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Articulo de referencia

Vibración de placas

Modo de vibración de una placa cuadrada sujeta La vibración de placas es un caso particular del problema más general de las vibraciones mecánicas . Las ecuaciones que rigen el m...

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Modo de vibración de una placa cuadrada sujeta

La vibración de placas es un caso particular del problema más general de las vibraciones mecánicas . Las ecuaciones que rigen el movimiento de las placas son más sencillas que las de los objetos tridimensionales generales, ya que una de las dimensiones de una placa es mucho menor que las otras dos. Esto permite que una teoría de placas bidimensional proporcione una excelente aproximación al movimiento tridimensional real de un objeto con forma de placa. [ 1 ]

Se han desarrollado varias teorías para describir el movimiento de las placas. Las más utilizadas son la teoría de Kirchhoff-Love [ 2 ] y la de Uflyand-Mindlin [ 3 ] [ 4 ] . Esta última teoría es analizada en detalle por Elishakoff [ 5 ] . Las soluciones a las ecuaciones que rigen el movimiento, predichas por estas teorías, pueden brindar información sobre el comportamiento de objetos con forma de placa, tanto en condiciones libres como forzadas . Esto incluye la propagación de ondas y el estudio de ondas estacionarias y modos de vibración en placas. El tema de las vibraciones de placas se trata en libros de Leissa [ 6 ] [ 7 ] , Gontkevich [ 8 ] , Rao [ 9 ] , Soedel [ 10 ] , Yu [ 11 ] , Gorman [ 12 ] [ 13 ] y Rao [ 14 ] .

Platos Kirchhoff-Love

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son:

norteαβ,β=J1 tú¨αMETROαβ,αβ+q(incógnita,t)=J1 w¨−J3 w¨,αα{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{alineado}}}

dóndetúα{\displaystyle u_{\alpha }}son los desplazamientos en el plano de la superficie media de la placa,w{\displaystyle w}es el desplazamiento transversal (fuera del plano) de la superficie media de la placa,q{\displaystyle q}es una carga transversal aplicada que apunta aincógnita3{\displaystyle x_{3}}(hacia arriba), y las fuerzas y momentos resultantes se definen como

norteαβ:=∫−hhσαβ dincógnita3yMETROαβ:=∫−hhincógnita3 σαβ dincógnita3.{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{y}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}

Tenga en cuenta que el espesor de la placa es2h{\displaystyle 2h}y que las resultantes se definen como promedios ponderados de las tensiones en el plano.σαβ{\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}. Las derivadas en las ecuaciones gobernantes se definen como

tú˙i:=∂túi∂t ;  tú¨i:=∂2túi∂t2 ;  túi,α:=∂túi∂incógnitaα ;  túi,αβ:=∂2túi∂incógnitaα∂incógnitaβ{\displaystyle {\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}

donde los índices latinos van de 1 a 3 mientras que los índices griegos van de 1 a 2. Se sobreentiende la suma sobre índices repetidos.incógnita3{\displaystyle x_{3}}las coordenadas están fuera del plano mientras que las coordenadasincógnita1{\displaystyle x_{1}}yincógnita2{\displaystyle x_{2}}están en el plano. Para una placa de espesor uniforme de espesor2h{\displaystyle 2h}y densidad de masa homogéneaρ{\displaystyle \rho }

J1:=∫−hhρ dincógnita3=2ρhyJ3:=∫−hhincógnita32 ρ dincógnita3=23ρh3.{\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}

Placas isotrópicas de Kirchhoff-Love

Para una placa isotrópica y homogénea, las relaciones tensión-deformación son:

[σ11σ22σ12]=mi1−ν2[1ν0ν10001−ν][ε11ε22ε12].{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}

dóndeεαβ{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}son las deformaciones en el plano yν{\displaystyle \nu }es el coeficiente de Poisson del material. Las relaciones deformación-desplazamiento para placas de Kirchhoff-Love son

εαβ=12(túα,β+túβ,α)−incógnita3w,αβ.{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}

Por lo tanto, los momentos resultantes correspondientes a estas tensiones son

[METRO11METRO22METRO12]=−2h3mi3(1−ν2) [1ν0ν10001−ν][w,11w,22w,12]{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}

