden de la transformada de Laplace se establece comparando la esperanza de una función de la variable aleatoria donde la función pertenece a una clase especial: $u(x)=-\exp(-\alpha x)$ . Esto convierte el orden de la transformada de Laplace en un orden estocástico integral con el conjunto generador dado por el conjunto de funciones definido anteriormente con $\alpha$ un número real positivo .

monotonicidad realizable

Considerando una familia de distribuciones de probabilidad $({P}_{\alpha })_{\alpha \in F}$ en un espacio parcialmente ordenado $(E,\preceq )$ indexado con $\alpha \in F$ (dónde $(F,\preceq )$ Es otro espacio parcialmente ordenado, donde se puede definir el concepto de monotonicidad completa o realizable. Esto significa que existe una familia de variables aleatorias. $(X_{\alpha })_{\alpha }$ en el mismo espacio de probabilidad, de tal manera que la distribución de $X_{\alpha }$ es ${P}_{\alpha }$ y $X_{\alpha }\preceq X_{\beta }$ casi con seguridad siempre $\alpha \preceq \beta$ . Significa la existencia de un acoplamiento monótono . ^{[ 5 ]}

Véase también

Referencias

↑ Perrakis, Stylianos (2019). Stochastic Dominance Option Pricing . Palgrave Macmillan, Cham. doi : 10.1007/978-3-030-11590-6_1 . ISBN 978-3-030-11589-0.
↑ Definición 2.3 en Thibaut Lux, Antonin Papapantoleon: "Límites mejorados de Fréchet-Hoeffding para d-cópulas y aplicaciones en finanzas sin modelo". Annals of Applied Probability 27, 3633-3671, 2017
↑ Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Métodos de comparación para modelos estocásticos y riesgos. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1, S. 2.
↑ Felix Brandt (26 de octubre de 2017). «Lanzando los dados: resultados recientes en la elección social probabilística» . En Endriss, Ulle (ed.). Tendencias en la elección social computacional . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.
↑ Fill, James Allen; Machida, Motoya (2001). "Monotonicidad estocástica y monotonicidad realizable" . The Annals of Probability . 29 (2): 938– 978. ISSN 0091-1798 .

Bibliografía

M. Shaked y JG Shanthikumar, Órdenes estocásticas y sus aplicaciones , Associated Press, 1994.
EL Lehmann. Familias ordenadas de distribuciones. The Annals of Mathematical Statistics , 26:399 – 419, 1955.

[1] Perrakis, Stylianos (2019). Stochastic Dominance Option Pricing . Palgrave Macmillan, Cham. doi : 10.1007/978-3-030-11590-6_1 . ISBN 978-3-030-11589-0.

[2] Definición 2.3 en Thibaut Lux, Antonin Papapantoleon: "Límites mejorados de Fréchet-Hoeffding para d-cópulas y aplicaciones en finanzas sin modelo". Annals of Applied Probability 27, 3633-3671, 2017

[3] Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Métodos de comparación para modelos estocásticos y riesgos. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1, S. 2.

[:0-4] Felix Brandt (26 de octubre de 2017). «Lanzando los dados: resultados recientes en la elección social probabilística» . En Endriss, Ulle (ed.). Tendencias en la elección social computacional . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.

[5] Fill, James Allen; Machida, Motoya (2001). "Monotonicidad estocástica y monotonicidad realizable" . The Annals of Probability . 29 (2): 938– 978. ISSN 0091-1798 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 5 ]