Topología de cuerdas

La topología de cuerdas , una rama de las matemáticas , es el estudio de estructuras algebraicas en la homología de espacios de lazos libres . Este campo fue iniciado por Moira Chas y Dennis Sullivan ( 1999 ) . 

Si bien la cohomología singular de un espacio siempre tiene una estructura de producto, esto no es cierto para la homología singular de un espacio. Sin embargo, es posible construir dicha estructura para una variedad orientada.${\displaystyle M}$de dimensión${\displaystyle d}$Este es el llamado producto de intersección . Intuitivamente, se puede describir de la siguiente manera: dadas las clases${\displaystyle x\in H_{p}(M)}$y${\displaystyle y\in H_{q}(M)}$tomar su producto${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$y hazla transversal a la diagonal${\displaystyle M\hookrightarrow M\times M}$. La intersección es entonces una clase en${\displaystyle H_{p+qd}(M)}$, el producto de intersección de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Una forma de hacer rigurosa esta construcción es utilizar estratifolds .

Otro caso, donde la homología de un espacio tiene un producto, es el espacio de bucles (basado).${\displaystyle \Omega X}$de un espacio${\displaystyle X}$Aquí el espacio en sí tiene un producto

${\displaystyle m\colon \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

pasando primero por el primer bucle y luego por el segundo. No existe una estructura de producto análoga para el espacio de bucles libres.${\displaystyle LX}$de todos los mapas de${\displaystyle S^{1}}$a${\displaystyle X}$ya que los dos bucles no necesitan tener un punto común. Un sustituto para el mapa${\displaystyle m}$es el mapa

${\displaystyle \gamma \colon {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM}$

dónde${\displaystyle {\rm {Mapa}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$es el subespacio de${\displaystyle LM\times LM}$, donde el valor de los dos bucles coincide en 0 y${\displaystyle \gamma }$se define nuevamente mediante la composición de los bucles.

La idea del producto Chas-Sullivan es combinar ahora las estructuras de producto anteriores. Consideremos dos clases.${\displaystyle x\in H_{p}(LM)}$y${\displaystyle y\in H_{q}(LM)}$Su producto${\displaystyle x\times y}$se encuentra en${\displaystyle H_{p+q}(LM\times LM)}$Necesitamos un mapa.

${\displaystyle i^{!}\colon H_{p+q}(LM\times LM)\to H_{p+qd}({\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)).}$

Una forma de construir esto es usar estratifolds (u otra definición geométrica de homología) para hacer intersección transversal (después de interpretar${\displaystyle {\rm {Mapa}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM}$como una inclusión de variedades de Hilbert ). Otro enfoque comienza con el mapa de colapso de${\displaystyle LM\times LM}$al espacio de Thom del fibrado normal de${\displaystyle {\rm {Mapa}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$Al componer el mapa inducido en homología con el isomorfismo de Thom , obtenemos el mapa que queremos.

Ahora podemos componer${\displaystyle i^{!}}$con el mapa inducido de${\displaystyle \gamma }$para obtener una clase en${\displaystyle H_{p+qd}(LM)}$, el producto Chas-Sullivan de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$(véase, por ejemplo , Cohen y Jones (2002) ).

• Al igual que en el caso del producto de intersección, existen diferentes convenciones de signos para el producto de Chas-Sullivan. En algunas convenciones, es conmutativo graduado, en otras no.
• La misma construcción funciona si reemplazamos${\displaystyle H}$por otra teoría de homología multiplicativa${\displaystyle h}$si${\displaystyle M}$está orientado con respecto a${\displaystyle h}$.
• Además, podemos reemplazar${\displaystyle LM}$por${\displaystyle L^{n}M={\rm {Mapa}}(S^{n},M)}$. Mediante una sencilla variación de la construcción anterior, obtenemos que${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}({\rm {Mapa}}(N,M))}$es un módulo sobre${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}L^{n}M}$si${\displaystyle N}$es una variedad de dimensiones${\displaystyle n}$.
• La secuencia espectral de Serre es compatible con las estructuras algebraicas anteriores para ambos haces de fibras.${\displaystyle {\rm {ev}}\colon LM\to M}$con fibra${\displaystyle \Omega M}$y el haz de fibras${\displaystyle LE\to LB}$para un haz de fibras${\displaystyle E\to B}$, lo cual es importante para los cálculos (ver Cohen, Jones y Yan (2004) y Meier (2010) harvtxt error: no target: CITEREFMeier2010 ( help ) ).

Hay una acción${\displaystyle S^{1}\times LM\to LM}$por rotación, lo que induce un mapa

${\displaystyle H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM)}$.

Conectando la clase fundamental${\displaystyle [S^{1}]\in H_{1}(S^{1})}$, le da un operador

${\displaystyle \Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)}$

de grado 1. Se puede demostrar que este operador interactúa bien con el producto de Chas-Sullivan en el sentido de que juntos forman la estructura de un álgebra de Batalin-Vilkovisky en${\displaystyle {\mathcal {}}H_{*}(LM)}$Este operador tiende a ser difícil de calcular en general. Las identidades definitorias de un álgebra de Batalin-Vilkovisky se verificaron en el artículo original "mediante imágenes". Una forma menos directa, pero posiblemente más conceptual, de hacerlo podría ser utilizando una acción de una operada de cactus en el espacio de bucles libres.${\displaystyle LM}$. ^{[ 1 ]} La operada del cactus es débilmente equivalente a la operada de los discos pequeños enmarcados ^{[ 2 ]} y su acción sobre un espacio topológico implica una estructura de Batalin-Vilkovisky en homología. ^{[ 3 ]}

Existen varios intentos de construir teorías de campos (topológicas) mediante la topología de cuerdas. La idea básica es fijar una variedad orientada.${\displaystyle M}$y asociar a cada superficie con${\displaystyle p}$entrantes y${\displaystyle q}$componentes de límite salientes (con${\displaystyle n\geq 1}$) una operación

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}$

que cumple los axiomas habituales para una teoría de campos topológica . El producto de Chas-Sullivan está asociado al par de pantalones . Se puede demostrar que estas operaciones son 0 si el género de la superficie es mayor que 0 ( Tamanoi (2010) ).