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Articulo de referencia

Resultantes del estrés

Las resultantes de tensión son representaciones simplificadas del estado de tensión en elementos estructurales como vigas , placas o láminas . [ 1 ] La geometría de los elemento...

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Las resultantes de tensión son representaciones simplificadas del estado de tensión en elementos estructurales como vigas , placas o láminas . [ 1 ] La geometría de los elementos estructurales típicos permite simplificar el estado de tensión interno debido a la existencia de una dirección de "espesor" en la que el tamaño del elemento es mucho menor que en otras direcciones. Como consecuencia, las tres componentes de tracción que varían de un punto a otro en una sección transversal pueden reemplazarse por un conjunto de fuerzas resultantes y momentos resultantes. Estas son las resultantes de tensión (también llamadas fuerzas de membrana , fuerzas cortantes y momento flector ) que pueden utilizarse para determinar el estado de tensión detallado en el elemento estructural. Un problema tridimensional puede entonces reducirse a un problema unidimensional (para vigas) o a un problema bidimensional (para placas y láminas).

Las resultantes de tensión se definen como integrales de la tensión sobre el espesor de un elemento estructural. Estas integrales se ponderan mediante potencias enteras de la coordenada de espesor z (o x³ ). Las resultantes de tensión se definen de esta manera para representar el efecto de la tensión como una fuerza de membrana N (potencia cero en z ), momento flector M (potencia 1) sobre una viga o lámina (estructura) . Las resultantes de tensión son necesarias para eliminar la dependencia de la tensión con respecto a z en las ecuaciones de la teoría de placas y láminas.

Resultantes de tensión en vigas

Componentes de las tensiones en las superficies de un elemento estructural.

Consideremos el elemento que se muestra en la figura adjunta. Supongamos que la dirección del espesor es x₃ . Si el elemento se ha extraído de una viga, el ancho y el espesor son de tamaño comparable. Sea x₂ la dirección del ancho. Entonces, x₁ es la dirección de la longitud .

Fuerzas de membrana y de corte

El vector de fuerza resultante debido a la tracción en la sección transversal ( A ) perpendicular al eje x1 es

F1=∫A(σ11mi1+σ12mi2+σ13mi3)dA{\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{A}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _ {2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}

donde e 1 , e 2 , e 3 son los vectores unitarios a lo largo de x 1 , x 2 , y x 3 , respectivamente. Definimos las resultantes de tensión de tal manera que

F1=:norte11mi1+V2mi2+V3mi3{\displaystyle \mathbf {F} _{1}=:N_{11}\mathbf {e} _{1}+V_{2}\mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e} _{3}}

donde N 11 es la fuerza de membrana y V 2 , V 3 son las fuerzas cortantes. Más explícitamente, para una viga de altura t y ancho b ,

norte11=∫−b/2b/2∫−t/2t/2σ11dincógnita3dincógnita2.{\displaystyle N_{11}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}\sigma _{11}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}

De manera similar, las resultantes de la fuerza cortante son

[V2V3]=∫−b/2b/2∫−t/2t/2[σ12σ13]dincógnita3dincógnita2.{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}

Momentos de inflexión

El vector momento flector debido a las tensiones en la sección transversal A perpendicular al eje x 1 viene dado por

METRO1=∫Ar×(σ11mi1+σ12mi2+σ13mi3)dAdónder=incógnita2mi2+incógnita3mi3.{\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{donde}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}

Ampliando esta expresión tenemos,

METRO1=∫A(−incógnita2σ11mi3+incógnita2σ13mi1+incógnita3σ11mi2−incógnita3σ12mi1)dA=:METRO11mi1+METRO12mi2+METRO13mi3.{\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\left(-x_{2}\sigma _{11}\mathbf {e} _{3}+x_{2}\sigma _{13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12}\,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e} _{3}\,.}

Podemos escribir los componentes resultantes del momento flector como

[METRO11METRO12METRO13]:=∫−b/2b/2∫−t/2t/2[incógnita2σ13−incógnita3σ12incógnita3σ11−incógnita2σ11]dincógnita3dincógnita2.{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\end{bmatrix}}:=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}

Esfuerzos resultantes en placas y láminas

En placas y láminas, las dimensiones x₁ y x₂ son mucho mayores que la dimensión x₃ . La integración sobre el área de la sección transversal tendría que incluir una de las dimensiones mayores, lo que daría lugar a un modelo demasiado simple para cálculos prácticos. Por este motivo, las tensiones se integran únicamente a través del espesor y las resultantes de tensión se expresan típicamente en unidades de fuerza por unidad de longitud (o momento por unidad de longitud ) en lugar de la fuerza y ​​el momento reales, como ocurre en las vigas.

Fuerzas de membrana y de corte

Para placas y láminas debemos considerar dos secciones transversales. La primera es perpendicular al eje x 1 y la segunda es perpendicular al eje x 2. Siguiendo el mismo procedimiento que para vigas, y teniendo en cuenta que las resultantes ahora son por unidad de longitud, tenemos

F1=∫−t/2t/2(σ11mi1+σ12mi2+σ13mi3)dincógnita3yF2=∫−t/2t/2(σ12mi1+σ22mi2+σ23mi3)dincógnita3{\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{y}}\quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}

Podemos escribir lo anterior como

F1=norte11mi1+norte12mi2+V1mi3yF2=norte12mi1+norte22mi2+V2mi3{\displaystyle \mathbf {F} _{1}=N_{11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3}}

donde las fuerzas de membrana se definen como

[norte11norte22norte12]:=∫−t/2t/2[σ11σ22σ12]dincógnita3{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}

y las fuerzas cortantes se definen como

[V1V2]=∫−t/2t/2[σ13σ23]dincógnita3.{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}

Momentos de inflexión

Para las resultantes del momento flector, tenemos

METRO1=∫−t/2t/2r×(σ11mi1+σ12mi2+σ13mi3)dincógnita3yMETRO2=∫−t/2t/2r×(σ12mi1+σ22mi2+σ23mi3)dincógnita3{\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}

donde r = x 3 e 3 . Desarrollando estas expresiones tenemos,

METRO1=∫−t/2t/2[−incógnita3σ12mi1+incógnita3σ11mi2]dincógnita3yMETRO2=∫−t/2t/2[−incógnita3σ22mi1+incógnita3σ12mi2]dincógnita3{\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}

Defina las resultantes del momento flector de tal manera que

METRO1=:−METRO12mi1+METRO11mi2yMETRO2=:−METRO22mi1+METRO12mi2.{\displaystyle \mathbf {M} _{1}=:-M_{12}\mathbf {e} _{1}+M_{11}\mathbf {e} _{2}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}

Entonces, los momentos flectores resultantes vienen dados por

[METRO11METRO22METRO12]:=∫−t/2t/2incógnita3[σ11σ22σ12]dincógnita3.{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}x_{3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}

Estos son los resultados que se encuentran con frecuencia en la literatura, pero hay que tener cuidado para asegurar que los signos se interpreten correctamente.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Barbero, Ever J. (2010). Introducción al diseño de materiales compuestos . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-7915-9.