Cardenal desplegable

En matemáticas , un cardinal desplegable es un cierto tipo de número cardinal grande .

Formalmente, un número cardinal κ es λ-desplegable si y solo si para cada modelo transitivo M de cardinalidad κ de conjunto potencia ZFC -menos- tal que κ está en M y M contiene todas sus secuencias de longitud menor que κ, hay una incrustación elemental no trivial j de M en un modelo transitivo con el punto crítico de j siendo κ y j (κ) ≥ λ.

Un cardinal es desplegable si y sólo si es λ-desplegable para todos los ordinales λ.

Un número cardinal κ es fuertemente λ-desplegable si y solo si para cada modelo transitivo M de cardinalidad κ de conjunto potencia ZFC -menos- tal que κ está en M y M contiene todas sus secuencias de longitud menor que κ, hay una incrustación elemental no trivial j de M en un modelo transitivo "N" con el punto crítico de j siendo κ, j (κ) ≥ λ, y V(λ ) es un subconjunto de N. Sin pérdida de generalidad , podemos exigir también que N contenga todas sus secuencias de longitud λ.

De manera similar, un cardinal es fuertemente desplegable si y sólo si es fuertemente λ-desplegable para todo λ.

Estas propiedades son esencialmente versiones más débiles de los cardinales fuertes y supercompactos , consistentes con V = L . Muchos teoremas relacionados con estos cardinales tienen generalizaciones para sus contrapartes desplegables o fuertemente desplegables. Por ejemplo, la existencia de un fuertemente desplegable implica la consistencia de una versión ligeramente más débil del axioma de forzamiento adecuado .

Suponiendo que V = L, el cardenal menos desplegable es mayor que el cardenal menos indescriptible. ^{[1] p.14} Suponiendo que existe un cardenal de Ramsey, es menor que el cardenal menos indescriptible. ^{[1] p.3}

Un cardenal de Ramsey es desdoblable y será fuertemente desdoblable en L. Sin embargo, puede no ser fuertemente desdoblable en V. ^{[ cita requerida ]}

En L, cualquier cardinal desplegable es fuertemente desplegable; por lo tanto, desplegable y fuertemente desplegable tienen la misma fuerza de consistencia . ^{[ cita requerida ]}

Un cardinal k es κ-fuertemente desplegable y κ-desplegable si y solo si es débilmente compacto . Un cardinal κ+ω-desplegable es indescriptible y está precedido por un conjunto estacionario de cardinales totalmente indescriptibles. ^{[ cita requerida ]}