ecuación de Streeter-Phelps

En la curva de descenso del OD se produce una concentración mínima en algún punto a lo largo de un arroyo. Si la ecuación de Streeter-Phelps se diferencia con respecto al tiempo y se iguala a cero, el tiempo en el que se produce el OD mínimo se expresa mediante

${\displaystyle t_{crit}={\frac {1}{k_{2}-k_{1}}}\ln {\left[{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\left({1-{\frac {D_{a}(k_{2}-k_{1})}{L_{a}k_{1}}}}\right)\right]}}$

Para hallar el valor del déficit crítico de oxígeno,${\displaystyle D_{crit}}$, la ecuación de Streeter-Phelps se combina con la ecuación anterior, para el tiempo crítico,${\displaystyle t_{crit}}$Entonces, la concentración mínima de oxígeno disuelto es

${\displaystyle DO_{crit}=DO_{sat}-D_{crit}}$

Matemáticamente es posible obtener un valor negativo de${\displaystyle DO_{crit}}$, aunque en realidad no es posible tener una cantidad negativa de DO. ^{[ 3 ]}

La distancia recorrida en un río desde un punto determinado de contaminación o descarga de desechos aguas abajo hasta el${\displaystyle DO_{crit}}$(que es el DO mínimo) se encuentra mediante

${\displaystyle x_{crit}=vt_{crit}}$

dónde${\displaystyle v}$es la velocidad de flujo de la corriente. Esta fórmula es una buena aproximación siempre que el flujo pueda considerarse como un flujo pistón (turbulento).

Existen varias estimaciones de la tasa de reaireación, que generalmente siguen la ecuación

${\displaystyle k_{2}=Kv^{a}H^{-b}}$

dónde

• ${\displaystyle K}$es una constante.
• ${\displaystyle v}$es la velocidad del flujo [m/s].
• ${\displaystyle H}$es la profundidad [m].
• ${\displaystyle a}$es una constante.
• ${\displaystyle b}$es una constante.

Las constantes dependen del sistema al que se aplica la ecuación, es decir, de la velocidad del flujo y del tamaño del arroyo o río. En la bibliografía se pueden encontrar diferentes valores.

El software " Programa Hidrológico Internacional " aplica la siguiente ecuación derivada a partir de valores utilizados en la literatura publicada ^{[ 4 ].}

${\displaystyle k_{2}=2.148v^{0.878}H^{-1.48}}$

dónde

• ${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle [d^{-1}]}$.
• ${\displaystyle v}$es la velocidad media del flujo [m/s].
• ${\displaystyle H}$es la profundidad media del flujo en el río [m].

Tanto la tasa de desoxigenación,${\displaystyle k_{1}}$y tasa de reaireación,${\displaystyle k_{2}}$puede corregirse la temperatura, siguiendo la fórmula general. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle k=k_{20}\theta ^{(T-20)}}$

dónde

• ${\displaystyle k_{20}}$es la tasa a 20 grados Celsius.
• θ es una constante que difiere para las dos velocidades.
• ${\displaystyle T}$es la temperatura real en la corriente en grados Celsius.

Normalmente θ tiene el valor 1,048 para${\displaystyle k_{1}}$y 1.024 para${\displaystyle k_{2}}$. Un aumento de la temperatura tiene el mayor impacto en la tasa de desoxigenación y resulta en un mayor déficit crítico (${\displaystyle D_{crit}}$), y${\displaystyle x_{crit}}$disminuye. Además, una disminución${\displaystyle DO_{sat}}$La concentración se produce con el aumento de la temperatura, lo que conlleva una disminución de la concentración de OD. ^{[ 2 ]}

Cuando dos arroyos o ríos se unen o se descarga agua en un arroyo es posible determinar la DBO y el OD después de la mezcla asumiendo condiciones de estado estacionario y mezcla instantánea. Los dos arroyos se consideran diluciones entre sí, por lo que la DBO y el OD iniciales serán ^{[ 4 ].}

${\displaystyle L_{a}={\frac {L_{s}Q_{s}+L_{b}Q_{b}}{Q_{s}+Q_{b}}}}$

y

${\displaystyle DO_{0}={\frac {DO_{s}Q_{s}+DO_{b}Q_{b}}{Q_{s}+Q_{b}}}}$

dónde

• ${\displaystyle L_{a}}$es la concentración inicial de DBO en el río aguas abajo de la mezcla, también llamada DBO(0). La unidad de${\displaystyle L_{a}}$es${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$.
• ${\displaystyle L_{b}}$es la DBO de fondo de la concentración en el río${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle L_{s}}$es la DBO del contenido del río que se une${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle DO_{0}}$es la concentración inicial de oxígeno disuelto en el río aguas abajo del punto de unión${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle DO_{b}}$es la concentración de fondo del contenido de oxígeno disuelto en el río${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle DO_{s}}$es la concentración de fondo del contenido de oxígeno disuelto en el río que se une${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle Q_{b}}$es el flujo en el río aguas arriba del punto de mezcla${\displaystyle [{\tfrac {m^{3}}{s}}]}$.
• ${\displaystyle Q_{s}}$es el flujo en el río que se une aguas arriba del punto de mezcla${\displaystyle [{\tfrac {m^{3}}{s}}]}$.

Actualmente es posible resolver numéricamente la ecuación clásica de Streeter-Phelps mediante el uso de computadoras. Las ecuaciones diferenciales se resuelven mediante integración.

