Operador de Stokes

El operador de Stokes , que recibe su nombre de George Gabriel Stokes , es un operador lineal no acotado que se utiliza en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , específicamente en los campos de la dinámica de fluidos y el electromagnetismo .

Si definimos${\displaystyle P_{\sigma }}$como la proyección de Leray sobre campos vectoriales libres de divergencia , entonces el operador de Stokes${\displaystyle A}$se define por

${\displaystyle A:=-P_{\sigma }\Delta ,}$

dónde${\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}$es el laplaciano . Dado que${\displaystyle A}$es ilimitado, también debemos dar su dominio de definición, que se define como${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V}$, dónde${\displaystyle V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}}$. Aquí,${\displaystyle \Omega }$es un conjunto abierto acotado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(normalmente n  =  2 o 3),${\displaystyle H^{2}(\Omega)}$y${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega)}$son los espacios de Sobolev estándar y la divergencia de${\displaystyle {\vec {u}}}$se entiende en el sentido de distribución .

Para un dominio dado${\displaystyle \Omega }$que es abierto, limitado y tiene${\displaystyle C^{2}}$límite, el operador de Stokes${\displaystyle A}$es un operador autoadjunto definido positivo con respecto al${\displaystyle L^{2}}$producto interno. Tiene una base ortonormal de autofunciones.${\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$correspondientes a los valores propios${\displaystyle \{\lambda _ {k}\}_ {k=1}^{\infty }}$que satisfacen

${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots }$

y${\displaystyle \lambda _ {k}\rightarrow \infty }$como${\displaystyle k\rightarrow \infty }$Nótese que el valor propio más pequeño es único y distinto de cero. Estas propiedades permiten definir potencias del operador de Stokes. Sea${\displaystyle \alpha >0}$ser un número real. Definimos${\displaystyle A^{\alpha }}$por su acción en${\displaystyle {\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)}$:

${\displaystyle A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}}$

dónde${\displaystyle u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})}$y${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$es el${\displaystyle L^{2}(\Omega)}$producto interno.

Lo contrario${\displaystyle A^{-1}}$del operador de Stokes es un operador acotado, compacto y autoadjunto en el espacio${\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ y }}\gamma ({\vec {u}})=0\}}$, dónde${\displaystyle \gamma }$es el operador de traza . Además,${\displaystyle A^{-1}:H\rightarrow V}$es inyectivo.

• Temam, Roger (2001), Ecuaciones de Navier-Stokes: Teoría y análisis numérico , AMS Chelsea Publishing , ISBN 0-8218-2737-5
• Constantin, Peter y Foias, Ciprian. Ecuaciones de Navier-Stokes , University of Chicago Press, (1988)