Subdivisión (complejo simplicial)

Una subdivisión (también llamada refinamiento ) de un complejo simplicial es otro complejo simplicial en el que, intuitivamente, uno o más símplices del complejo original se han dividido en símplices más pequeños. La subdivisión más utilizada es la baricéntrica , pero el término es más general. La subdivisión se define de maneras ligeramente diferentes en distintos contextos.

En complejos simpliciales geométricos

Sea K un complejo simplicial geométrico (CSG). Una subdivisión de K es un CSG L tal que: ^{[ 1 ]}^{: 15}^{[ 2 ]}^{: 3}

| K | = | L |, es decir, la unión de símplices en K es igual a la unión de símplices en L (cubren la misma región en el espacio).
cada símplex de L está contenido en algún símplex de K.

Por ejemplo, sea K un GSC que contiene un único triángulo {A,B,C} (con todas sus caras y vértices). Sea D un punto en la cara AB. Sea L el complejo que contiene los dos triángulos {A,D,C} y {B,D,C} (con todas sus caras y vértices). Entonces L es una subdivisión de K , ya que los dos triángulos {A,D,C} y {B,D,C} están contenidos en {A,B,C}, y de manera similar, las caras {A,D} y {D,B} están contenidas en la cara {A,B}, y la cara {D,C} está contenida en {A,B,C}.

Subdivisión protagonizada por

Una forma de obtener una subdivisión de K es elegir un punto arbitrario x en | K |, eliminar cada símplice s en K que contenga x y reemplazarlo con el cierre del siguiente conjunto de símplices:

$\{x\star t|t~{\text{ es una cara de }}s{\text{ y }}x\not \in t\}$

dónde $x\star t$ es la unión del punto x y la cara t . Este proceso se llama fijación en x . ^{[ 1 ]}^{: 15}

Una subdivisión estelar es una subdivisión obtenida al observar secuencialmente desde diferentes puntos. ^{[ 1 ]}^{: 15}

Una subdivisión derivada es una subdivisión obtenida mediante el siguiente proceso inductivo. ^{[ 2 ]}^{: 3}

Marca cada simplex unidimensional (un segmento) en algún punto interno;
Marque cada símplice bidimensional en algún punto interno, sobre la subdivisión de los símplices unidimensionales;
... Apunta cada símplice k -dimensional en algún punto interno, sobre la subdivisión de los símplices ( k -1)-dimensionales.

La subdivisión baricéntrica es una subdivisión derivada donde los puntos utilizados para marcar son siempre baricentros de símplices. Por ejemplo, si D, E, F, G son los baricentros de {A,B}, {A,C}, {B,C}, {A,B,C} respectivamente, entonces la primera subdivisión baricéntrica de {A,B,C} es la clausura de {A,D,G}, {B,D,G}, {A,E,G}, {C,E,G}, {B,F,G}, {C,F,G}.

Se pueden utilizar subdivisiones iteradas para obtener triangulaciones arbitrariamente finas de un poliedro dado .

Un importante problema abierto plantea la cuestión de si dos complejos simpliciales cualesquiera con el mismo espacio subyacente poseen una subdivisión estelar iterada común. Esto se conoce como la conjetura de Alexander.

En complejos simpliciales abstractos

Sea K un complejo simplicial abstracto (CSA). El poset de caras de K es un poset formado por todos los símplices no vacíos de K , ordenados por inclusión (que es un orden parcial). Por ejemplo, el poset de caras de la clausura de {A,B,C} es el poset con las siguientes cadenas:

{A} < {A,B} < {A,B,C}
{A} < {A,C} < {A,B,C}
{B} < {A,B} < {A,B,C}
{B} < {B,C} < {A,B,C}
{C} < {A,C} < {A,B,C}
{C} < {B,C} < {A,B,C}

El complejo ordenado de un poset P es un ASC cuyos vértices son los elementos de P y cuyos símplices son las cadenas de P.

La primera subdivisión baricéntrica de un ASC K es el complejo de orden de su poset de caras. ^{[ 3 ]}^{: 18–19} El complejo de orden del poset anterior es la clausura de los siguientes símplices:

{ {A} , {A,B} , {A,B,C} }
{ {A} , {A,C} , {A,B,C} }
{ {B} , {A,B} , {A,B,C} }
{ {B} , {B,C} , {A,B,C} }
{ {C} , {A,C} , {A,B,C} }
{ {C} , {B,C} , {A,B,C} }

Tenga en cuenta que este ASC es isomorfo al ASC {A,D,G}, {B,D,G}, {A,E,G}, {C,E,G}, {B,F,G}, {C,F,G}, con la asignación: A={A}, B={B}, C={C}, D={A,B}, E={A,C}, F={B,C}, G={A,B,C}.

La realización geométrica de la subdivisión de K es siempre homeomorfa a la realización geométrica de K. ^{[ 3 ]}^{: 20, Ejercicio 1*}

Véase también

Subdivisión (conjunto simplicial)

Referencias

1 2 3 Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3.
1 2 Bryant, John L. (2001-01-01), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes" , en Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), Manual de topología geométrica , Ámsterdam: North-Holland, pp. 219–259 , ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022
1 2 Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler ., Sección 4.3

[:0-1] 1 2 3 Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3.

[:1-2] 1 2 Bryant, John L. (2001-01-01), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes" , en Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), Manual de topología geométrica , Ámsterdam: North-Holland, pp. 219–259 , ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022

[:02-3] 1 2 Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler ., Sección 4.3