C 0 -semigrupo

Consideremos el espacio de Banach.${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continuous}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ such that }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$dotado de la norma suprema${\displaystyle \Vert f\Vert$ :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert } . Sea${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ser una función continua con${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$El operador${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$con dominio${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$es un operador cerrado densamente definido y genera el semigrupo de multiplicación.${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$dónde${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$Los operadores de multiplicación pueden verse como la generalización de dimensión infinita de las matrices diagonales y muchas de las propiedades de${\displaystyle M_{q}}$se puede derivar de las propiedades de ${\displaystyle q}$. Por ejemplo${\displaystyle M_{q}}$está delimitado por${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$si y solo si${\displaystyle q}$está acotado . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$sea ​​el espacio de funciones acotadas y uniformemente continuas en${\displaystyle \mathbb {R} }$dotado de la norma suprema. El semigrupo de traslación (izquierda) ${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$es dado por${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$.

Su generador es el derivado${\displaystyle Af:=f'}$con dominio${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$. ^{[ 5 ]}

El semigrupo fuertemente continuo${\textstyle T}$Se denomina uniformemente continua si el mapa${\textstyle t\to T(t)}$es continuo desde${\textstyle [0,\infty )}$a${\textstyle L(X)}$.

El generador de un semigrupo uniformemente continuo es un operador acotado .

Un semigrupo C ₀${\textstyle (T(t))_{t\geq 0}}$Se denomina semigrupo de cuasicontracción si existe una constante.${\textstyle \omega }$de tal manera que${\textstyle \|T(t)\|\leq \exp(\omega t)}$a pesar de${\textstyle t\geq 0}$Se denomina semigrupo de contracción si${\textstyle \|T(t)\|\leq 1}$a pesar de${\textstyle t\geq 0}$. ^{[ 8 ]}

Un semigrupo fuertemente continuo${\textstyle T}$Se denomina eventualmente diferenciable si existe un${\textstyle t_{0}>0}$de tal manera que${\textstyle T(t_{0})X\subset D(A)}$(equivalentemente:${\textstyle T(t)X\subset D(A)}$a pesar de${\textstyle t\geq t_{0}}$) y${\textstyle T}$es inmediatamente diferenciable si${\textstyle T(t)X\subset D(A)}$a pesar de${\textstyle t>0}$.

Cada semigrupo analítico es inmediatamente diferenciable.

Una caracterización equivalente en términos de problemas de Cauchy es la siguiente: el semigrupo fuertemente continuo generado por${\textstyle A}$es eventualmente diferenciable si y solo si existe un${\textstyle t_{1}\geq 0}$de tal manera que para todos${\textstyle x\in X}$la solución${\textstyle u}$del problema abstracto de Cauchy es diferenciable en${\textstyle (t_{1},\infty )}$. El semigrupo es inmediatamente diferenciable si${\textstyle t_{1}}$puede elegirse como cero.

Un semigrupo fuertemente continuo${\textstyle T}$Se denomina eventualmente compacto si existe un${\textstyle t_{0}>0}$de tal manera que${\textstyle T(t_{0})}$es un operador compacto (equivalentemente ^{[ 9 ]} si${\textstyle T(t)}$es un operador compacto para todos${\textstyle t\geq t_{0}}$). El semigrupo se llama inmediatamente compacto si${\textstyle T(t)}$es un operador compacto para todos${\textstyle t>0}$.

Un semigrupo fuertemente continuo se denomina eventualmente continuo en norma si existe un${\textstyle t_{0}\geq 0}$de tal manera que el mapa${\textstyle t\mapsto T(t)}$es continuo desde${\textstyle (t_{0},\infty )}$a${\textstyle L(X)}$. El semigrupo se denomina inmediatamente continuo en norma si${\textstyle t_{0}}$puede elegirse como cero.

Nótese que para un semigrupo inmediatamente continuo en norma, el mapa${\textstyle t\mapsto T(t)}$puede no ser continuo en${\textstyle t=0}$(Eso haría que el semigrupo fuera uniformemente continuo).

Los semigrupos analíticos, los semigrupos (eventualmente) diferenciables y los semigrupos (eventualmente) compactos son todos eventualmente continuos en norma. ^{[ 10 ]}

El límite de crecimiento de un semigrupo${\textstyle T}$es la constante

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

Se le llama así porque este número es también el ínfimo de todos los números reales.${\textstyle \omega }$de tal manera que exista una constante${\textstyle M>0}$con

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

a pesar de${\textstyle t\geq 0}$.