La DBO de fondo o demanda de oxígeno bentónico es la fuente difusa de DBO representada por la descomposición de la materia orgánica que ya se ha depositado en el fondo. Esto dará lugar a una entrada difusa constante, por lo que el cambio en la DBO a lo largo del tiempo será

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-k_{1}(L-L_{b})}$

dónde

• ${\displaystyle k_{1}}$es la tasa de consumo de oxígeno por DBO, generalmente en${\displaystyle d^{-1}}$.
• ${\displaystyle L}$es la DBO de la materia orgánica en el agua${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle L_{b}}$es la entrada de DBO de fondo${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.

La DBO sedimentada no consume oxígeno directamente y, por lo tanto, esto debe tenerse en cuenta. Esto se hace introduciendo una tasa de eliminación de DBO combinada con una tasa de consumo de oxígeno por la DBO. Esto da como resultado una tasa total de eliminación de oxígeno por la DBO ^{[ 2 ].}

${\displaystyle k_{r}=k_{1}+k_{3}}$

dónde

• ${\displaystyle k_{1}}$es la tasa de consumo de oxígeno por DBO, generalmente en${\displaystyle d^{-1}}$.
• ${\displaystyle k_{3}}$es la tasa de sedimentación de DBO, generalmente en${\displaystyle d^{-1}}$.

El cambio en la DBO a lo largo del tiempo se describe como

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-k_{r}L}$

dónde${\displaystyle L}$es la DBO de la materia orgánica en el agua${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.

${\displaystyle k_{r}}$Suele estar en el rango de 0,5 a 5.${\displaystyle d^{-1}}$. ^{[ 2 ]}

Los organismos presentes en el sedimento pueden consumir oxígeno. Este proceso se conoce como demanda de oxígeno del sedimento (DOS). La DOS se puede medir registrando el cambio de oxígeno en una caja colocada sobre el sedimento (respirómetro bentónico).

El cambio en el déficit de oxígeno debido al consumo por sedimentos se describe como

${\displaystyle {\frac {dD}{dt}}=-k_{2}D+{\frac {S}{H}}}$

dónde

• ${\displaystyle H}$es la profundidad del río [m]
• ${\displaystyle S}$es el SOD${\displaystyle [{\tfrac {g}{m^{2}d}}]}$
• D es el déficit de saturación${\displaystyle [{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]}$.
• ${\displaystyle k_{2}}$es la tasa de reaireación [${\displaystyle d^{-1}}$].

El rango de SOD suele estar en el rango de 0,1 a 1.${\displaystyle {\tfrac {g}{m^{2}d}}}$para un río natural con baja contaminación y 5 – 10${\displaystyle {\tfrac {g}{m^{2}d}}}$para un río con contaminación moderada a grave. ^{[ 2 ]}

El amonio se oxida a nitrato en condiciones aeróbicas.

NH ₄ ⁺ + 2O ₂ → NO ₃ ^- + H ₂ O + 2H ⁺

La oxidación del amonio puede tratarse como parte de la DBO, de modo que DBO = DBO carbonácea + DBO nitrogenada, donde DBO carbonácea es la demanda bioquímica de oxígeno carbonácea y DBO nitrogenada es la DBO nitrogenada. Por lo general, la DBO carbonácea es mucho mayor que la concentración de amonio y, por lo tanto, la DBO nitrogenada a menudo no necesita ser considerada. El cambio en el déficit de oxígeno debido a la oxidación del amonio se describe como

${\displaystyle {\frac {dD}{dt}}=k_{N}N-k_{2}D}$

dónde

• D es el déficit de saturación.
• ${\displaystyle k_{N}}$es la tasa de nitrificación${\displaystyle [d^{-1}]}$.
• ${\displaystyle N}$es la concentración de nitrógeno amoniacal.

El rango de${\displaystyle k_{N}}$suele ser de 0,05 a 0,5.${\displaystyle d^{-1}}$. ^{[ 2 ]}

La fotosíntesis y la respiración son realizadas por algas y macrófitas. La respiración también es realizada por bacterias y animales. Suponiendo un estado estacionario (promedio diario neto), el cambio en el déficit será

${\displaystyle {\frac {dD}{dt}}=-k_{2}D+(R+P)_{avg}}$

dónde

• ${\displaystyle R}$es la respiración${\displaystyle [{\tfrac {mg}{Ld}}]}$.
• ${\displaystyle P}$es la fotosíntesis${\displaystyle [{\tfrac {mg}{Ld}}]}$.

Tenga en cuenta que la DBO solo incluye la respiración de microorganismos , como algas y bacterias, y no la de macrófitas y animales.

Debido a la variación de la luz a lo largo del tiempo, la variación del oxígeno fotosintético puede describirse mediante una función periódica a lo largo del tiempo, donde el tiempo es después del amanecer y antes del atardecer ^{[ 2 ].}

${\displaystyle P(t)=P_{max}sin\left({\frac {\pi }{f}}+(t-t_{s})\right)}$

dónde

• ${\displaystyle P(t)}$es la fotosíntesis en un momento dado${\displaystyle [{\tfrac {mg}{Ld}}]}$.
• ${\displaystyle P_{max}}$es el máximo diario de la fotosíntesis${\displaystyle [{\tfrac {mg}{Ld}}]}$.
• ${\displaystyle f}$es la fracción del día con luz solar, generalmente${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$día.
• ${\displaystyle t_{s}}$es la hora en que sale el sol${\displaystyle [d]}$.

El rango del valor promedio diario de la producción primaria${\displaystyle (P-R)}$suele ser de 0,5 a 10${\displaystyle {\tfrac {mg}{Ld}}}$. ^{[ 2 ]}