clasificador de subobjetos

En el campo matemático de la teoría de categorías , un clasificador de subobjetos es un objeto especial.${\displaystyle \Omega }$de una categoría tal que, informalmente, los subobjetos de cualquier objeto${\displaystyle X}$corresponden a los morfismos de${\displaystyle X}$a${\displaystyle \Omega }$Esto proporciona un análogo del conjunto de booleanos .${\displaystyle \{0,1\}}$en categorías distintas a la categoría de conjuntos .

El uso principal de los clasificadores de subobjetos se encuentra en la teoría de topos , donde un topos elemental se define como una categoría con un clasificador de subobjetos y ciertos requisitos adicionales. En el lenguaje interno de un topos elemental, el clasificador de subobjetos se utiliza para interpretar valores de verdad, de ahí el nombre alternativo de "objeto de valores de verdad".

Dejar${\displaystyle X}$ser un conjunto. Un subconjunto${\displaystyle Y\subsetequ X}$puede describirse de forma equivalente mediante su función indicadora.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{Y}:X&\to \{0,1\}\\x&\mapsto {\begin{cases}1{\text{ si }}x\in Y\\0{\text{ si }}x\notin Y\end{cases}}\end{aligned}}}$$

De manera informal, subconjuntos de${\displaystyle X}$se pueden identificar con funciones${\displaystyle X\to \{0,1\}}$Un clasificador de subobjetos${\displaystyle \Omega }$de una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es un objeto que desempeña un papel similar al${\displaystyle \{0,1\}}$¿Pertenece a la categoría de conjuntos : subobjetos de un objeto?${\displaystyle X}$se pueden identificar con morfismos de${\displaystyle X}$al clasificador de subobjetos. Para recuperar el subconjunto con la función indicadora${\displaystyle \chi }$De una manera “puramente categórica”, se puede dar un paso atrás.

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&Y&\rightarrow &\{1\}&\\&\downarrow &&\downarrow \\&X&{\underset {\chi }{\rightarrow }}&\{0,1\}&\\\end{array}}}$$

donde la función de${\displaystyle \{1\}}$a${\displaystyle \{0,1\}}$es el mapa de inclusión . De hecho, el subconjunto${\displaystyle Y:=\{x\in X\mid \chi (x)=1\}}$, equipado con el mapa de inclusión${\displaystyle Y\to X}$(y el mapa único y constante${\displaystyle Y\to \{1\}}$) es tal retroceso porque tiene la propiedad universal correcta ya que un mapeo en${\displaystyle X}$lo que da la función constante 1 cuando se compone con${\displaystyle \chi }$es lo mismo que un mapa de entrada${\displaystyle Y}$. Una caracterización puramente categórica de “${\displaystyle Y}$es el subconjunto con función característica${\displaystyle \chi }$” es que el diagrama anterior es un retroceso.

Para la definición general, comenzamos con una categoría C que tiene un objeto terminal , que denotamos por 1. El objeto Ω de C es un clasificador de subobjetos para C si existe un morfismo

1 → Ω

con la siguiente propiedad:

Para cada monomorfismo j : U → X existe un único morfismo χ _j : X → Ω tal que el siguiente diagrama conmutativo

es un diagrama de retroceso , es decir, U es el límite del diagrama:

El morfismo χ _j se denomina entonces morfismo clasificador para el subobjeto representado por j .

Un quasitopos tiene un objeto que es casi un clasificador de subobjetos; solo clasifica subobjetos fuertes.

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