Si ignoramos los desplazamientos en el planotúαβ{\displaystyle u_{\alpha \beta }}, las ecuaciones gobernantes se reducen a

D∇2∇2w=q(incógnita,t)−2ρhw¨{\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,}
dóndeD{\displaystyle D}es la rigidez a la flexión de la placa. Para una placa uniforme de espesor2h{\displaystyle 2h},
D:=2h3mi3(1−ν2).{\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}

La ecuación anterior también se puede escribir con una notación alternativa:

μΔΔw−q^+ρwtt=0.{\displaystyle \mu \Delta \Delta w-{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.}

En mecánica de sólidos , una placa se suele modelar como un cuerpo elástico bidimensional cuya energía potencial depende de cómo se dobla respecto a una configuración plana, en lugar de cómo se estira (como ocurre en el caso de una membrana, por ejemplo, la de un tambor). En tales situaciones, una placa vibrante puede modelarse de forma análoga a un tambor vibrante . Sin embargo, la ecuación diferencial parcial resultante para el desplazamiento vertical w de una placa respecto a su posición de equilibrio es de cuarto orden, e involucra el cuadrado del laplaciano de w , en lugar de segundo orden, y su comportamiento cualitativo es fundamentalmente diferente al del tambor de membrana circular.

Vibraciones libres de placas isotrópicas

Para vibraciones libres, la fuerza externa q es cero, y la ecuación que rige una placa isotrópica se reduce a

D∇2∇2w=−2ρhw¨{\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}}

o

μΔΔw+ρwtt=0.{\displaystyle \mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.}

Esta relación puede derivarse de forma alternativa considerando la curvatura de la placa. [ 15 ] La densidad de energía potencial de una placa depende de cómo se deforma la placa y, por lo tanto, de la curvatura media y la curvatura gaussiana de la placa. Para pequeñas deformaciones, la curvatura media se expresa en términos de w , el desplazamiento vertical de la placa desde el equilibrio cinético, como Δ w , el laplaciano de w , y la curvatura gaussiana es el operador de Monge-Ampère w xx w yy − w 2 xy . La energía potencial total de una placa Ω tiene, por lo tanto, la forma

U=∫Ω[(Δw)2+(1−μ)(wincógnitaincógnitawyy−wincógnitay2)]dincógnitady{\displaystyle U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}

aparte de una constante de normalización global no esencial. Aquí μ es una constante que depende de las propiedades del material.

La energía cinética viene dada por una integral de la forma

T=ρ2∫Ωwt2dincógnitady.{\displaystyle T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.}

El principio de Hamilton afirma que w es un punto estacionario con respecto a las variaciones de la energía total T + U. La ecuación diferencial parcial resultante es

ρwtt+μΔΔw=0.{\displaystyle \rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,}

placas circulares

Para placas circulares que vibran libremente,w=w(r,t){\displaystyle w=w(r,t)}y el laplaciano en coordenadas cilíndricas tiene la forma

∇2w≡1r∂∂r(r∂w∂r).{\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.}

Por lo tanto, la ecuación que rige las vibraciones libres de una placa circular de espesor2h{\displaystyle 2h}es

1r∂∂r[r∂∂r{1r∂∂r(r∂w∂r)}]=−2ρhD∂2w∂t2.{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}

Ampliado,

∂4w∂r4+2r∂3w∂r3−1r2∂2w∂r2+1r3∂w∂r=−2ρhD∂2w∂t2.{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}

Para resolver esta ecuación utilizamos la idea de separación de variables y asumimos una solución de la forma

w(r,t)=W(r)F(t).{\displaystyle w(r,t)=W(r)F(t)\,.}

Sustituyendo esta solución supuesta en la ecuación gobernante obtenemos

1βW[d4Wdr4+2rd3Wdr3−1r2d2Wdr2+1r3dWdr]=−1Fd2Fdt2=ω2{\displaystyle {\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}

dóndeω2{\displaystyle \omega ^{2}}es una constante yβ:=2ρh/D{\displaystyle \beta :=2\rho h/D} . La solución de la ecuación de la derecha es

F(t)=Re[Amiiωt+Bmi−iωt].{\displaystyle F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.}

