Teorema de comparación de Sturm-Picone

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de comparación de Sturm-Picone , que lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm y Mauro Picone , es un teorema clásico que proporciona criterios para la oscilación y la no oscilación de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales lineales en el dominio real.

Sean $p i$ , $q i$ para $i = 1, 2$ funciones continuas de valor real en el intervalo $[a, b]$ y sea

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

sean dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden en forma autoadjunta con

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

y

q_{1}(x)\leq q_{2}(x).

Sea $u$ una solución no trivial de (1) con raíces sucesivas en $z 1$ y $z 2$ y sea $v$ una solución no trivial de (2). Entonces se cumple una de las siguientes propiedades.

Existe un $x$ en $(z1, z2) tal$ que $v (x$ $)$ $=$ $0$ ; $o$
Existe un $λ$ en R tal que $v (x) = λ u (x)$ .

La primera parte de la conclusión se debe a Sturm (1836), ^{[ 1 ]} mientras que la segunda parte (alternativa) del teorema se debe a Picone (1910) ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} cuya sencilla demostración se dio utilizando su ahora famosa identidad de Picone . En el caso especial en que ambas ecuaciones son idénticas, se obtiene el teorema de separación de Sturm . ^{[ 4 ]}

Notas

^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
^ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione diferenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Norma de la escuela. Pisa 11 (1909), 1–141.
↑ Hinton, D. (2005). "Los resultados de la oscilación de Sturm de 1836: Evolución de la teoría". Teoría de Sturm-Liouville . págs. 1–27 . doi : 10.1007/3-7643-7359-8_1 . ISBN 3-7643-7066-1.
↑ Para una extensión de este importante teorema a un teorema de comparación que involucra tres o más ecuaciones reales de segundo orden, véase el teorema de comparación de Hartman-Mingarelli, donde se dio una demostración sencilla utilizando la identidad de Mingarelli.

Referencias

Diaz, JB; McLaughlin, Joyce R. Teoremas de comparación de Sturm para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335 – 339
Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable , página 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1.
Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.

[1] C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186

[2] M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione diferenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Norma de la escuela. Pisa 11 (1909), 1–141.

[3] Hinton, D. (2005). "Los resultados de la oscilación de Sturm de 1836: Evolución de la teoría". Teoría de Sturm-Liouville . págs. 1–27 . doi : 10.1007/3-7643-7359-8_1 . ISBN 3-7643-7066-1.

[4] Para una extensión de este importante teorema a un teorema de comparación que involucra tres o más ecuaciones reales de segundo orden, véase el teorema de comparación de Hartman-Mingarelli, donde se dio una demostración sencilla utilizando la identidad de Mingarelli.

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