Conjetura de Sullivan

En matemáticas , la conjetura de Sullivan o la conjetura de Sullivan sobre mapas de espacios clasificadores puede referirse a cualquiera de los diversos resultados y conjeturas derivados del trabajo de Dennis Sullivan sobre la teoría de la homotopía . Un tema y motivación básicos conciernen al conjunto de puntos fijos en las acciones de grupo de un grupo finito.${\displaystyle G}$Sin embargo, la formulación más elemental se da en términos del espacio de clasificación.${\displaystyle BG}$de tal grupo. En términos generales, es difícil trazar un mapa de ese espacio.${\displaystyle BG}$continuamente en un complejo CW finito${\displaystyle X}$de una manera no trivial. Tal versión de la conjetura de Sullivan fue demostrada por primera vez por Haynes Miller . ^{[ 1 ]} Específicamente, en 1984, Miller demostró que el espacio de funciones , que lleva la topología compacta-abierta , de aplicaciones que preservan el punto base de${\displaystyle BG}$a${\displaystyle X}$es débilmente contraíble .

Esto es equivalente a la afirmación de que el mapa${\displaystyle X}$→${\displaystyle F(BG,X)}$desde X al espacio de funciones de mapas${\displaystyle BG}$→${\displaystyle X}$, sin necesariamente preservar el punto base, dado al enviar un punto${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$al mapa constante cuya imagen es${\displaystyle x}$es una equivalencia débil . El espacio de mapeo${\displaystyle F(BG,X)}$es un ejemplo de un conjunto de puntos fijos homotópicos. Específicamente,${\displaystyle F(BG,X)}$es el conjunto de puntos fijos de homotopía del grupo${\displaystyle G}$actuando mediante la acción trivial sobre${\displaystyle X}$En general, para un grupo${\displaystyle G}$actuando en un espacio${\displaystyle X}$, los puntos fijos de homotopía son los puntos fijos${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$del espacio de mapeo${\displaystyle F(EG,X)}$de mapas de la portada universal${\displaystyle EG}$de${\displaystyle BG}$a${\displaystyle X}$bajo el${\displaystyle G}$-acción sobre${\displaystyle F(EG,X)}$dado por${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$actos en un mapa${\displaystyle f}$en${\displaystyle F(EG,X)}$enviándolo a${\displaystyle gfg^{-1}}$. El${\displaystyle G}$-mapa equivariante de${\displaystyle EG}$a un solo punto${\displaystyle *}$induce un mapa natural η:${\displaystyle X^{G}=F(*,X)^{G}}$→${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$desde los puntos fijos hasta los puntos fijos de homotopía de${\displaystyle G}$actuando en${\displaystyle X}$El teorema de Miller establece que η es una equivalencia débil para triviales${\displaystyle G}$-acciones sobre complejos CW de dimensión finita. Un ingrediente importante y una motivación para su demostración es un resultado de Gunnar Carlsson sobre la homología de${\displaystyle BZ/2}$como un módulo inestable sobre el álgebra de Steenrod . ^{[ 2 ]}

El teorema de Miller se generaliza a una versión de la conjetura de Sullivan en la que la acción sobre${\displaystyle X}$Se permite que no sea trivial. En 1971 ^{[ 3 ]} , Sullivan conjeturó que η es una equivalencia débil después de un cierto procedimiento de p-completación debido a A. Bousfield y D. Kan para el grupo${\displaystyle G=Z/2}$Esta conjetura era incorrecta tal como se planteó, pero Miller dio una versión correcta, y Dwyer-Miller-Neisendorfer, ^{[ 4 ]} Carlsson, ^{[ 5 ]} y Jean Lannes , ^{[ 6 ]} demostraron independientemente que el mapa natural${\displaystyle (X^{G})_{p}}$→${\displaystyle F(EG,(X)_{p})^{G}}$es una equivalencia débil cuando el orden de${\displaystyle G}$es una potencia de un primo p, y donde${\displaystyle (X)_{p}}$denota la p-completación de Bousfield-Kan de${\displaystyle X}$La demostración de Miller implica una sucesión espectral de Adams inestable , la demostración de Carlsson utiliza su solución afirmativa de la conjetura de Segal y también proporciona información sobre los puntos fijos de homotopía.${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$antes de su finalización, y la demostración de Lannes involucra su T-functor. ^{[ 7 ]}

• Gottlieb, Daniel H. (2001) [1994], "Conjetura de Sullivan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• extracto del libro
• Apuntes del curso de J. Lurie