Los siguientes son equivalentes: ^{[ 11 ]}

1. Existen${\textstyle M,\omega >0}$de tal manera que para todos${\textstyle t\geq 0}$: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. El límite de crecimiento es negativo:${\textstyle \omega _{0}<0}$,
3. El semigrupo converge a cero en la topología de operador uniforme :${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$,
4. Existe un${\textstyle t_{0}>0}$de tal manera que${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$,
5. Existe un${\textstyle t_{1}>0}$de tal manera que el radio espectral de${\textstyle T(t_{1})}$es estrictamente menor que 1,
6. Existe un${\textstyle p\in [1,\infty )}$de tal manera que para todos${\textstyle x\in X}$:${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$,
7. A pesar de${\textstyle p\in [1,\infty )}$y todo${\textstyle x\in X}$:${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

Un semigrupo que satisface estas condiciones equivalentes se denomina exponencialmente estable o uniformemente estable (cualquiera de las tres primeras afirmaciones anteriores se toma como definición en ciertas partes de la literatura). Que el${\textstyle L^{p}}$Las condiciones son equivalentes a la estabilidad exponencial, lo que se conoce como el teorema de Datko-Pazy .

En caso${\textstyle X}$es un espacio de Hilbert hay otra condición que es equivalente a la estabilidad exponencial en términos del operador resolvente del generador: ^{[ 12 ]} todo${\textstyle \lambda }$con parte real positiva pertenecen al conjunto resolvente de${\textstyle A}$y el operador resolvente está uniformemente acotado en el semiplano derecho, es decir${\textstyle (\lambda I-A)^{-1}}$pertenece al espacio Hardy${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$Esto se conoce como el teorema de Gearhart-Pruss .

El límite espectral de un operador A es la constante

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda$ :\lambda \in \sigma (A)\}} ,

con la convención de que${\textstyle s(A)=-\infty }$si el espectro de A está vacío.

El límite de crecimiento de un semigrupo y el límite espectral de su generador están relacionados por ^{[ 13 ].}${\textstyle s(A)\leq \omega _{0}(T)}$. Hay ejemplos ^{[ 14 ]} donde${\textstyle s(A)<\omega _{0}(T)}$. Si s(A) = \omega_0(T), entonces${\textstyle T}$Se dice que satisface la condición de crecimiento determinado espectralmente . Eventualmente, los semigrupos con norma continua satisfacen la condición de crecimiento determinado espectralmente. ^{[ 15 ]} Esto proporciona otra caracterización equivalente de la estabilidad exponencial para estos semigrupos:

• Un semigrupo eventualmente continuo en norma es exponencialmente estable si y solo si${\textstyle s(A)<0}$.

Nótese que los semigrupos eventualmente compactos, eventualmente diferenciables, analíticos y uniformemente continuos son eventualmente continuos en norma, de modo que la condición de crecimiento determinada espectralmente se cumple en particular para esos semigrupos.

Un semigrupo fuertemente continuo${\textstyle T}$Se denomina fuertemente estable o asintóticamente estable si para todo${\textstyle x\in X}$:${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$.

La estabilidad exponencial implica una fuerte estabilidad, pero lo contrario no es generalmente cierto si${\textstyle X}$es de dimensión infinita (es cierto para${\textstyle X}$de dimensión finita).

La siguiente condición suficiente para la estabilidad fuerte se denomina teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Phong : ^{[ 16 ] [ 17 ]} Supongamos que

1. ${\textstyle T}$está acotado: existe un${\textstyle M\geq 1}$de tal manera que${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$,
2. ${\textstyle A^{*}}$no tiene espectro de puntos en el eje imaginario, y
3. El espectro de${\textstyle A}$Lo que se encuentra en el eje imaginario es contable.

Entonces${\textstyle T}$es altamente estable.

Si${\textstyle X}$es reflexivo entonces las condiciones se simplifican: si${\textstyle T}$está limitado,${\textstyle A}$no tiene valores propios en el eje imaginario y el espectro de${\textstyle A}$si se encuentra en el eje imaginario y es contable, entonces${\textstyle T}$es altamente estable.