La ecuación del lado izquierdo se puede escribir como

d4Wdr4+2rd3Wdr3−1r2d2Wdr2+1r3dWdr=λ4W{\displaystyle {\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W}

dóndeλ4:=βω2{\displaystyle \lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}}La solución general de este problema de valores propios , apropiada para placas, tiene la forma

W(r)=do1J0(λr)+do2I0(λr){\displaystyle W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)}

dóndeJ0{\displaystyle J_{0}}es la función de Bessel de orden 0 de primera especie yI0{\displaystyle I_{0}}es la función de Bessel modificada de orden 0 de primera especie. Las constantesdo1{\displaystyle C_{1}}ydo2{\displaystyle C_{2}}se determinan a partir de las condiciones de contorno. Para una placa de radioa{\displaystyle a}con una circunferencia fija, las condiciones de contorno son

W(r)=0ydWdr=0enr=a.{\displaystyle W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.}

A partir de estas condiciones de contorno encontramos que

J0(λa)I1(λa)+I0(λa)J1(λa)=0.{\displaystyle J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.}

Podemos resolver esta ecuación paraλnorte{\displaystyle \lambda _{n}}(y hay un número infinito de raíces) y a partir de eso se hallan las frecuencias modales.ωnorte=λnorte2/β{\displaystyle \omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}}También podemos expresar el desplazamiento de la forma

w(r,t)=∑norte=1∞donorte[J0(λnorter)−J0(λnortea)I0(λnortea)I0(λnorter)][Anortemiiωnortet+Bnortemi−iωnortet].{\displaystyle w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}

Para una frecuencia dadaωnorte{\displaystyle \omega _{n}}El primer término dentro de la suma en la ecuación anterior da la forma modal. Podemos encontrar el valor dedonorte{\displaystyle C_{n}}utilizando la condición de contorno apropiada enr=0{\displaystyle r=0}y los coeficientesAnorte{\displaystyle A_{n}}yBnorte{\displaystyle B_{n}}a partir de las condiciones iniciales aprovechando la ortogonalidad de los componentes de Fourier.

placas rectangulares

Un modo de vibración de una placa rectangular.

Consideremos una placa rectangular que tiene dimensionesa×b{\displaystyle a\times b}en el(incógnita1,incógnita2){\displaystyle (x_{1},x_{2})}-plano y espesor2h{\displaystyle 2h}en elincógnita3{\displaystyle x_{3}}-dirección. Buscamos encontrar los modos de vibración libre de la placa.

Supongamos un campo de desplazamiento de la forma

w(incógnita1,incógnita2,t)=W(incógnita1,incógnita2)F(t).{\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.}

Entonces,

∇2∇2w=w,1111+2w,1212+w,2222=[∂4W∂incógnita14+2∂4W∂incógnita12∂incógnita22+∂4W∂incógnita24]F(t){\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)}

y

w¨=W(incógnita1,incógnita2)d2Fdt2.{\displaystyle {\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.}

Sustituyendo estos valores en la ecuación gobernante se obtiene

D2ρhW[∂4W∂incógnita14+2∂4W∂incógnita12∂incógnita22+∂4W∂incógnita24]=−1Fd2Fdt2=ω2{\displaystyle {\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}

dóndeω2{\displaystyle \omega ^{2}}es una constante porque el lado izquierdo es independiente det{\displaystyle t}mientras que el lado derecho es independiente deincógnita1,incógnita2{\displaystyle x_{1},x_{2}}Desde el lado derecho, entonces tenemos

F(t)=Amiiωt+Bmi−iωt.{\displaystyle F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.}

Desde el lado izquierdo,

∂4W∂incógnita14+2∂4W∂incógnita12∂incógnita22+∂4W∂incógnita24=2ρhω2DW=:λ4W{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}

dónde

λ2=ω2ρhD.{\displaystyle \lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.}

Dado que la ecuación anterior es un problema de valores propios biarmónico , buscamos soluciones de expansión de Fourier de la forma

Wmetronorte(incógnita1,incógnita2)=pecado⁡metroπincógnita1apecado⁡norteπincógnita2b.{\displaystyle W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.}

