Cardenal fuerte

En teoría de conjuntos , un cardinal fuerte es un tipo de cardinal grande . Es un debilitamiento de la noción de cardinal supercompacto .

Si λ es cualquier ordinal , κ es λ -fuerte significa que κ es un número cardinal y existe una incrustación elemental j del universo V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y

${\displaystyle V_{\lambda }\subseteq M}$

Es decir, M está de acuerdo con V en un segmento inicial. Entonces, que κ sea fuerte significa que es λ -fuerte para todos los ordinales λ .

Por definición, los cardinales fuertes se sitúan por debajo de los cardinales supercompactos y por encima de los cardinales medibles en la jerarquía de fuerza de consistencia.

κ es κ +1-fuerte si y solo si es medible. Si κ es fuerte o λ -fuerte para λ ≥ κ +2, entonces el ultrafiltro U que evidencia que κ es medible estará en V _{κ +2} y por lo tanto en M . Así que para cualquier α < κ , tenemos que existe un ultrafiltro U en j ( V _κ ) − j ( V _α ), recordando que j ( α ) = α . Usando la incrustación elemental hacia atrás, obtenemos que hay un ultrafiltro en V _κ − V _α . Por lo tanto hay cardinales medibles arbitrariamente grandes por debajo de κ que es regular, y por lo tanto κ es un límite de κ -muchos cardinales medibles.

Los cardenales fuertes también se sitúan por debajo de los cardenales superfuertes y los cardenales de Woodin en cuanto a consistencia. Sin embargo, el cardenal menos fuerte es mayor que el cardenal superfuerte menos fuerte.

Todo cardinal fuerte es fuertemente desplegable y, por lo tanto, totalmente indescriptible .