Podemos comprobar que esta solución satisface las condiciones de contorno para una placa rectangular que vibra libremente con bordes simplemente apoyados:

w(incógnita1,incógnita2,t)=0enincógnita1=0,ayincógnita2=0,bMETRO11=D(∂2w∂incógnita12+ν∂2w∂incógnita22)=0enincógnita1=0,aMETRO22=D(∂2w∂incógnita22+ν∂2w∂incógnita12)=0enincógnita2=0,b.{\displaystyle {\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}}

Sustituyendo la solución en la ecuación biarmónica obtenemos

λ2=π2(metro2a2+norte2b2).{\displaystyle \lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.}

Comparación con la expresión anterior paraλ2{\displaystyle \lambda ^{2}}indica que podemos tener un número infinito de soluciones con

ωmetronorte=(metro2a2+norte2b2)Dπ42ρh.{\displaystyle \omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}

Por lo tanto, la solución general para la ecuación de la placa es

w(incógnita1,incógnita2,t)=∑metro=1∞∑norte=1∞pecado⁡metroπincógnita1apecado⁡norteπincógnita2b(Ametronortemiiωmetronortet+Bmetronortemi−iωmetronortet).{\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}

Para encontrar los valores deAmetronorte{\displaystyle A_{mn}}yBmetronorte{\displaystyle B_{mn}}utilizamos condiciones iniciales y la ortogonalidad de los componentes de Fourier. Por ejemplo, si

w(incógnita1,incógnita2,0)=φ(incógnita1,incógnita2)enincógnita1∈[0,a]y∂w∂t(incógnita1,incógnita2,0)=ψ(incógnita1,incógnita2)enincógnita2∈[0,b]{\displaystyle w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]}

obtenemos,

Ametronorte=4ab∫0a∫0bφ(incógnita1,incógnita2)pecado⁡metroπincógnita1apecado⁡norteπincógnita2bdincógnita1dincógnita2Bmetronorte=4abωmetronorte∫0a∫0bψ(incógnita1,incógnita2)pecado⁡metroπincógnita1apecado⁡norteπincógnita2bdincógnita1dincógnita2.{\displaystyle {\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}}

Referencias

  1. ↑ Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y láminas elásticas , CRC Press, Taylor and Francis.
  2. ↑ AEH Love , Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las cáscaras elásticas , Philosophical trans. of the Royal Society (Londres), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
  3. ↑ Uflyand, Ya. S., 1948, Propagación de ondas por vibraciones transversales de vigas y placas, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 12, pp. 287-300 (en ruso)
  4. ↑ Mindlin, RD 1951, Influencia de la inercia rotacional y el esfuerzo cortante en los movimientos de flexión de placas elásticas isotrópicas, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 18 pp. 31–38
  5. ↑ Elishakoff, I., 2020, Handbook on Timoshenko-Ehrenfest Beam and Uflyand-Mindlin Plate Theories , World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6
  6. ↑ Leissa, AW, 1969, Vibración de placas, NASA SP-160, Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos
  7. ^ Leissa, AW y Qatu, MS, 2011, Vibración de sistemas continuos, Nueva York: Mc Graw-Hill
  8. ↑ Gontkevich, VS, 1964, Vibraciones naturales de placas y cáscaras, Kiev: Editorial “Naukova Dumka”, 1964 (en ruso); (Traducción al inglés: Lockheed Missiles & Space Co., Sunnyvale, CA)
  9. ↑ Rao, SS, Vibración de sistemas continuos, Nueva York: Wiley
  10. ↑ Soedel, W., 1993, Vibraciones de cáscaras y placas, Nueva York: Marcel Dekker Inc., (segunda edición)
  11. ↑ Yu, YY, 1996, Vibraciones de placas elásticas, Nueva York: Springer
  12. ↑ Gorman, D., 1982, Análisis de vibración libre de placas rectangulares, Ámsterdam: Elsevier
  13. ↑ Gorman, DJ, 1999, Análisis de vibraciones de placas mediante el método de superposición, Singapur: World Scientific
  14. ↑ Rao, JS, 1999, Dinámica de placas, Nueva Delhi: Narosa Publishing House
  15. ↑ Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática. Vol. I , Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, MR 0065391 

Véase también